另解两道课外练习题

<正>阅读贵刊2015年3月下刊登课外练习题,笔者通过不同途径,另解其中两道题.题一(初一(2)1)已知n个正整数按其规律排列如下a_1,a_2,a_3…a_n,且a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,试求第n个整数a_n.解从其排列规律可以认为a_1=1=1²,a_2=10=12,a_2=10=1²+32+3²,a_3=35=12,a_3=35=1²+32+3²+52+5²,a_4=84=12,a_4=84=1²+32+3²+52+5²+72+7²,……则a_n=12,……则a_n=1²+32+3²+52+5²…+(2_n-12…+(2_n-1⁾2.由S=1)2.由S=1²+22+2²+32+3²+…+(2_n)2+…+(2_n)²     

相似三角形及其应用(中)

<正>例9(1988全国初中数学联赛第二试试题三)如图13,△PQR和△P′Q′R′是两个全等的等边三角形.六边形ABCDEF的边长分别记为:AB=a_1,BC=b_1;CD=a_2,DE=b_2;EF=a_3,FA=b_3.求证:a_1²+a_22+a_2²+a_32+a_3²=b_12=b_1²+b_22+b_2²+b_32+b_3².证明由等边三角形每个内角都为60°及对顶角相等,我们不难发现:△PAB∽△Q′CB∽△QCD∽△R′ED∽△REF∽△P′AF.     

算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当     

学会用化归法思考高中代数问题

<正>化归法是通过数学知识和方法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题的数学方法.在下面的内容中,将重点介绍化归法在高中代数中的应用.例1(1999年高考试题理科)若(2x+√3)⁴=a_0+a_1x+a_2x4=a_0+a_1x+a_2x²+a_3x2+a_3x³+a_4x3+a_4x⁴,那么(a_0+a_2+a_4)4,那么(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)2的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4)"之间的联系,就说明你学会化归法的使用方法.     

我为高考设计题目

题342在数列{a_n}中,若对任意的n∈N^*,都有a_n≤M(实常数)成立,且对任意的aa,则称数列{a_n}具有性质P(M).(1)设等比数列{b_n}(n∈N^*)的前n项和为Tn,若b_3²+b_4=0,b²-2b_3=0;证明:数列{T_n}具有性质P(2);(2)数列{a_n}的前n项和S_n满足:nS_m+n-(m+n)S_n+3(m+n)mn=0(m,n∈N^*);若数列{S_n}具有性质P(884),求a_1的取值集合.     

文字换数

<正>将下述各个句子中的汉字分别换成平同的自然数,建立等式(1)休¹+闲1+闲²+不2+不³+忘3+忘⁴+学4+学⁵+习5+习⁶=2017;愉6=2017;愉¹+快1+快²+度2+度³+过3+过⁴+寒4+寒⁵+假5+假⁶=2017.(2)打6=2017.(2)打²+好2+好²+数2+数²+学2+学²+基2+基²+础2+础²+知2+知²+识2+识²=2017;造2=2017;造¹+就1+就²+未2+未³+来3+来⁴+创4+创⁵+新5+新⁶+人6+人⁷+才7+才⁸=2017.     

通项·回归·解出

先看具体问题。例1 数列{a_n}满足a_1=a_2=1,且a_(n+2)=a_n+a_(n+1) 求证:(a_1/2)+(a_2/2~2)+(a_3/2~3)...+a_n/2~n<2 证明设S_n=a_1/2+a_2/2~2+...+a_n/2~n 由a_n+2=a_n+a_(n+1)得 a_n=a_(n+2)-a_(n+1)。 Sn=(a_3-a_2)/2+(a_4-a_3)/2~2+...+     

经典均值不等式的多重隔离

我们都知道下列经典均值不等式:设a_1,a_2,…,a_n是n个正数,n≥2,n∈N~*.则n/(1/(a_1)+1/(a_2)+…+1/(a_n))≤(a_1a_2…a_n)~(1/n)≤(a_1+a_2+…+a_n)/n≤((a_1~n+a_2~n+…+a_n~n)/n)~(1/n),等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n取到.受文[1],[2]的启发,笔者给出下列经典均值不等式的多重隔离:     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.(1)把下列算式中的9个汉字换成1⁹这九个自然数,并使算式成立.我的×中国梦=祖国富强.(2)求值:A=(19这九个自然数,并使算式成立.我的×中国梦=祖国富强.(2)求值:A=(1²+22+2²)/(1×2)+(22)/(1×2)+(2²+32+3²)/(2×3)+(32)/(2×3)+(3²+4)2+4)²/(3×4)+…+(10072/(3×4)+…+(1007²+10082+1008²)/(1007×1008)+(10082)/(1007×1008)+(1008²+10092+1009²)/(1008×1009).(北京市海淀区世纪城三期春荫园11号楼2单元1C(100097)胡怀志)2.已知两个数a,b均大于2,试证a+b与a·b的大小.     

用唐诗《悯农》做数字谜

<正>四位数2017可拆分为五个正整数的平方和,满足(1)2017=锄²+禾2+禾²+日2+日²+当2+当²+午2+午²(2)2017=汗2(2)2017=汗²+滴2+滴²+禾2+禾²+下2+下²+土2+土²(3)2017=谁2(3)2017=谁²+知2+知²+盘2+盘²+中2+中²+餐2+餐²(4)2017=粒2(4)2017=粒²+粒2+粒²+皆2+皆²+辛2+辛²+苦2+苦²其中(1)四个偶数依次差2,(2)四个偶数依次差4,(3)四个偶数依次差10,(4)四个偶数的平均数为20,一个奇数为17.     

发挥平均不等式取等条件的启思导向作用

平均不等式是我们在解决不等式问题时使用频率最高的一个不等式,其基本形式为:对于正数a_1,a_2,…,a_n有(a_1+a_2+…+a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n),当且仅当a_1=a_2=…=a_n时等号成立.关于它的各种变形及使用技巧的文章可谓铺天盖地,但等号     

趣味换数

<正>下列各式中的不同汉字,代表不同的数字,你能写出一组答案吗?(1)中²+学2+学²+生2+生²+数2+数²+学2+学²+为2+为²+良2+良²+师2+师²+益2+益²+友2+友²=2017;(2)读2=2017;(2)读²+者2+者²+喜2+喜²+欢2+欢²+中2+中²+学2+学²+生2+生²+数2+数²+学2+学²=2017;(3)数2=2017;(3)数²+学2+学²+趣2+趣²+味2+味²+在2+在²+本2+本²+刊2+刊²=2017.     

趣换数字

<正>将下列等式中的汉字分别换成30以内的自然数,使等式成立:纪¹+念1+念²+八2+八³+一3+一⁴+建4+建⁵+军5+军⁶+节6+节⁷=2015,军7=2015,军²+民2+民²+团2+团²+结2+结²+如2+如²+一2+一²+人2+人²=2015,试2=2015,试¹+看1+看²+天2+天³+下3+下⁴+谁4+谁⁵+能5+能⁶+敌6+敌⁷=2015.     

有趣的总合号

<正>在学习数学时,如统计、数列或微积分中经常遇到若干数(或单项式)相加的式子a_1+a_2+…+a_n,为了书写方便,常把上式记作n∑(i=1)a_i或∑(1≤i≤n)a_i,即a_1+a_2+…+a_n=n∑ (i=1)a_i=∑(1≤i≤n)a_i.上面式中的记号∑表示关于数连加求和,称为总和号,∑是一个大写的希腊字母,读作sigma,a_i表示一般项,i是整数,称为求和     

关于在求极值时引进参数的问题

大家知道,在不等式的教学中,有一个很著名的公式其中a_1,a_2,…,a_n都是正数,利用这个公式可求某个函数的极值,也就是说,如果a_1+a_2+…+a_n是一个定常数,那么,当a_1=a_2=…=a_n时,a_1a_2…a_n有极大值;如果a_1a_2…a_n是一个定常数,那么,当a_1=a_2=…a_n时,a_1+a_2+…+a_n有极小值.这个公式在求函数的极值时,理论上是解决了,     

求数列前n项和的三种方法

<正>在我校一次质量检测试卷中,有一道数列题,原题如下:在等差数列{a_n}中,a_2=5,a_1+a_3+a_4=19.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{b_n}前n项和为S_n,且S_n+a_n-1/2ⁿ=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈Nn=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈N⁺).求数列{c_n}的前n项和T_n.     

浅谈“两式相减”的策略

<正>两式相减是数学中一种重要的转化方法,很多数学问题,可借助于"两式相减"获得解决,应用十分广泛.那么怎样用"两式相减"呢?一、错项相减例1记数列{(2n+3)(1/2)ⁿ}的前n项和为S_n,则S_n=.解∵a_n=(2n+3)(1/2)n}的前n项和为S_n,则S_n=.解∵a_n=(2n+3)(1/2)ⁿ,∴有S_n=1/2·5+(1/2)n,∴有S_n=1/2·5+(1/2)²·7+(1/2)2·7+(1/2)³·9+…+(1/2)3·9+…+(1/2)ⁿ(2n+3)1将1式两边乘以公比1/2,得     

有趣的数表与数阵问题(下)

<正>例7设{an}是集合{2~t+2~s|0≤s相似文献   

智慧窗

<正>1趣换数字分别将下述(1)、(2)、(3)中的汉字各换成不相同,且在30以内的自然数,建立等式.(1)休²+闲2+闲²+学2+学²+习2+习²十要2十要²+适2+适²+当2+当²=2015;轻2=2015;轻¹+松1+松²+愉2+愉³+快3+快⁴+度4+度⁵+暑5+暑⁶+假6+假⁷=2015.(2)八7=2015.(2)八²+年2+年²+抗2+抗²+战2+战²+伟2+伟²+大2+大²+胜2+胜²+利2+利²=2015;中2=2015;中¹+华1+华²+英2+英³+烈3+烈⁴+浩4+浩⁵+气5+气⁶+永6+永⁷+存7+存⁸=2015.(3)庆8=2015.(3)庆²+贺2+贺²+中2+中²+国2+国²+共2+共²+产2+产²+     

运用S_n=An~2+Bn解决问题

<正>等差数列{a_n}的首项为a_1,公差为d,其前n项和可以表示为:S_n=An²+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An2+Bn(A=d/2,B=a_1-d/2)(1).若已知数列的前n项和为S_n=An²+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An2+Bn(A,B为常数),则可证得{a_n}为等差数列.本文谈谈如何运用公式(1)解决问题.1求S_n最值的问题例1已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n,S_(12)>0,S_(13)<0,求S_n取得最大值时n的值.解由题意可设S_n=An²+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax2+Bn(n∈N*)且A<0,二次函数f(x)=Ax²+Bx开口向下,f(0)=0,f(12)>0,f(13)<0,其对称轴x=x_0(x_0∈(6,6.5)),所以当n=6时,S_n取得最大值.