对一道高考解析几何试题的推广与探索

<正>1问题的提出(2019年浙江省数学高考试题第21题)如图1,已知点F (1,0)为抛物线y²=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧,     

一道竟赛题的思考

第十五届"希望杯"全国数学邀请赛(高二)第十六题:已知点A(3,1),点M在直线x-y=0上,点N在x轴上,求△AMN周长的最小值.解如图1,求作点A分别关于直线x-y=0和x轴的对称点E(1,3)和F(3,-1),连接EF分别交直线x-y=0和x轴于M和N,则△AMN周     

2010年浙江卷文科压轴题的推广

题已知m是非零实数,抛物线C:y2=2pxx>0的焦点F在直线l:x-my-(m2)/(2)=0上. (Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程; (Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP·QF=FP·FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=1λAF,MB=2λBF,求1λ 2λ的值.图1本题(Ⅰ)中,由条件可求得动点P的轨迹C的方程是y2=4x,显然F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线y2=4x的准线.在(Ⅱ)中,由条件可求得1λ 2λ=0.(Ⅱ)中的这个结论对一般的圆锥曲线是否成立呢?延伸一下可得圆锥曲线的一个有趣性质:性质1过点F(m,0)(m>0)的直线交抛物线y2=2…     

一道高考题的思考

<正>题目(2019年全国2卷(理))已知点A(-2,0),B(2,0),动点M (x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1/2.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.证明:△PQG是直角三角形.     

一道2005年全国高中数学联赛试题的根源探析

1问题的提出过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.2问题的解决解抛物线在点A处的切线斜率为y′=2x|x=     

新题征展(30)

A　题组新编1 .( 1 )对任意的 x∈ [- 1 ,1 ],函数 f( x)= x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 k的取值范围 ;( 2 )对任意的 k∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 x的取值范围 .2 .( 1 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x、y轴正方向于 A、B点 ,求使△ AOB面积最小时直线l的方程 ;( 2 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x轴正方向于 A,交直线 y =2 x于 B,求使△ AOB面积最小时直线 l的方程 ;( 3)过点 P( 3,1 )作直线 l分别交直线 y= - x - 2与 y =2 x 1于 A、B,且 O′为这两条直线的交点 ,求使△ AO′B面…     

抛物线切线的一个有趣性质

在对抛物线的研究中,笔者发现了它的与切线有关的如下一个有趣性质. 定理设P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p＞0)上的不与顶点重合的任意一点,过点P抛物线的切线与x轴的交点为Q,过Q任意引直线交抛物线于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则y20=y1y2,x20=x1x2.     

一道高考题的解法分析

2001年全国高考试卷(理)第19题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,证明直线AC经过原点O. 本题以抛物线为载体,着重考查了抛物线焦点弦、直线方程,斜率等一系列基础知识,考生可以从多种不同角度入手进行分析,得到不同的证法. 证法一(如图) 分析要证直线AC经过原点O,只需证得kOA=kOC. 证明设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵BC//x轴,C在抛物线y2=2px的准线上,     

圆锥曲线的割线的性质

如果一条直线与圆锥曲线有两个公共点,我们称该直线为圆锥曲线的一条割线,当割线的斜率不为零时,它必与主轴所在直线(x轴)相交.下面以椭圆为例探究与割线有关的一些数学问题.引例过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)作直线l交椭圆于P、Q两点,Q′是Q关于x轴的对称点(Q′与P不重合),直线PQ′交x轴于点M.则图1(1)PFFQ=M PMQ;′(2)点M为定点(-2ac,0).(1)证法1如图1,连结MQ,易知得等腰△MQQ,′∴M F平分∠QMQ.′由角平分线性质定理可得M P MQ=PF FQ,又MQ=MQ′,∴M P MQ′=PF FQ,所以PFFQ=M PMQ.′证法2设QQ′与x轴…     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

2015年高考北京卷19题的解法、背景与推广

题1 (2015高考北京-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(21/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.     

中考压轴题中的抛物线平移问题

近年来以抛物线的平移为压轴题的题虽不常见,但武汉市连续两年都有这种题.例1(2012年武汉)如图1,点A为抛物线C1:y=1/2x2-2的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.(1)求点C的坐标;(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y     

椭圆中心三角形面积最大值问题探究——以一道2021年联考题为例

<正>1题目呈现及解法分析题目(广东省2021届高三四校联考,21)已知离心率为12的椭圆■与抛物线C_2:y²=2px(p>0)有相同的焦点F,且抛物线经过点P(1,2),O是坐标原点.(1)求椭圆和抛物线的标准方程;(2)已知直线l:x=ty+m与抛物线交于A、B两点,与椭圆交于C、D两点,若△ABP的内切圆圆心始终在直线PF上,求△OCD面积的最大值.     

抛物线中三角形面积最大值的探讨

<正>先来看一道小题.如图1,已知直线l:y=2x+3交抛物线y=x²于A、B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△APB面积最大.这种题型是我们学习抛物线时经常遇到的问题,常规的解法是作PD//y轴,把△APB的面积看成△APD的面积、△DPB的面积之     

蝴蝶定理在高考试题中的应用——2022全国甲卷理科第20题背景探幽

<正>1 试题呈现例 (2022全国甲卷520)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过点F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,     

2012年福建省高考数学试题一对姊妹题的探究

题1(2012年福建理19)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆方程.(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探     

从一道高考题引出圆锥曲线的一个性质

题目（2010年高考大纲全国卷Ⅰ第21题）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F,过点K（-1,0）的直线l与C交于A、B两点,点A关于x轴的对称点为D.（1）证明：点F在直线BD上;（2）设→FA·→FB=8/9,求△BDK的内切圆M的方程.看出点K恰是抛物线准线与x轴的交点,于是对第（1）问作一些探究.先将问题一般化,并给出有别于标准解答的几何证法.     

圆的重要定理在椭圆上的推广

1　一道高考题启示2 0 0 3年高考北京试卷有如下题目 :如图 1 ,椭圆的长轴A1 A2 与x轴平行 ,短轴B1 B2 在 y轴上 ,中心为M( 0 ,r) (b>r >0 ) .图 1　椭圆1 )写出椭圆的方程 ,求椭圆的焦点坐标及离心率 ;2 )直线y =k1 x交椭圆于两点C(x1 ,y1 ) ,D(x2 ,y2 ) ( y2 >0 ) ;直线 y =k2 x交椭圆于两点G(x3,y3) ,H(x4,y4) ( y4>0 ) .求证 :k1 x1 x2x1 +x2=k2 x3x4x3+x4;3)对于 2 )中的C ,D ,G ,H ,设CH交x轴于点P ,GD交x轴于点Q .求证 :|OP| =|OQ| .(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形 )解　 1 )椭圆方程为 x2a2 + ( y -r) 2b2 =1 ,焦…     

一次小小的成功探索

在网上看到2004年北京一道高考题: 过抛物线y2=2Px(P>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2). (Ⅰ)求该抛物线上纵坐标为P/2的点到其焦点F的距离; (Ⅱ)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,求y1+y2/y0的值,并证明直线AB的斜率为非零常数。