一道填空压轴题的解法探究与启示

<正>原题如图1,抛物线y=-1/3x²+1/3x+4与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B.在线段AC上取一点D,使AD=AB.动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点C运动,运动时间为t秒,当点P关于直线BD的对称点在线段BC上时,则t的值是().(A)4(B)(45)/(13)(C)(25)/7(D)(18)/5分析此题是一道选择压轴题,考察了二次函数、三角形、图形变换、动点等综合问题,从不同的角度突破,可以探寻出多种解法.我     

旋转问题两例

<正>求解图形的旋转问题时,要灵活运用旋转的性质,即利用好旋转不变量和旋转动图中点的变化规律.例1如图1,在平面直角坐标系xOy中,过点A(-2,0)的直线交y轴正半轴于点B,将直线AB绕着点O顺时针旋转90°后,分别与x轴y轴交于点D、C,连接BD,若△ABD的面积是5,求点B的运动路径长.分析根据旋转的性质,得出OD=OB,     

一道模拟试题的思考与变式

<正>1问题提出案例在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx~2-4 mx+n(m>0)与x轴交于A、B两点(点A在原点左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA,连接AC、BC.(1)若△ABC是直角三角形,求n的值.(2)将线段AC绕点A旋转60°得到线段AC′,若点C′在抛物线的对称轴上,请求出此时抛物线的函数表达式.     

用截线段长度的方法解面积问题

<正>在二次函数中,有一类题,可以利用平行于y轴的直线被两函数所截线段长度解决问题.我们来看几个求面积定值的例题,希望对大家有所启发.一、截正比例与反比例函数求面积为定值例1如图:已知直线y=1/2x与双曲线y=k /x(k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4.     

一道二次函数的动点问题

<正>二次函数的动点问题往往是综合性较强的问题,研究它对于提升解决问题的能力有很大帮助.如图1,抛物线y=ax2+2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(-4,0)和点B.问题一求使线段和取最值的点在抛物线的对称轴     

一道压轴题的多种解法

<正>在中考中,经常会遇到用割补法求解平面图形的面积的最值问题,有时作为压轴题.下面通过一题提供几种不同的解题方法帮助同学们把握此类型题的解题规律,积累解题经验.题目如图1,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,点A在点B的左侧,点B的坐标为(1,0),OC=3OB.     

一道2005年全国高中数学联赛试题的根源探析

1问题的提出过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.2问题的解决解抛物线在点A处的切线斜率为y′=2x|x=     

面积问题的解法探究和思考

1 问题的提出 原题(2010年四川绵阳),抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴,y轴分别交于F,G.     

巧妙转换求最值

<正>大家知道,初中数学常见的最值问题都是利用"两点之间,线段最短"、"垂线段最短"和建立二次函数后求,但有些问题不能直接求,需要有一个转换,才能解决问题.例1(2015年济宁)如图1,⊙E的圆心E(3,0),半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点,(点A在点B的上方),与x轴的正半轴相交于点C,直线l的解析式为y=3/4x+4,与x轴相交于点D,以C为顶点的4抛物线经过点B,(1)求抛物线的解析式;(2)判断直线l与⊙E的位置关系,并说明理由;     

椭圆的又一个有趣性质

椭圆有很多有趣的性质,本文再给出一个.性质1过椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的焦点斜率为k1的直线交椭圆于A、B两点,若C为线段AB的中点且直线OC的斜率为k2,则椭圆的离心率e满足e2=1 k1k2.证明设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则x21a2 y21b2=1,x22a2 y22b2=1.两式相减得x21-x     

例谈反比例函数中的几个不变性问题

反比例函数是最基本的函数之一.通过学习反比例函数可以使学生进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,深化对函数内涵的理解和掌握.对于每一个具体的反比例函数来说,其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的,但它还有自身的独特性质,笔者在教学中发现了一些关于反比例函数的几个不变性问题,本文通过实例谈谈这些不变性问题中体现的数形结合及转化等一些重要的数学思想.1面积的不变性问题图1例1如图1,已知双曲线y=xk(k为常数,k>0,x>0)经过矩形OABC的边AB的中点F,交BC于点E,则E一定是边BC的中点.分析要证明E是边BC的中点,只需要证明S△OCE=41S矩形OABC或者S矩形OMEC=21S矩形OABC即可,为此可以将问题转化为反比例函数中的面积不变性命题来证明.证明设点E的坐标为(x1,y1)(x1>0,y1>0),点F的坐标为(x2,y2)(x2>0,y2>0).则x1.y1=x2.y2=k.过点E、F分别作EM⊥x轴于M,FN⊥y轴于N.则OM=x1=x1,OC==y1=y1,OA=x2=x2,ON=y2=y2.∴S矩形OMEC=OM.OC=x1.y1=k,S矩形OAFN=O...     

一道几何最值问题的研题历程及思考

笔者对一道几何最值问题进行了一番研究,现将研题的历程及思考呈现如下. 1 问题呈现 如图1,平面直角坐标系中,已知边长为4的正△ABC,点A和B分别在x轴正半轴和第一象限角平分线上滑动,点C在第一象限,求OC的最大值. 2 研题历程 2.1 问题原型 (2009山东潍坊)如图2,已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连结OC,则OC的长的最大值是_.     

一类二次函数的运动与变化问题解析

在数学试卷中经常会遇到动态问题.常见的是在图形的运动和变化中探求定值、求最值,判断几何图形的特殊位置关系和数量关系以及建立函数模型.而近两年出现的求参数取值范围的试题引起了初中学生的关注,这类试题对学生的开放性思维品质、探究精神和创新能力是一个挑战.本文通过一例解析这类题目的解题方法.图1已知:直线y=kx-3交y轴于D点.记⊙T与y轴相切于D,与x轴相交于B,C两点,设过B,C,D三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为H,且H在直线y=kx-3上.(1)请指出圆心T一定在哪条直线上运动?(2)请说明并求出过B,C,D三点的抛物线的顶点H的横坐标不可能在哪个范围内变化?(3)设点D、A关于x轴对称,记过A且平行于x轴的直线为l,当⊙T变化到与直线l正好相切时,试问,你能否求出此时的k值,若能,请求出k值;若不能,请说明理由.(4)设点D、A关于x轴对称,记过A且平行于x轴的直线为l,且G为l上位于第一象限内一点,AG=6.当过B、C、D三点的抛物线y=ax2+bx+c与线段AG有交点时,试问,你能否求出此时k的取值范围,若能,请求出这个范围;若不能,请说明理由.(此题为原创题)解析(1)∵⊙T切y轴于D,故...     

浅析“动抛物线”问题的转化

<正>1问题提出(2018·北京)在平面直角坐标系x Oy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax²+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.     

综合题新编选登

题149已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2=80上,且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).1)若△ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC的方程;2)若∠A=π2,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.解1)设B(x1,y1),C(x2,y2),BC中点为(x0,y0),F(2,0),于是有x1220 y1216=1,x2220 y221     

从一道竞赛题看抛物线的一个优美性质

2010年全国高中数学联赛第10题:已知抛物线y2=6x上两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2,且x1+x2=4,线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.     

一道中考数学试题的得与失

1 试题 在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB=2,AD=1,且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合.     

一道中考试题的探究

下面结合2012年上海中考试题第24题进行分析,并进行变化,探究此类动态三角形构造的一类问题的解法,供参考.图1例(2012上海中考第24题)如图1所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图像经过点A(4,0),B(-1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=12,EF⊥OD垂足为F,(1)求这个二次函数的解析式;(2)求线段、的长;()当时,求的值     

“动点成线”变无常,“绝对值符号”来帮忙——2014年河南省第23题思路突破与解后回顾

以抛物线为载体的压轴题一直是各地中考命题的热点,这类问题往往线条繁多,而且容易与平面几何中的特殊图形综合在一起考查,2014年河南省压轴题就有这个特点,下面就给出该题的思路突破和解后反思,与大家研讨. 考题:(2014年河南,第23题,11分)如图1,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点,直线y=-3/4x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF ⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.     

深究一道“希望杯”赛题

题目(23届希望杯高二1试13)平面直角坐标系中,已知点A(2,1),动点B在x轴上,动点C在直线y=x上,那么△ABC的周长的最小值是_____.解析取点A(2,1)关于x轴的对称点A1(2,-1),点A(2,1)关于y=x的对称点A2(1,2),连接A1A2,分别