配方法及其应用

配方法是依据乘法公式a~2±ab b~2=(a±b)~2的应用而得的数学方法.它是将一个代数式通过变形,配成某个代数式的完全平方或几个代数式的平方和的形     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

公式运用“五注意”

公式是解题的重要依据,灵活巧妙地运用公式,可使问题迅速地得到解决.在运用公式时,请同学们注意以下几个方面.一、注意公式的广泛性应用公式要正确理解,掌握公式中字母具有的广泛意义,既可表示数,也可以表示式.如(a+b+c)(c-a-b)可变为-[(a+b)+c][(a+b)-c]使之符合平方差公式的结构特征.还要注意公式之间的异同,譬如在应用乘法公式时,要避免出现以下错误:(a+b)2=a2+b2;(a-b)2=a2-b2;(a-b)2=a2-2ab-b2等等.     

算術運算定律在恒等式變形中的應用

高年级学生在代数变形中所犯的错误,有许多情形都是说明学生对于算术运算定律的忽视. 例如下列约分:(2a~2b+4c)/2=a~2b+4c;(a(a~2+b~2+b)~(1/2))/a=(a~2+b~2)~(1/2)+b等等     

一类信息题的解法

近年来 ,高考试题中出现了一种新颖的考题———定义新的运算法则或运算关系 .由于这类题立意新颖、解法灵活 ,要求学生在阅读理解的基础上运用所学知识和方法进行解题 ,因而备受各级各类考试命题者的青睐 .学生因情境新颖 ,算符陌生而产生畏惧情绪 .现举例分析这类题型 ,供同学们参考 .例 1　 ( 2 0 0 1年上海春季高考题 )若记号“ ”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算 ,即a b =a +b2 ,则两边均含有运算符号“ ”和“ +” ,且对于任意 3个实数a ,b ,c都成立的一个等式可以是 .解析　根据题意 ,可设等式左边为 (a b) +c ,则根据定义…     

高中代数的一个命题的推广及其应用

高中代数第二册112页第2题为; 设a≠b,比较代数式(a~4+b~4)·(a~2+b~2)与(a~2+b~2)~2的大小。运用比较法,作差,很容易得出结论:(a~4+b~4)·(a~2+b~2)>(a~2+b~2)~2,若将此不等式条件限制为a、b∈R~+,则又可得不等式:(a~4+b~4)/(a~2+b~2)>(a~2+b~2)/(a~2+b~2),由这个整齐、和谐的不等式,     

完全平方公式在解三角形中的应用

本文试用完全平方公式 (a±b)~2=a~2±2ab b~2来解三角形。一、解直角三角形如果我们把a、b看成一个直角三角形的两条直角边,那么,由勾股定理:a~2 b=c~2;直角三角形的面积公式:S=1/2ab,即ab=2S。将它们代入上面公式得 (a b)~2=c~2 4S (1) (a-b)~2=c~2-4S (2) 在(1)、(2)两式中,S表示直角三角形的两积,c表示斜边,a b、a-b分别是两条直角边的和与差。可以看出(1)、(2)两式分别给出了直角三角形的两条直角边的和,差与斜边、面积之间的关系。据此,只要已知c、S、a b和a-b这四个量中的任何两个,我们就可以用(1)、     

配方法作用大

<正>配方法是数学中一种非常重要的方法.在初中阶段主要是指利用完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2,把待解决问题中的代数式或代数式的一部分通过凑配等手段,得到完全平方式或几个完全平方式的和的形式,再利用完全平方项是非负数这一性质,实现问题的解决的数学方法.一、计算、求值例1计算:1.23452+0.76552+     

盘点完全平方公式

<正>完全平方公式是进行代数运算与变形、解一元二次方程、解二次函数有关问题的重要的知识基础.这个知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解).同学们在学习中常见错误有:(1)难于跳出原有的定式思维,典型错误如(a±b)²=a2=a²±b2±b²;(错因:在公式(ab)2;(错因:在公式(ab)²=a2=a²b2b²的基础上类推,随意"创造")(2)混淆公式(a+b)2的基础上类推,随意"创造")(2)混淆公式(a+b)²=a2=a²+2ab+b2+2ab+b²与(a-b)2与(a-b)²=     

重要不等式的变式在数学竞赛中的应用

将基本不等式a~2 b~2≥2ab(当且仅当a= b时等号成立)的两边加上a~2 b~2得:2(a~2 b~2)≥(a b)~2,即(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2,当且仅当a =b时等号成立.不等式(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2的左边为两个实数的平方的平均值,右边为此两个实数的平均值的平方.因而,我们称此不等式为     

两道相关的竞赛题

<正>赛题1 (第20届伊朗奥林匹克竞赛试题)已知正数a,b,c满足a~2+b~2+c~2+abc=4,求证:a+b+c≤3.赛题2 (2011年全国高中数学联赛B卷加试题三)设实数a,b,c≥1,且满足abc+2a~2+2b~2+2c~2+ca-cb-4a+4b-c=28,求a+b+c的最大值.这是两道相关的竞赛题.下面给出它们的简洁解法并做了条件与结论的优化.1相关证明     

复数运算中“1”的几种代换法

在实数运算中,为了解题的方便,我们有时可将“1”用另一种表达形式去代替,例如在代数式中,用a/a、a~0(a≠0)或log_aa(a>0,a≠1)代替“1”;在三角式中,用sin~2a+cos~2a或tgactga代替“1”,等等。这种替换,在复数的运算中同样是不可缺少的,如果使用得当,对寻求问题的合理解法或减少计算量都很有帮助,同时可以提高学生解题的技能技巧。复数中“1”的代换方法,常见的有以下几     

乘法公式应用举例

乘法公式有平方差公式(a b)(a-b)= a~2-b~2、完全平方公式(a±b)~2=a~2±2ab b~2,在学习中应掌握以下三种乘法公式的用法．一、直接套用公式掌握公式的特征、认清公式中的两数,给“a”、“b”对号入座．例1计算(-2m 3n)(-2m-3n)．分析题目中具备-2m、3n的和与差的乘积形式,符合平方差公式,直接套用公式．     

解读乘法公式

<正>乘法公式是初一代数的重要内容,也是今后学习数学的基础,应用十分广泛,必须认真学好,并注意以下两点:1.抓住特点,准确证公式,例如完全平方公式(a±b)²=a2=a²±2ab+b2±2ab+b².特点是:a的降幂,b的升幂;系数是1、±2、1.记忆口诀是:首平方、尾平方,两倍首尾在中央.2.注意公式中字母的广泛含义,深刻理解公式,即公式中的字母可以是数字,单项式,也可以是多项式,深刻理解公式,是应用公式的关     

韦达定理、根的判别式携手求最值

在一定条件下求某些代数式的最大值、最小值,如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来,将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.例1已知实数a、b、c满足a+b+c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.     

巧用均值定理求最值

<正>两个正数的均值定理是高中数学的必修内容,在不等式证明和代数式求最值中经常用到,因此要求同学们熟练掌握.首先,两个正数的均值定理是指:如果a、b∈(0,+∞),那么a+b/2≥ab^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab(1/2),当且仅当a=b时等号成立.其内容通常可概括为:两个正实数的算术平均值((a+b)/2)不小于它们的几何平均值(ab^(1/2)),其次,由均值定理可得:两个正数的积为常数时,当它们相等时和取得最小值;两个正数的和为常数时,当它们相等时积取得最大值.下面举例说明如何应用均值定理求代数式的最值(最大值或最小值).     

问题与解答

一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。     

弃繁就简 返璞归真

在学习了乘方运算以后,我们很容易得到下面两个不等式:对于任意的实数a、b,都有:a2+b2≥-2ab(Ⅰ)a2+b2≥2ab(Ⅱ)     

二次函数极值公式的一个应用

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),经过配方整理后得: y=a(x+b/2a)~2+(4ac-b~2)/4a 这个公式叫二次函数的极值公式。把这个公式稍加变形得: y=a〔(x+(b/2a))~2+(4ac~2-b~2)/4a~2〕=a〔(x+(b/2a))~2-(b~2-4ac)/4a~2〕。这个变形后的公式,不仅可以求二次函数的极大值或极小值,而且还可以用来求抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)在x轴上所截得的线段的长度。定理:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(x_1,0)、B(x_2,0),(x_1≠x_2)则抛物线在x轴上所截得的线段长为:     

竞赛中的代数式求值问题

<正>代数式求值(或证明)是竞赛中的常见问题.以考查基本方法和观察能力为主,在试题上侧重知识的灵活运用,本文从几个方面举例说明,供参考.一、利用非负数各项的和为0,其每项都为零求值(或证明)例1(2016年全国初中数学竞赛题)设实数a,b,c满足:abc≠0且14(a²+b2+b²+c2+c²)=(a+2b+3c)2)=(a+2b+3c)²,求(a2,求(a²+2b2+2b²+3c2+3c²)/(ab+ac+bc)的值.