“可怕”的通性通法

“通性”是处理数学题的共同思维意识和策略,“通法”是一类题的共性特征,有普遍意义,近年来高考数学命题均注重通性通法.在具体学习时,我们又发现,一味地强调通性通法是一件很“可怕”的事,现列举一案例于后,但求对同学们有所启示.     

从教到考 再谈通性通法的教学

1问题的提出近日仔细研读了文[1]、文[2]和文[3],文[1]作者指出:通性通法是解决具有相同性质数学问题通用的基本方法,通性通法的发现发展就是数学的发生发展,通性通法体现本原的数学思想,具有原创性.新课程大力提倡培养学生的创新意识和创新能力,因此高考试题应更多考查通性通法;     

"基本事实"融入解答题中几例

近几年来,高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向,提倡"注意通性通法,淡化特殊技巧",考查基础主干知识是不变的旋律,强调探究应用是命题的指向,力求推陈出新是不懈的追求.……     

由递推公式求数列通项的通性通法

<正>数列的通项公式直接表述了数列的本质.知道了通项公式,就可以解决数列的一系列的性质问题.所以在高考数列题中往往第一问就是求其通项,掌握求通项的通性通法就至关重要.本文根据近几年高考中出现的对数列求通项公式问题进行归纳并举例其应用.数列求通项公式一般分为三类,第一类为     

巧用估算方法攻克数学难题

一、高考试题的估算 高三复习更多的是基础知识、基本技能和基本要求的一个梳理,教学中比较侧重通性通法的归纳,但对于高考中的难题,学生如果还是沿用这样的思维去解决,就容易吃亏．事实上对于填空题、选择题中的较难题目,不妨尝试估算的方法．     

导数的“隐零点问题”

<正>导数题是高考的压轴题之一,本质上是用求导的方法来确定原函数的单调区间,进而解决函数的各种问题.通常的步骤是求原函数f(x)的导函数f′(x),接着令f′(x)=0解出f′(x)的零点,得到零点,单调区间就迎刃而解了.不过,有些函数的导数我们可以通过零点存在定理证明它确实有零点,但因为所求方程并非初等方程,无法算出其零点,即便继续求二次导也无济于事.我们将这种导数确实有零点却不能求出具体值的问题称为导数的"隐零点"问题.下面通过几道真题来介绍一些解决"隐零点"问题的方法.     

函数不等式高考压轴题巧解

在近几年的高考试题中,出现了含有参数的函数不等式在某一区间上恒成立求参数取值范围的压轴题,大多学生在处理时感觉困难,无从入手,那么有没有一种既简单又易操作的通性通法呢?本文通过一些实例介绍解决这类问题的一种方法.导数是高中新课标教材中的重要内容,它是研究函数的有力工具,应用导数来解决函数的单调性与最(极)值问题也是近年来高考的热点.利用导数解决有关函数问题,是一种有效的手段.这类问题都有一个共同的特征,即求解方程f’(x)=0.若能直接找到根,则结合具体问题对原函数进行分析,从而达到解题的目的;若方程含有参数无法直接解出(如:ex-2ax-1=0),而解方程f’(x)=0的过程又是解答导数问题的必经之路,我们又该怎么办呢?所以解f’(x)=0的技巧也是解答函数不等式问题的一把万能钥匙.在方程无法解出时,我们可以对函数的导数再求导,即用二阶导数研究一阶导数,进而解决问题.     

由2021年新高考Ⅰ卷导数题谈二元函数范围问题的处理方法

<正>2021年全国新高考Ⅰ卷的导数题考查了利用导数研究函数的单调性,以及构造函数证明不等式等知识点.本题第2问涉及两个变量a,b,是一个比较典型的讨论二元函数的范围问题.下面我们从不同的角度来求解这个问题,梳理解决二元函数范围问题的常用思路以及典型方法.     

正视通法 学会思考

1问题的提出"重视通法、淡化特技"早就成为中数界有识之士的共识,目前该观点已是课程改革的十条基本理念之一.高考虽然是选拔性的考试,但是仍以考查通性、通法为主.既然如此,为什么在高考中考生间的分数会有巨大的悬殊呢?这里先从对一道高考题的     

由一题引发的思考

<正>数学中的通性通法就是针对某一类题型所用的一贯套路进行求解.这些方法可以使你对一类问题得以轻松解决,掌握一些必要的类型题的通性通法对于数学的学习不无裨益,但如果每道题都要找到其通性通法去解决,那么数学学科就显得机械化,套路化.数学的美就在于数学的灵活灵动性,数学的美也在于数学的内在美,如果每道题都套路化、机械化,那么就失去了数学美的意义,笔者以下题为例,以期给读者以启发.     

结构巧重组 本质易揭示

<正>利用导数研究函数性质是高考中的重点和热点问题.导数问题类型很多,考查的侧重点都不尽相同,但都需要根据问题的条件,寻找并设计合理、简捷的运算途径,从而有效地解决问题.我们通过2020年全国高考数学Ⅰ卷第21题来探究如何通过结构重组的方式构建新函数解决导数问题.     

一类高考导数压轴题的统一解法

导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.作为压轴题,主要是利用导数求最值解决恒成立问题、利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.2011年全国新课标卷理科数学第21题就是一道典型的以导数为背景,通过求最值分类讨论解决恒成立问题.学生在思考的过程中会产生两种常见的想法,但并不是每一种方法都能达到预期的效果.下面我们就来探讨一下解决这类问题的统一方法.     

活用正方体巧解立体几何题

对于正方体中的问题,我们习惯利用向量法解决,因为向量把复杂的证明变成了简单的计算,但是有些正方体中的问题和与正方体有关的问题,如果利用"转、补、割、构"的方法求解,比利用向量求解还要简捷.下面,我们以2010年的高考题为例来说明.     

从一道题的另解到形成公式

<正>本刊2018年6月(下),陈丽老师的文章《一题多解,促进反思提高》对一道几何题的解法深入探究,从不同角度给出该题七种解法,并且都是通性通法,确实读卷有益.我们在此基础上继续探索,给出另外的解法,并从这个的解法中形成解决一类问题的公式.     

2021年全国乙卷理科12题的解法探究

<正>比较大小试题小巧灵活、变化多端,具有一定的综合性,所以很受高考命题专家的青睐,经常充当着小题压轴的角色．下面对2021年全国乙卷理科12题的解法展开探究,重点剖析其解题的思维历程,突出通性通法．     

新高考Ⅰ卷函数试题考点探析

函数是新高考Ⅰ卷占比最大的考点,约占20%.纵观2021—2023年新高考Ⅰ卷函数题,考点主要涉及函数单调性、奇偶性、极值最值问题、切线问题,其中解答题主要考查函数构造,学生需要构建起研究函数问题的思想方法体系.函数学习需要重视通性通法并优化解题方法,同时提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.     

“通法”虽好“变”则更“通”

一直以来,教师和学生普遍认为：（1）求导;（2）判断导数正负;（3）确定函数的单调性和极值,这样的三步曲是解决导数试题的“通法”．然而,2010年高考两套全国卷中的导数解答题看似普通,利用通法做起来却有些“咬手”,着实给考生增添了许多障碍．     

速解一类双零点求参数范围问题

<正>一、问题的提出函数是高中数学的重要组成部分,零点作为函数的基本要素之一,与函数、方程、函数的图象等知识点联系紧密,所以函数的零点和导数相结合的综合性问题一直是高考的热点之一,与函数零点个数有关的试题更是层出不穷.下面的试题是2013年高考江苏卷第20题的改编题,我们先来考虑这道经典的双零点求参数范围问题.     

近年北京卷高考数列选填题的解法分析

<正>数列作为高中函数主线的重要内容之一,是一类离散的特殊函数,也是一种重要的数学模型．在历年高考选填题中,一方面,数列部分注重对通性通法的考查,如数列的概念、基本量的计算,以及蕴含的数学思想;     

2010年高考数学解答题命题趋势展望

高考数学解答题是对考生所学知识的灵活运用以及分析问题、解决问题能力的全面考查,它要求考生具有全面扎实的基础知识,灵活多变的思维方式及良好的解题习惯,深刻体现了数学基本思想方法在解决综合性问题中的快捷性和实用性．解答题难度大,但不偏、不怪,思路广、解法多,灵活多变,综合性强,因此它在高考中的地位举足轻重,高考中区分层次和选拔功能主要靠这类题来完成．高考解答题的结构相对稳定,大题所考察的内容一般为：三角（向量）、概率、立体几何、解析几何、应用题、数列、函数、不等式及导数应用等,下面我们分别进行分析和研究．