递推数列通项的矩阵解法

分情形讨论递推数列求通项的问题,介绍相应的矩阵解法,并借助实例说明其应用。     

分式线性递推数列的通项

分式线性递推数列an＋1=aan＋b/can＋d就是一个很值得研究的典型题例，本文给出它的一个重要性质并由此得到其通项的一般求法．     

分式线性递推数列的通项

分式线性递推数列an 1=aan bcan d就是一个很值得研究的典型题例,本文给出它的一个重要性质并由此得到其通项的一般求法.定理设有分式线性递推数列an 1=aan bcan d,(a,b,c,d∈R,c≠0),则当特征方程x=ax bcx d有两个相等的根x0时,{1an-x0}成等差数列,其公差为D=ca cx0;当特征方程x=ax bcx d有两个不相等的根x1,x2时,{an-x1an-x2}成等比数列,其公比q=a-cx1a-cx2.证1)当特征方程x=ax bcx d有两相等根x0时,方程化为cx2 (d-a)x-b=0.∴cx02 (d-a)x0-b=0,且(d-a)2 4bc=0,即b-dx0=(cx0-a)x0,且x0=a-d2c.1an 1-x0=1aan bcan d-x0=can d(a-cx0)an b-d…     

挖掘数列相邻项的关系 探求数列应用题的解法

1999年全国高考应用题是与数列相关的题型.我们知道,数列的确定是项的规律的确定,而规律又反映在项与项的关系中,因此,探求数列应用题解法的关键在于挖掘数列相邻项的关系.以下通过几个具体的例题谈谈如何挖掘数列相邻项的关系来解相关的应用题.例1　从盛满20升纯酒精的容器中,倒出1升纯酒精,然后用水填满.再倒出1升混合溶液,又用水填满.照这样方式进行下去,如果倒出第ｋ次(ｋ≥1)时共倒出了ｘ升纯酒精,那么倒出第ｋ 1次时共倒出纯酒精ｆ(ｘ)升,求ｆ(ｘ)的表达式.分析:只要求出第ｋ 1次倒出的纯酒精,就得到了相邻两次倒出的纯酒精总和的关系…     

分式线性递推数列极限的换元解法

给出由关系式xn＋1=（axn＋b）/（cxn＋d）所确定的分式线性递推数列极限的换元解法.     

一般二元线性递推数列的通项公式

其中a_i(i=1,2,3,4)及r_1、r_2,都是常数。初始值由x_1、y_1或x_1、x_1或y_1、y_2给定,这样的数列称为一般二元线性递推数列。我们可以看出,《数学通讯》1989年第2期文、1989年第11期文讨论的二元线性递推数列仅是一般二元线性递推数列当r_1=r_2=0时的特殊情况。本文的目的是     

递推数列的通项

递推数列是数列中的一类非常重要的问题，一般地，可以通过给出数列的第一项（或前若干项），并给出数列的某一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的方式叫做数列递推方式．     

由线性递推关系求数列的通项公式

在学习数列的过程中,根据递推关系求数列通项是常见的一类问题.这些递推关系除了等差等比外,还有an+1=-ban/can+d,an+1+an=f(n),Sn=f(an),an+2=pan+1+qan等几个典型类型.其中最后一个类型是线性表达式,即递推公式中涉及到的项都是一次的,著名的斐波那契数列an+2=an+1+an(1)就属于这种类型.一些考题也属于这个类型,例如,an+2+an+1=6an(2009宁夏高考),an+2=2an+1-an(2014河西区一模),等等.这个类型的一般形式是r0an+ r1an+1+r2an+2+…+rkan+k=0(2),其中k是正整数,r0,r1,…,rk是固定常数,且r0≠0,r1,r2,…,rk不全为0.对于k=2的情形,求通项公式也可以用累加法等进行尝试,但是对于k≥3的情形,这些办法就有限制.笔者发现可以利用“平移作用”和“因式分解”得到一种通用的求通项的简单方法,在此阐述.     

递推数列的通项

递推数列是数列中的一类非常重要的问题,一般地,可以通过给出数列的第一项(或前若干项),并给出数列的某一项(或前若干项)的关系式来表示数列,这种表示数列的方式叫做数列递推方式.与中学竞赛有关的递推数列通常有两类:an=f(an-1)(n=2,3,4,…)及一个初始项a1所确定的数列,叫一阶     

常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法

设数列为,若有正整数K和K＋1个实常数使对任意自然数n都成立,则称阶常系数线性递推数列,（l）式称为递推公式．彭咏松先生在文［l」中利用等比数列和线性方程组的一些知识,研究了常系数齐次（ho一O）线性递推数列的通项公式．本文利用矩阵理论讨论了一般的常系数线性速推数列通项公式．则（1）变为：将（2）式反复迭代,则有：当矩阵E－A可逆时,由于从而（3）式变为当时,,于是可见求数列（n｝通项公式的关键就是求矩阵A的n次方幂,利用矩阵理论可解决此问题．下面举例说明（X。）的通项公式的矩阵求法．例至已知X;一O,X。一1,…     

线性空间与二阶齐次线性递推数列

本文运用线性空间的理论与方法,建立了二阶齐次线性递推数列的通项公式.     

递推数列求通项大观

数列是高中数学中的重要内容,求数列的通项公式就是其中最为常见的题型之一,既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性,因此经常渗透在高考试题和竞赛中.本文对几类常见的递推数列求通项问题作一些探求,希望对大家有所启发.类型 1　由an与Sn给出的数列递推关系,可利用an与Sn的关系求通项此类题一般不直接给出数列 {an}中an+1与an的递推式,而给出Sn与Sn-1或Sn与an的递推式,这时要用an+1 =Sn+1 -Sn(n∈N* ),转化为an+1与an的递推式.例 1　设数列 {an}的首项a1 =1,前n项和Sn满足关…     

变系数递推数列问题的解法分析

在高考和竞赛中常出现变系数递推式问题,其解法比较灵活,因而教学中应注意对学生进行这方面解题能力的训练.本文介绍的一些方法也许可供大家参考.……     

几类递推数列通项的求法

求由递推关系所确定的数列的通项,通常可通过对递推关系的一系列突破,构造出一个新的数列,转化为等差、等比数列,或与之相类似的问题来求解.下面通过具体的例子来说明由递推关系求通项的方法.一、递推式an-an-1=f(n)(n∈N*,f(n)为等差、等比数列的通项).例1、已知{an}中,a1=1,an=an-1 n(n≥2),求an.解:由已知有a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n.将上面n个等式左、右两边分别相加,得an=1 2 3 … n=n(n2 1).例2、已知{an}中,a1=1,an=an-1 2n-1(n≥2),求an.解:由已知,有a1=1,a2-a1=2,a3-a2=22,…,an-an-1=2n-1.将上面n个式子的等号左右两边…     

转化为常数列求递推数列通项

类型1 a_(n 1)=pa_n q例1 (2006福建(理))已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*),求数列{a_n}的通项公式．解由已知a_(n 1)=2a_(n 1),两边同除以2~(n 1),得(a_(n 1))/(2~(n 1))=(a_n)/(2~n) 1/(2~(n 1))．变形得(a_(n 1))/(2~(n 1)) 1/(2~(n 1))=(a_n)/(2~n) 1/(2~n),∴数列{(a_n)/(2~n) 1/(2~n)}是常数列,即(a_n)/(2~n) 1/(2~n)=(a_1)/2 1/2,故所求数列通项为a_n=2~n-1．点拨形如a_(n 1)=pa_n q(p、q常数,p≠1,q≠0)的递推关系求通项,通常先两边同除以     

求解常系数线性齐次递推数列通项的生成函数法

通过引入生成函数,并利用其运算性质以及幂级数展开式,将常系数线性齐次递推数列通项的求解转化为对应特征方程的研究,根据特征根的不同情形,给出了数列通项的一般公式并举例加以应用.     

建立线性递推式探讨数列的周期性

有些数列,已知它的通项公式,或已知它满足某个非线性递推式。要讨论该数列的周期性,这是一类比较困难的问题。本文拟通过若干范例,说明这类问题有时可以通过建立相应的线性递推式来解决。