一道定点问题的推广

<正>已知椭圆C的方程为x²/2+y2/2+y²=1,过椭圆C的右焦点F且与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点,B关于x轴的对称点为点D.求证:直线AD过定点.证明设过点F(1,0)的直线AB的方程为y=k(x-1),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则D(x_2,-y_2).     

圆锥曲线中一组结论

<正>性质1如图1,直线AB过点P(t,0)(0<|t|2/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a2=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a²/t的垂线,垂足分别为C、D、E,则1/AC、1/PE、1/BD成等差数列.证明设点A和点B的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-t),代入椭圆方程整理得:     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理:定理1椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A(a,0),直线l与椭圆交于C,D两点,则AC⊥AD(?)直线l过定点((a(a~2-b~2)/(a~2 b~2)),0).笔者受其启发,给出以下几个定理.定理2点P(x_0,y_0)在椭圆b~2x~2 a~2y~2= a~2b~2(a>b>0)上直线l交椭圆于C,D两点(C,D异于P),则:PC⊥PD(?)直线l过定点     

一道赛题的又一简证

<正>题目点A为y轴正半轴上一点,A、B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y=2/3x²于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x2于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x²解得2/3x2解得2/3x²-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_12-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_1²、     

与焦点有关的一组圆锥曲线结论

<正>性质1如图1,已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,点M是C上异于左、右顶点A,B的一点,直线AM与直线x=a交于点N,线段BN的中点为E,则(1)∠EFB=∠EFM;(2)EM是C的切线.证明(1)由已知,得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),设M(x_0,y_0),直线AM的方程为y=k(x+a),     

对2015年北京高考数学第19题的探究

<正>题目(2015年高考数学北京卷(理科)19)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为22=1(a>b>0)的离心率为2^(1/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴     

圆锥曲线焦点弦的一组统一性质

<正>2018年北京市房山区高三理科一模圆锥曲线解答题为:已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)过点(0,-1),离心率e=22=1(a>b>0)过点(0,-1),离心率e=2^(1/2)/2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点F(1,0)作斜率为k(k≠0)的直线l,l与椭圆C交于M,N两点,若线段MN的垂     

对一道线段比值为定值联考题的探究

1.试题呈现(东北师大附中等六校2020届高三联考)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点(1,3/2),且离心率为1/2.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B,左焦点为F,过F的直线l与C交于M、N两点(M和N均不在坐标轴上),直线AM、AN分别与y轴交于点P、Q,直线BM、BN分别与y轴交于点R、S,求证:|RS|/|PQ|为定值,并求出该定值.     

2014年一道高考题探究

<正>题目已知双曲线C:(x²)/(a2)/(a²)-y2)-y²=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a2=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a²-y_0y=1与直线AF相交于点M,与直     

一道解析几何试题的多视角探析

<正>已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x²=4y的准线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为坐标原点,M,N为椭圆上的两个不同的动点,直线OM,ON的斜率分别为k1和k2,当k1k2=-1/4时,探讨△MON的面积是否为定值,若为定值,求出该定值.若不为定值,说明理由.     

一道征展新题的推广与逆探究

题(<中学数学>新题征展题) 　　已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),过直线l:x=t(t>a)上一点M作椭圆的两切线,切点分别为P、Q,则PQ是否过定点?     

对2019年全国Ⅲ卷理科数学21题第1问的探究与推广

<正>2019年全国3卷理科数学第21题第1问:已知曲线C:y=x²/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x2/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x²/2,故y′=x,则切线DA方程为y-y_1=x_1(x-x_1)切线DB方程为y-y_2=x_2(x-x_2),     

椭圆的长点与长线

<正>命题已知A、B分别为椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右顶点,点M (m,0)(异于椭圆中心和长轴的端点),直线l:x=a~2/m.(1)若过点M的直线交椭圆于C、D两点,直线AC与直线BD交于点P,则点P在定直线l上;(2)若点P直线l上,直线PA、PB分别交椭圆于点C、D,则直线CD过定点M.     

利用齐次式解决圆锥曲线问题

<正>笔者发现若能合理构造并巧妙应用关于x、y的二次齐次式ax²+bxy+cy2+bxy+cy²能快速解决圆锥曲线的一类题,先举三个例子以此抛砖引玉.题1已知直线y=kx+4交椭圆x2能快速解决圆锥曲线的一类题,先举三个例子以此抛砖引玉.题1已知直线y=kx+4交椭圆x²/4+y2/4+y²=1于A、B两点,O是坐标原点,若k_(OA)+k_(OB)=2,求该直线方程.解设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),     

直线与椭圆位置关系的三角判断法及应用

<正>众所周知,在解析几何中,直线与椭圆位置关系的判断,常选择代数法和几何法.设直线l的方程为:Ax+By+C=0(A²+B2+B²≠0),椭圆E的方程为:x2≠0),椭圆E的方程为:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x2=1(a>b>0).代数法即是联立方程Ax+By+C=0和x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1,消去x或y利用判别式判断,当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ<0时,直线与椭圆相离.而几何法是利用仿射变换将椭圆变为圆,比较圆心到直线的距离与圆的半径大小进行     

参数方程在数学竞赛中的应用

<正>题目已知A、B是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右顶点,P、Q是该椭圆上不同于顶点的两点,且直线AP与QB,PB与AQ分别交于M、N.(1)证明:MN⊥AB;(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F_2,求直线MN的方程.分析与猜想对于椭圆的大题计算量本来就很大,初看此题似乎什么条件都没有,笔者也试着从一般方法做过,但计算量实在很大.而后仔细分析,此时想着从椭圆的参数方     

从一高考题谈圆锥曲线的一个命题及应用

一九九二年全国高考试题第二十八题是:已知椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于P(x_0,0),证:-(a~2-b~2)/a相似文献   

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

关于同心椭圆与圆的切线的一个结论

<正>题目对于任给的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x2=1(a>b>0),存在内含圆O_内:x²+y2+y²=a2=a²b2b²/a2/a²+b2+b²和外包圆O_外:x2和外包圆O_外:x²+y2+y²=a2=a²+b2+b².(1)圆O内任何一条切线交椭圆C于点A、B,则OA⊥OB;(2)从圆O外上任意一点P引椭圆C的两     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).