综合几何在解析几何中的作用

处理解析几何问题,自然应以解析法为主,这样可以使讨论具有一般性,避免以偏概全的缺陷。但问题的另一面就是思考问题时也应注意数形结合,利用综合几何的直观图形的性质,有时确能省略不少繁复的计算,起到避繁就简,化难为易的作用。     

应用构造圆的方法求解解析几何问题

<正>圆是解析几何中一种简单又重要的曲线,许多解析几何问题,常与圆有密切的关系,若能巧妙构圆,则能避繁就简,简捷获解.下举几例:一、题设中出现与弦有关的直角     

圆的几何特征在解几中的应用

著名的数学教育家波利亚曾说过 :“当原问题看来不可解时 ,人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍 ,就在于能想出某个适当的辅助问题 .”短短数语 ,导出了数学解题的关键所在 .在解析几何中 ,这种迂回解题的思想——数形转换 ,更是屡见不鲜 ,现举例说明如何巧用圆的几何性质解题 ,供同行参考 .1　运用对称特征例 1　平面上有两点 A( - 1 ,0 )、B( 1 ,0 )在圆 C:( x - 3) 2 ( y - 4) 2 =4上取一点 P,求 | AP| 2 | BP| 2的最大值和最小值 .分析　该题虽容易得到| AP| 2 | BP| 2　 =( x 1 ) 2 y2 ( x - 1 ) 2 y…     

圆幂定理在解析几何中的巧用

<正>解析几何题目的一大特点就是计算量较大,本文通过两道例题对比传统解法和运用圆幂定理转化后的解法,发现有些题目巧妙运用圆幂定理进行转化后,计算量明显减小.例1在极坐标系中,曲线C的极坐标方     

解析几何中的直线和圆

直线和圆既是平面几何的一个重要内容,也是解析几何一个重要内容。例1 自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射,其反射光线所在直线与圆 x~2 y~2-4x-4y 7=0相切,求光线l所在的方程分析如图1,注意到入射光线l的斜率k与反射光线l~1的斜率k~1互为     

谈仿射性质在初等几何中的应用

利用高等几何中的仿射性质和平行投影方法,可解决大量初等几何问题,平行投影是比较容易理解也比较直观的一种投影方法,在初等几何中也适用。适当运用这种方法,可以在解决问题时带来事半功倍的效果,通过对三角形、平行四边形、椭圆的相关命题的证明,实例说明高等几何对初等几何的指导作用。     

圆的性质在椭圆中的推广及应用

笔者无意中发现圆的一些性质可以类比推广到椭圆中去,本文将圆的6条性质类比出椭圆的6条性质,以期抛砖引玉,激发起同学们的创造热情和类比发现意识．     

解析几何中的“几何法”

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题 ,当然离不开代数推理、计算 ,但在有些题目中 ,若能根据题中给出的条件 ,充分应用几何性质 ,利用“几何法”求解 ,将使解题过程简单化 .　　一、利用圆的性质1.根据圆的定义【例 1】　如图 ,圆方程是x2 y2 =16,点A(2 ,0 ) ,B是圆上的动点 ,AB的垂直平分线m与OB交于点P ,求点P的轨迹方程 .分析 :因为点P是m与OB的交点 ,易想到用交轨法 ;或点P的轨迹是由点B在圆上运动所致 ,易想到用代入法或参数法求解 .但从另一角度考虑 ,m是AB的垂直平分线 ,所以点P到点A、B的距离相等 ,即｜PO｜与｜…     

切割线定理在解析几何问题中的应用

<正>解析几何是沟通代数和几何的桥梁,本质是利用坐标法研究几何问题,程序化的解题过程思路简单,可操作性强,易于被学生接受.但此过程中常涉及复杂的式子变形,计算量大是其突出的弊端.既然问题的背景是几何,故而直接借助一些平面几何性质有时可以为简化计算带来意想不到的效果.本文以两道习题为例,介绍切割线定理如何"秒杀"解析几何问题,希望对同学们思维有所启发.     

正交变换在解析几何中的应用

本文首先利用矩阵与其特征值的关系分析平面内二次曲线的形状;进而利用正交变换的方法将圆柱面与平面斜交产生椭圆的经验结论从数学本身的严谨性出发给出确切的公式说明,并给出椭圆的两个半轴长,焦点及顶点坐标的具体表达式;最后针对椭圆柱面与平面斜交可以产生圆的问题进行剖析,从而找出能使平面与椭圆柱面相交成圆的具体的倾斜方向.     

例谈运用三角形几何性质降低平面解析几何运算量

<正>解析几何的本质就是用代数的方法研究几何问题,它的研究对象是几何,处理方法是代数,是同时具有代数和几何特性的综合体.因此解题时要重视问题的几何表征和代数特征,两者之间相互转化,将几何与代数完美地融合在一起.本文通过两种方法比较求解有关三角形内心,     

等边三角形性质在证几何题中的应用

等边三角形具有下述基本性质:1.三边相等,2.三内角都等于60’,3.三条高(也是中线)相等且等于江。;4.面积为它了。2。(。表边 艺4长)。 这些性质在平面几何、立体几何的求解与证明中经常用到。当证明角相等,线段相等时,灵活运用它,容易打开思路,便于找出规律。在解决极值间题时,使用旋转的方法很有效。然而旋转60。,实质就是作一个辅助等边三角形,使思考过程由繁变简,由难变易,效果很好,在有关曲边形计算问题中,若把复杂图形视作某些基本图形的组合体,等边三角形常常是重要的奠基石,分解组合后,问题便由隐变显了,思路豁然开朗。因此,等边三角…     

活跃在解析几何中的数列问题

<正>数列是高考数学的重要内容,它除了常与函数、不等式等知识相互渗透和联系以外,还时常活跃在解析几何之中,数列和解析几何相关内容的相互交汇与融合,是近几年高考数学     

利用圆性质巧解圆问题

<正>本文以07年高考数学试题中与圆有关的问题为例,进行初步的解题分析,供同学们在学习中借鉴,试分析如下.【例1】(07年天津卷)已知两圆x~2+y~2 =10和(x—1)~2+(y—3)~2=20相交于A、B两点,则直线AB的方程是______.     

活跃在解析几何中的数列问题

数列是高考数学的重要内容,它除了常与函数、不等式等知识相互渗透和联系以外,还时常活跃在解析几何之中,数列和解析几何相关内容的相互交汇与融合,是控制高考数学命题新的热点,它不仅体现了高考对数学基础知识和基本能力双重的考查功能,同时也使高考数学命题更具新颖性和开放性.     

104解析几何中的两圆问题——探索性习题训练案例

主持人按　“我们必须适当拓展中小学数学习题的观念,构建基础性训练与探索性训练相结合的习题体系.这里,十分重要的是,要鼓励广大教师提供精彩的习题训练案例及其相应的知识能力标准”.这是顾泠沅先生在《有效地改进学生的学习》一文中提出的一个十分重要的方向性呼吁.本栏正是发表与积累“精彩的习题训练案例”的好园地.本期,我们把两位老师的稿件充实修改后率先发表,就是给读者发出了这么一个新信息.一个典型的例习题,对教学来说,决不只是“(应)怎么去解?”,更重要的是“(可、该)怎样去想?”的问题.对一个例题作多角度分析,给学生的发展带来的好处是无容置疑的.只是它也必将给教师本人的素质以及他的钻研精神,提出了更多更高的要求了.读者如果愿意,如果敢于接受这样的挑战,望与我们一起协作,共同努力,以逐渐地(在本栏)积累起一大批精彩的例习题训练案例.上课伊始,教师发下如下的一张纸片:问题1　我们知道,相交两圆　○.O1:x2+y2-2x+4y+4=01与○.O2:x2+y2-10x-2y+1=02的公共弦所在直线的方程,可由1-2(消去二次项)得到.那么,对于两个不相交且非同心的圆的方程,也这么地处理,得到的是怎样的图形呢?问题2　已知...     

单位圆在三角问题中的应用

在三角函数中会经常遇到一些涉及已知三角函数值求角 ,求三角函数值 ,比较三角函数值的大小及其证明的问题 .有时解决以上问题 ,会遇到一些困难 ,由于单位圆具有直观、准确、方便的特点 ,因而 ,利用单位圆去思考、分析和判断 ,可使问题化难为易 ,思路清晰 ,它是解决三角函数问题的一种重要手段 .一、求角 (函数定义域 )图 1例 1　求函数ｙ =ｌｏｇ21ｓｉｎｘ-1的定义域 .解　要使函数有意义 ,须满足ｌｏｇ21ｓｉｎｘ-1≥ 0 ,∴　ｌｏｇ21ｓｉｎｘ≥ 1,1ｓｉｎｘ>0 ,|ｓｉｎｘ|≤ 1,即　1ｓｉｎｘ≥ 2 ,0 <ｓｉｎｘ≤ 1.∴　 0 <ｓｉｎｘ≤ 1…     

几何直观在特征值问题中的应用

借助MATLAB软件将几何直观方法应用于矩阵特征向量的判定、二次曲线的绘制、二次型的分类和微分方程组动力学性质刻画等线性代数特征值问题教学之中,以实例说明几何直观在线性代数课程教学中的应用.     

轴对称变换在几何问题中的应用

图形T的每一点关于直线l的对称点组成的图形T′,称为T关于轴l的轴对称图形.把一个图形变为关于直线l的轴对称图形,叫做轴对称变换.直线l叫做对称轴.由于轴对称变换不改变图形的大小,只是位置变化,因此通过轴对称变换可使某些几何