2021年高考全国乙卷数学理科解析压轴题解法探究

<正>2021年高考全国乙卷数学理科解析压轴题是以抛物线和圆为载体的最值问题,这类问题要求高、难度大,考生答题时容易出现耗时长、计算错误等困难,笔者通过切线的不同求法、三角形面积公式的选择和构造不同函数求最值的角度探究解法,特写此文与读者共鸣.试题呈现(2021全国乙卷理科21)已知抛物线C:x²=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x²+(y+4)2+(y+4)²=1上的点的最短距离为4.     

一道典型几何问题的思考和探究

<正>下面是一道很"典型"的几何问题,笔者经过一番思考和探究,挖掘出了该问题所蕴含的更一般性的结论,希望能和大家共享.题目如图1,AD是△ABC的中线,任意引直线CF交AB于F,交AD于E.求证:AE /ED=2AF/FB^([1]).     

一道竞赛改编题的多种解法及其启示

<正>原题^[1]设点P在双曲线x²/16+y²/9=1除去顶点的右支上运动,E、F分别为其左、右焦点.设A为△PEF在∠PEF内的旁心.则点A的轨迹方程为______.这是一道经典的求轨迹问题,笔者将其中的限制条件“双曲线的右支”去掉,得到下面的改编题,作为全国高中数学联赛一试的模拟题给同学们训练.     

对一道数学题的猜想与论证

<正>笔者曾经遇到了这样一道题:引题已知椭圆x2/4+y2/3=1的左、右焦点分别为F1、F2,过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于点P、Q,则(1)△F1PQ的周长是;(2)△F1PQ内切圆面积的最大值是.解因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值.     

有心圆锥曲线的一道五点共圆问题

<正>笔者探索得出有心圆锥曲线的一个优美性质,现写出来与大家交流、分享.性质如图1,设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,直线l与椭圆E有且只有一个公共点M,且交y轴于点P,过点M作垂直于l的直线交y轴于点Q,则F1,Q,     

一道高中数学联赛省级预赛试题的探究

<正>1问题呈现(2019全国高中数学联赛福建省预赛)已知F为椭圆C:x²/4+y2/4+y²/3=1的右焦点,点P为直线x=4上的动点,过点P作椭圆C的切线PA,PB,A、B为切点.(1)求证:A、F、B三点共线;(2)求△PAB面积的最小值.解析(1)要想证明A、F、B三点共线,我们只要求出直线AB的方程,若点F在直线     

无理函数最值的一题多解

<正>在平时的解题中常会遇到一些无理函数的最值问题,比如y=2x+(x²-3x+2)2-3x+2)^(1/2)的值域(或最值),此类函数的值域(或最值)最简捷、最有效的解法是什么?本文就此类函数的值域的解法进行研究,仅供读者参考,不妥之处,敬请改正.     

借助TI－Nspire CAS探究一道圆锥曲线定点问题

笔者借助TI-Nspire CAS图形计算器对2015学年上海市嘉定区二模测试第22题进行了一些粗浅探究,笔者试图说明的是:运用现代技术让探究更高效;技术推动了多角度数学规律的探究. 一、问题描述 已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2,点B(0,b),过点B且与BF2垂直的直线交x轴负半轴于点D,且2→F1F2+→F2D=→0.     

2014年一道高考解析几何压轴题透视

<正>高考题往往具有丰富的内涵,数学教师要善于思考、发掘、研究,在备考复习中恰当选用,这对提高学生的数学思维水平和解题能力十分有益.笔者对2014年安徽高考数学文科卷第21题压轴题进行透视.1题目如图1,设F₁,F₂分别是椭圆E:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF₁|=3|F₁B|.（Ⅰ）若|AB|=4,△ABF₂     

椭圆性质的内涵与拓展

<正>设F是椭圆x²/6+y2/6+y²/2=1的右焦点,T为直线x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为0的任意一点,过点F作TF的垂线交椭圆于点P,Q,若直线OT经过线段PQ的中点M,求实数t的值.一、问题解法的探讨解法1 (点差法),众所周知,点差法是解决解析几何中关于中点问题的常用方法,其过     

椭圆“4α三角形”的优美性质

<正>定义设椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2的直线与椭圆交于A、B两点(不与椭圆长轴端点重合),由于△ABF1的周长为定值4a,我们定义△ABF1叫椭圆的"4a三角形".笔者经过探索,得出椭圆"4a三角形"的几个优美性质,现写出来与大家交流、分享.     

一道抛物线质检题的解法探究

<正>题目过点P(a,-2)作抛物线C:x²=4y的两条切线,切点分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).(1)求证:x₁x₂+y₁y₂为定值．(2)记△PAB的外接圆的圆心为点M,点F是抛物线C的焦点,对任意实数a,试判断以PM为直径的圆是否恒过点F?并说明理由．本题是笔者在高三复习中遇到的一道质检题,第一问求解容易;第二问难度较大,求解不易．本文对第(1)问给出一种解法,重点探究第(2)问的求解方法．     

例析对数型函数的值域问题

<正>在高中数学学习过程中,常碰到求形如对数型函数值域为R或R的某个子集的参数取值范围问题,此类问题容易和对数型函数的定义域相混淆,导致错解.下面通过几个例子,看看此类问题的求解方法.1对数函数的值域为R的参数取值范围问题例1已知函数f(x)=log——2(x²+ax-a)的值域为R,求实数a的取值范围.     

关联圆锥曲线焦点与准线的一个性质

1.问题的提出文[1]对关联椭圆准线的若干性质进行再探究,给出了三条性质及推论,其中性质2是:如图1,F为椭圆x^{2/a^(2}+y²/b²=1(a>b>0)的左焦点,过左准线l′与x轴的交点P作直线l与椭圆分别交于A,B两点.     

判断直线与椭圆位置关系的两种新方法

命题对任意的椭圆c:x2/a2 y2/b2=1,直线L:Ax By C=0,设椭圆c的两焦点为F1,F2,F1关于L的对称点为F1’. 当|F1'F2|<2a时,直线L与椭圆c相交; 当|F1'F2|=2a时,直线L与椭圆c相切; 当|F1'F2|>2n时,直线L与椭圆c相离.     

椭圆准线的六种作图方法

<正>对于椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a> b> 0),右焦点F(c,0),直线l过F交椭圆于A、B两点,下面的定理给出了其准线的六种作法,并能类比应用于双曲线和抛物线的情形.方式1若l与坐标轴不平行,做B关于x轴的对称点B',作直线AB'交x轴于M,过M作x轴垂线m即为椭圆右准线.     

一类数列不等式的巧证

数列不等式是高考中久考不冷的热点,此类题目技巧性强,思维量大,一般不容易突破.例如,有一类数列不等式a₁+a₂+…+a_nn进行放缩的方法为a_nn,而b_n是一个等比数列,即b_n=b₁q^n-1,接下去任务就是寻找公比q,a₁+a₂+a₃+…+a_n1+b₁q+b₁q²+…+b₁q^n-1=（b₁（1-qⁿ））/（1-q）1/（1-q）（这里01>0）,则有     

一道三角函数问题的多种解法

<正>近日,笔者在课堂与学生交流时发现一道三角函数问题,该题题设简单,思路开阔,引起笔者极大的兴趣.现给出笔者与学生交流的五种解法,供同学们参考.题目已知函数f(x)=2sin(2x+π/4),若f(α/2)=-6/5(0<α<π),求cos2α的值.解法1因为f(α/2)=2sin(α+π/4)=-6/5     

圆锥曲线中一个定点问题的探索

<正>问题1如图1,在抛物线y²=2px中,直线AB过焦点F,B在准线l上的射影为B₁,则直线AB₁是否过定点O（0,0）?     

经历探索过程 提升思维品质

<正>在高考中常常会遇到这样一类求最值的问题,它们的条件式和待求式隶属完全对称式,即对于含有n个变元的x₁,x₂,……,x_n式子中,若将任意两个变元x_i,x_j(i,j=1,2,3,……,n,i≠j)交换位置,其结果保持不变.为了帮助学生理解并掌握解决此类问题的方法,教师在高三二轮复习时将此类问题整合成专题,以此通过专项训练帮助学生明晰问题的本质,掌握解决此类问题的巧解和通法,有效提高学生解决此类问题的能力.