关于切线和直径的试题的拓展

<正>2015年聊城市中考数学第24题:如图1,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D.过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连结AD并延长,交BE于点E.(1)求证:AB=BE;(2)略.本题是在课本传统例题上改编的考题,证明方法很多,我们选其中几种方法证明,为拓展的证明铺垫思路,本文的核心是两种拓展.一、原中考题的证明证法1如图2,连结OD.∵PC为⊙O的切线,∴OD⊥PC.     

闭折线中的塞瓦定理

塞瓦定理设ΔABC的顶点A、B、C和不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连结而成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们延长线交于点P、Q、R,则有BPPC·QCAQ·RABR=1.本文拟将这一著名的定理推广至一般的平面闭折线中.本文约定:符号A(n)表示平面内的任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理设闭折线A(n)的顶点A1与不在各边或它们的延长线上的一点S连结而成的直线,与直线Ai-1Ai 1交于点Pi(i=1,2…,n,An 1为A1,A0为An),则有∏ni=1Ai-1PiPiAi 1=1为证明该定理,将引用下列基本结论:设ΔA1A2A3的项点A2和不在三角形的边或它们的延…     

一道高考题的思考

<正>题目(2019年全国2卷(理))已知点A(-2,0),B(2,0),动点M (x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1/2.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.证明:△PQG是直角三角形.     

数学问题解答

2006年5月号问题解答(解答由问题提供人给出)图11611已知:如图1,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,且⊙O2过⊙O1的圆心O1,由B点引⊙O2的弦BC,连结AC交⊙O1于点F,求证:BC=CF.图2证明如图2,连结AB,O1O2,BF,O1A,O1B,O2A,O2B,延长CB交⊙O1交于D点,连AD.因为AB为⊙O1与⊙O2的公共弦,O1O2为连     

课外练习

初一年级1.计算 98 998 9998 … 99…98. (广西南丹车河中学(547204)莫克伦)2.求S=1 1/3 1/32 … 1/32002的值. (浙江宁波市镇海外语实验学校(31520) 王盛裕)3.如图,在△ABC 的CA、BA 的延长线上任取D、E两点,连结DE,作∠E、∠C的平分线相交于点F. 求证:     

数学问题解答

20 0 4年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 1 1 　锐角△ABC中 ,∠A=60°,H ,I,O分别为垂心、内心、外心 ,连结AI并延长交BC于P ,连结BI并延长交AC于Q .求证 :BH=IO的充要条件是AB BP=AQ QB .(湖南师大数学系　沈文选 )( 1 )充分性 :如图 ( 1 ) ,延长AB到B1 ,使BB1 =     

一道几何试题的多种解法

<正>一、题目如图1,在平面直角坐标系中,A(3,4),B (5,0),连结AO、AB.点C是线段AO上的动点(不与A、O重合),连结BC,以BC为直径作⊙H,交x轴于点D,交AB于点E,连结CD,CE,过E作EF⊥x轴于F,交BC于G.(1)若圆心H落在EF上,求BC的长;(2)若△CEG是以CG为腰的等腰三角     

数学问题解答

2011年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2011 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+ 2BD=√3CB,连结CD、BE.证明:CD=1/2BE.     

对一道课本习题的变式探究

原题(苏科版九上P136第7题改编)如图1,已知OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点(不与O、A重合),BP的延长线交⊙O于Q,过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R,求证RP=RQ.分析考虑到"遇切点连圆心",故连结OQ,则OQ⊥RQ.要证RP=RQ,只要证明∠RPQ=∠RQP即可.证明连结OQ.     

尺规画蛋与近似画圆

圆规画圆信手拈来,水到渠成；“用圆规画蛋”或“近似画圆”怎么样呢?尺规画蛋作法(如图1)①作两个半径相等的圆⊙A、⊙B,使圆心B在⊙A上；②以AB为直径作⊙O交公共弦CD于E；③连结AE并延长交⊙A于点F,连结     

一道全国初中数学联赛试题的解法探析

<正>1.原题(2005年全国初中数学联赛初赛)如图1,AB是⊙O的直径,AB=d,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.2.巧添平行线,转化线段比思路要求AE的长,可转化为求AE/AC     

初二几何第二学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .若一个梯形的中位线长为 1 5 ,一条对角线把中位线分成两条线段 ,这两条线段的比是 3∶2 ,则梯形的上、下底长分别是 .2 .点D在△ABC内 ,连结BD并延长到E ,连结AD ,AE .若∠BAD =2 0° ,AB∶AD =BC∶DE =AC∶AE ,则∠EAC =度 .3 .在△ABC中 ,AC >AB ,点D在AC边上 (点D不与A ,C重合 ) .若再增加一个条件就能使△ABD∽△ACB ,则这个条件可以是 .4.一个三角形的三边长分别为 2cm ,5cm ,6cm ,与它相似的另一个三角形的最大边长为 1 5cm ,则它的周长为cm .5 .小华为班级设计了一个…     

一个优美性质的简证

文[1]介绍的圆锥曲线的性质确实很优美,但其证明较繁.本人提供一种较为简单的证明.图1先介绍一个引理:(因为后面应用该定理,这里所标字母与原题中一致)如图1,B、C分别为△ADN中AN、DN上的点,设AB,CD交于点M,连结NM并延长交AD于E,则N BBD N CAC=NMME.证明∵N BBD=S△N BMS△DBM=     

一道中考压轴题的探究

笔者有幸参加了2006年宁波市中考数学试卷的批卷及评析工作,对试卷中的第26题感触颇深,现把自已对该题的分析、探索、反思、感悟撰文如下,供同行参考.题目:已知⊙O过点D(4,3),点H与点D关于y轴对称,过H作⊙O的切线交y轴于点A(如图1).(1)求⊙O的半径;(2)求sin∠HAO的值;(3)如图2,设⊙O与y轴正半轴交点P,点E、F是线段OP上的动点(与点P不重合),连结并延长DE、DF交⊙O于点B、C,直线BC交y轴于点G,若△DEF是以EF为底的等腰三角形,试探索sin∠CGO的大小怎样变化?请说明理由.图1图2一、试题的背景特色本题以直角坐标系为载体,融几何、…     

谈一道竞赛题

2001北京市初二年级决赛题四(本刊第6期)是一道很好的几何题.看似简单,却不容易.原题如下: 如图,在等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到E,连结DE,恰有 AD=BC=CE=DE.求证:∠BAC=100°.     

一笔画星形及其各星角和揭秘

1 一笔画星形及其构成与分布规律考察任意五角星形(如图1),实质是从一个无三点共线且依次按循环状排列的五点组中的某一点起顺次间隔1点(等效于逆向间隔2点)连结成首尾相     

《数学通报》2011号问题的三角证法

《数学通报》2011年第8期刊登的2011号问题如下:图1如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+2BD=槡3CB,连结CD、BE.证明:CD=12BE.文[1]提供的参考答案利用了一个较陌生的     

一个模型的生长点

<正>图1模型如图1,在直线l的同侧有两点A、C,在直线l上找一点B使AB+BC的值最小.如图1,显然我们先找到点A关于直线l的对称点A′,连结A′C交直线l于点B,则此时AB+BC=A′C最小.证明简单,这里从略.生长点一一个动点图2例1(第16届希望杯赛题)如图2,正△ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC上的动点,连结PB和PD得到△PBD.求:(1)当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长;(2)△PBD的周长的最小值.简析(1)略;(2)△PBD中,因为点B和点D是定点,所以BD的长度唯一确定,又正△ABC的边长为a,即BD=12a,所以若求△PBD的周长的最小值,只需求出PB+PD的最小值即可,此时已经     

构造直角三角形解题例析

一、图形中有圆的直径时,可考虑完善图形,构造直径上的圆周角例1 设MN是O的直径,P、C为圆上任意两点,连结PM、PN。过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线交于A、B、D,     

一道几何最值问题的研题历程及思考

笔者对一道几何最值问题进行了一番研究,现将研题的历程及思考呈现如下. 1 问题呈现 如图1,平面直角坐标系中,已知边长为4的正△ABC,点A和B分别在x轴正半轴和第一象限角平分线上滑动,点C在第一象限,求OC的最大值. 2 研题历程 2.1 问题原型 (2009山东潍坊)如图2,已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连结OC,则OC的长的最大值是_.