Uniqueness of the concentrated-load problem in the linear theory of couple-stress elasticity

Summary It is pointed out that there exist at least two different solutions of the problem of concentrated loads in the two-dimensional, linear couple-stress theory when the formulation is based on the usual uniqueness theorem. An extension of this uniqueness theorem is proved. A set of conditions sufficient for uniqueness is found and is used in a formulation of the concentrated load problem which results in a unique solution. The significant new condition is that the order of the stress singularity is limited to O(r^–1), where r is the distance from the concentrated load.

---

Sommario Si fa notare che esistono almeno due soluzioni diverse del problema dei carichi concentrati nella teoria lineare, a due dimensioni, delle coppie di volume quando la formulazione è basata sul teorema di unicità.Si dimostra una estensione di questo teorema di unicità. Si trova un gruppo di condizioni sufficienti per l'unicità; queste condizioni vengono usate nella formulazione del problema del carico concentrato che dà luogo ad un'unica soluzione.La nuova condizione significativa è che l'ordine della singolarità dello sforzo è limitato a O(r^–1), dove r è la distanza dal carico concentrato.

---

---

This work is a result of research sponsored by the Office of Naval Research, U.S. Navy, under Contract Nonr-610(06).     

Analysis and design of circular plates using the workhardening adaptation criterion

Summary A unified approach to both analysis (maximum load multiplier) and optimal design problems for workhardening adaptation of axialsimmetric plates is presented, via a continuous approach. The loads are assumed to arbitrarily vary but in a quasi-static manner and remaining inside a given convex loading domain. In such a framework, the assessment of the plastic deformations developed during the actual (a priori unknown) loading history is crucial, since these deformations may result to be excessive with respect to some given ductility criteria, eventhough workhardening adaptation has occured. The bounds on plastic deformations are formulated by means of a quadratic but convex function depending on some fictitious plastic strain. The nonlinear mathematical programming problem so obtained is linearized by a suitable decomposition of the nonlinear constraint into two equivalent constraints. The analysis problem is identified as a linear constrained maximization problem. The optimal design problem in the presence of limited ductility constraints, is identified as a nonlinear constrained minimization problem, the nonlinearity being due to both the objective function and to one only of the constraints: the latter however are herein shown to be suitably linearized. The optimality conditions of the mathematical programming problem are also studied and discussed, and the theory is applied to a case-study structure.

---

Sommario Si studiano l'analisi (determinazione del moltiplicatore al collasso) ed il progetto ottimale di piastre radialsimmetriche di materiale rigido-plastico, assumendo come criterio base l'adattamento per incrudimento ed utilizzando un modello continuo. I carichi sono variabili in modo quasistatico all'interno di un dato dominio. In tale studio si riconosce il ruolo cruciale giocato dalla valutazione dell'entità delle deformazioni plastiche, sviluppate durante la (incognita) storia di carico reale, deformazioni che possono risultare eccessive rispetto a certi requisiti, anche in presenza di adattamento. Viene quindi ricercata una maggiorazione a priori delle deformazioni e si perviene ad una forma di tipo non lineare; il vincolo non lineare che ne scaturisce viene sdoppiato in due vincoli più semplici ad esso equivalenti. La formulazione del problema di analisi si identifica in un problema lineare di massimo vincolato. La formulazione del problema di progetto si identifica in un problema di minimo vincolato, con funzione obiettivo e vincoli non lineari, ma facilmente linearizzabili. Si studiano anche le condizioni di ottimalità del problema di progetto. Una applicazione conclude il lavoro.

     

Vibrations of a viscoelastic rod with small non-linearities

Summary A partial differential equation is considered whose dominant linear term involves third order time derivatives and which contains a nonlinear term multiplied by a small parameter. The solutions of initial-boundary-value problems for the equation are investigated using an extension of the Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii asymptotic method. The vibrations of a viscoelastic rod lead to an equation of the type considered when the material constitutive relation is that of a standard linear solid together with additional small nonlinearities of behaviour, and this particular physical problem is investigated in detail. It is shown that under appropriate initial conditions only a single mode of vibration is excited to lowest order, and some numerical results are given which illustrate the effects of the nonlinearity on these single mode solutions.

---

Sommario Viene considerata una equazione differenziale alle derivate parziali il cui termine lineare dominante implica derivate del terzo ordine del tempo e che contiene un termine non lineare moltiplicato per un parametro di piccola entità. Vengono studiate le soluzioni dell'equazione con le condizioni iniziali e al contorno usando una estensione del metodo asintotico di Krylov-Bogoliubov-Mitropolskii. Le vibrazioni in una sbarra viscoelastica portano ad una equazione del tipo considerato quando la soluzione costitutiva è quella di un normale solido lineare con l'aggiunta di piccole non-linearità di comportamento. Viene studiato nel dettaglio questo particolare problema fisico. Viene mostrato che, con appropriate condizioni iniziali, viene eccitato solo il primo modo di vibrare. Vengono inoltre forniti alcuni risultati numerici che illustrano gli effetti della non linearità per questo particolare modo.

     

Tensorial formulation of neutron diffusion theory

Summary In this paper a tensorial formulation of monoenergetic neutron diffusion theory is presented as can be derived starting from the integral form of the Boltzmann equation. A result of this tensorial approach is that, as a consequence of a spatial variation of the macroscopic cross sections or of the finite dimensions of the body under examination, the diffusion coefficient is no longer a constant scalar quantity, but a second order symmetric tensor, whose components are functions of both the position and the properties of the material the body is made of. The components of the diffusion coefficient tensor are explicitly evaluated in the case of some homogeneous convex bodies.

---

Sommario In questa nota viene presentata una formulazione tensoriale della teoria della diffusione di neutroni monoenergetici, quale può essere dedotta a partire dalla forma integrale dell'equazione di Boltzmann. Nell'ambito di questa formulazione si precisa che il coefficiente di diffusione, in conseguenza di una variazione regolare delle sezioni d'urto macroscopiche con la posizione o delle dimensioni finite del mezzo in esame, non è più una quantità scalare costante, ma un tensore simmetrico del secondo ordine, le cui componenti sono funzioni della posizione e delle proprietà del materiale. Queste componenti vengono calcolate esplicitamente per alcuni mezzi omogenei convessi.

     

Oil whirl of rotors. Part II: Horizontal shafts

Summary Pursuing the research began in [2], we examine here the stability of the steady rotations of a heavy horizontal shaft supported on plain short lubricated bearings, under conditions where cavitation occurs in the lubricant. A complete linearized analysis is first carried out; its results are confirmed by numerical analysis of the full non linear equations of motion.

---

Sommario Proseguendo nello studio iniziato in [2], viene ora esaminata la stabilità delle rotazioni permanenti di un albero orizzontale pesante ruotante su cuscinetti lubrificati corti e con cavitazione. La ricerca inizia con una analisi completa delle oscillazioni incipienti che si ottengono linearizzando le espressioni delle forze dovute al lubrificante nell'intorno delle condizioni di regime; successivamente vengono esposti i risultati di uno studio numerico delle equazioni non lineari.

---

     

A numerical method for second order thin airfoil theory

Summary In this note a fast Cauchy integral solver and its application to the solution of symmetric incompressible flows, based on a quadratic thin airfoil theory, are presented. The computed velocity near the leading edge has been corrected with the Lighthill rule. Some results relative to airfoils and to cascade are reported.

---

Sommario In questa nota si presenta un veloce algoritmo per il calcolo dell’integrale di Cauchy che è stato applicato al calcolo di flussi simmetrici incomprimibili in base ad una teoria quadratica delle piccole perturbazioni. La velocità calcolata nell’intorno del bordo di attacco è stata corretta con la regola di Lighthill. Si presentano alcuni risultati relativi a profili alari isolati ed a schiere di profili.

---

     

An earthquake engineering wave propagation model

Summary A finite element model for the seismic behaviour of soils requires the definition of suitable boundary conditions to simulate the surrounding soil. These conditions are here analyzed theoretically under the only assumption that the boundary soil behaves elastically. Their application requires the definition of the wave direction. The one of impinging waves is known, being an input datum; the one of the outcoming waves is in general not known a priori. The amount of errors involved is discussed. Analogous problem was previously dealt with for sources of disturbances interiors to the represented portion of the space.

---

Sommario L'analisi numerica del comportamento sismico di terreni mediante elementi finiti richiede la definizione di opportune condizioni al contorno per simulare le onde che entrano nella porzione di spazio rappresentato e per assorbire quelle che da questo si propagano verso l'infinito.Tali condizioni sono ricavate teoricamente, nella sola ipotesi che il terreno sul contorno si comporti linearmente. La loro applicazione in programmi di calcolo richiede di precisare al contorno la direzione di propagazione delle onde entranti e di quelle uscenti. La direzione delle prime è un dato del problema, ma la direzione delle onde uscenti non è nota a priori. L'entità degli errori che possono risultarne è discussa sulla base della stessa formulazione teorica. Analogo problema era stato affrontato in precedenza per sorgenti di disturbo interne allo spazio rappresentato.

     

Shakedown analysis of limited-ductility structures

Summary The paper deals with the shakedown analysis problem of discrete elastoplastic structures, subjected to variable and repeated quasi-static loads, account being given to the limited structural ductility by imposing a-priori limit values to some relevant parameters of plastic deformation. The key-concept of limited-ductility load amplifier is assessed and the problem is given a unified formulation as a nonlinear mathematical programming problem, where ductility constraints — of generalized character — are obtained by using a so-called perturbation method which leads to a-priori upper bounds of the relevant plastic deformation measures. Lower bounds to the load amplifier are so obtained and three different computationals stratagies are herein outlined: the linear parametric programming one is applied to three case-study structures.

---

Sommario La memoria affronta lo studio del problema di adattamento elastoplastico di strutture discrete, sottoposte a carichi comunque variabili in modo quasi-statico, tenendo conto di un comportamento a limitata duttilità della struttura, il quale richiede che uno o più parametri della deformazione plastica risultino non superiori di assegnati valori. Del problema di analisi posto, utilizzando il concetto di moltiplicatore dei carichi per l'adattamento con limitata duttilità, viene data una formulazione unitaria come problema di programmazione matematica non lineare, i cui vincoli di duttilità sono ottenuti con tecniche perturbative di maggiorazione a-priori delle deformazioni plastiche. Il metodo conduce a limiti inferiori del moltiplicatore dei carichi dipendenti dal livello assegnato alla deformazione plastica. Tre differenti strategie computazionali vengono delineate per la soluzione del problema, una delle quali di tipo programmazione lineare parametrica viene applicata a tre esempi.

---

---

Ricerca finanziata dal CNR e dal MPI.     

On a magneto-elastic system with discontinuous coefficients and the propagation of a weak discontinuity

Summary In this paper we deduce the magneto-elastic system of equations in the three-dimensional case. As an application we study the propagation of a weak discontinuity when a strong discontinuity also occurs.

---

Sommario In questa Nota si deduce un sistema di equazioni per la Magneto-elasticità con deformazioni finite nel caso tridimensionale. Come Applicazione si studia la propagazione di una discontinuità debole nella ipotesi che i coefficienti delle equazioni risultano essi stessi discontinui. Tale ipotesi risulta verificata, ad es., quando si considerano due differenti mezzi magneto-elastici uno in contatto con l'altro.

---

---

Work supported by the CNR through the Gruppo Nazionale per la Fisica-Matematica.     

Static Response of Composite Circular Cylindrical Shells Studied by Different Theories

A detailed study, on the static response of cross-ply laminated composite circular cylindrical shell of revolution and shell panel with various support conditions, has been made using Levy type of solution and the classical shell theories of FlSanders, Love and Donnell in an unified form. It has been shown that while developing a Levy type of solution using aforementioned theories, certain difficulty is encountered for determining the particular integral in respect of Fl Sanders and Love theories. This difficulty has been overcome by making use of the membrane solution as a particular integral. A comparative study has been carried out using the above shell theories for different geometrical parameters, lamination schemes and support conditions. It has been shown that Donnell theory predicts inaccurate results for certain lamination schemes, support conditions and geometrical parameters of the shell. It is suggested that, for developing shear deformation shell theories, it would be better to use a more accurate shell theory like Flügge Sommario. La risposta statica di gusci cilindrici circolari di materiale composito laminato, a strati incrociati, e di pannelli con varie condizioni di supporto viene analizzata utilizzando in una forma unificata soluzioni tipo Levy e le classiche teorie dei gusci di Flügge Sanders, Love e Donnell. Si mostra che nello sviluppare una soluzione di tipo Levy si incontra una certa difficoltà nel determinare l'integrale particolare rispetto alle teorie di Flügge, Sanders e Love. Tale difficoltà viene superata usando la soluzione di membrana come integrale particolare. Viene sviluppato uno studio comparativo facendo uso delle suddette teorie dei gusci per differenti parametri geometrici, schemi di laminazione e condizioni di vincolo. Si mostra che la teoria di Donnell fornisce risultati non accurati per certi schemi di laminazione, condizioni di supporto e parametri geometrici del guscio. Si suggerisce che per sviluppare teorie dei gusci che tengano conto delle deformazioni di scorrimento sarebbe più opportuno l'uso di una teoria dei gusci più accurata come ad esempio quella di Flügge.     

On the flexural vibration frequencies of statically loaded beams

Summary The problem of vibrations of structures with heavy static loads is a non linear one, and, as such, of difficult solution in its general formulation.A method applicable to undamped structures free from external dynamic actions is proposed: it allows simple linearization on the assumption of elastic behaviour (Hooke's law) and of small oscillations.The problem solution, given in matrix form, is compared with both theoretical and experimental data, showing the high degree of accuracy thus obtainable.Some general conclusions on the influence of different kinds of static load distributions on these dynamic phenomena are also presented.

---

Sommario Il problema delle vibrazioni di strutture sollecitate da elevati carichi statici è, nella formulazione generale, non lineare, e, pertanto di complessa soluzione.Si propone qui un metodo che, applicato alle strutture prive di resistenza e di azioni dinamiche esterne, consente una semplice linearizzazione nella sola ipotesi di comportamento elastico (legge di Hooke) e di piccole oscillazioni.La soluzione del problema, ottenuta per via matriciale, è confrontata a livello teorico e sperimentale, dimostrando l'elevata approssimazione ottenibile.Vengono infine presentate alcune conclusioni di carattere generale sull'influenza nel fenomeno dinamico dei diversi tipi di sollecitazioni statiche.

---

Research sponsored by C.N.R.     

Free lateral vibration of an axially creeping beam-column under initial axial compression

Summary The free lateral vibration of a nonlinear viscoelastic beam column subjected to an initial compressive axial load is considered. The costitutive law is formulated with a linear elastic term and with power functions of stress in the transient and steady creep terms, and is of the nonlinear generalized Kelvin type. By assuming that the stress caused by the oscillation is of much smaller magnitude than the initial stress, the problem is linearized. The problem is analyzed for five special viscoelastic models using small deformation theory, and numerical results are discussed for a stainless steel alloy.

---

Sommario Si considerano le vibrazioni libere laterali di un'asta viscoelastica non lineare soggetta inizialmente ad un carico assiale di compressione. La legge costitutiva si compone di un termine elastico lineare e di termini non lineari nello sforzo sia per lo scorrimento viscoso transitorio sia per quello stazionario; essa è del tipo Kelvin generalizzato non lineare. Si linearizza il problema assumendo che gli sforzi causati dall'oscillazione siano molto più piccoli degli sforzi iniziali. Si studia il problema per cinque particolari modelli viscoelastici usando la teoria valida per le piccole deformazioni, e si discutono risultati numerici validi per un acciaio inossidabile.

     

Solution to the boltzmann equation for monoenergetic neutrons in a slab

Summary This paper presents a physical solution to the linear integro-differential Boltzmann equation, which governs the stationary distribution of the flux of monoenergetic neutrons in the interior and at the boundary of an infinite slab of finite thickness. Results for both the angular and the total fluxes are obtained by properly accounting for the boundary conditions of the problem and by a Fourier transform of the original Boltzmann equation. An integral linear Fredholm equation for the Fourier transform of the total flux is thus derived. The solution of such an equation is given two different representations according to the two decompositions devised for the given Fredholm kernel. The solution obtained in each case is finally inverted termwise to yield the sought total flux in the original space. The result for the angular flux follows, then, directly from the result for the total flux.

---

Sommario In questa nota viene costruita una soluzione fisica dell'equazione integro-differenziale lineare di Boltzmann, che, in regime stazionario, regola la distribuzione del flusso di neutroni monoenergetici all'interno di una lastra piana di spessore finito. Risultati per la distribuzione sia del flusso angolare che totale vengono ottenuti tramite una trasformazione di Fourier dell'equazione integro-differenziale di partenza, in cui le condizioni al contorno del problema vengono opportunamente incorporate. Si perviene in tal modo ad una equazione integrale lineare di Fredholm per la trasformata di Fourier del flusso totale. Della soluzione di questa equazione vengono date due diverse rappresentazioni, che corrispondono a due possibili decomposizioni del nucleo dell'equazione stessa. In ciascuno dei due casi la soluzione ottenuta viene quindi antitrasformata termine a termine per riprodurre il flusso totale nello spazio originale. Dal risultato per il flusso totale segue poi direttamente quello del flusso angolare.

---

---

Work performed under contract C.N.R.     

Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

---

Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.

     

The lift computation for an oscillating flat plate in incompressible potential flow

The initial aim of this work was the estimation of the lift acting on a flat plate performing small oscillations in a plane uniform stream by means of a simplified model based on one or at the most two lumped vortices, and the assessment of its results by comparison to those that were exact. The model was found to work well up to a reduced frequency of about 1 or 2, above which the results diverged from those that were correct. In order to improve the model, its behaviour at very high frequencies was then investigated, discovering: (i) that if the number of lumped vortices is greater than one the possibility to impose all boundary conditions is subject to certain geometrical constraints; (ii) that the asymptotical behaviour is not the right one. A straightforward extension of this conclusion to the exact case of a continuous, vorticity distribution simulating the motion of the plate and to the classical equation describing it leads apparently to an incorrect result. The reason for the discrepancy is found in the singularity displayed by the integral equation which cannot be reproduced by the discrete model. It this therefore concluded that the latter can be trusted at low and middle frequencies but its extension to higher ones is fundamentally uncorrect.

---

Sommario Lo scopo iniziale di questo lavoro era il calcolo approssimato della portanza agente su una lamina piana soggetta a piccole oscillazioni in una corrente bidimensionale uniforme per mezzo di un modello semplificato basato su uno o al più due vortici concentrati, e il confronto dei risultati con quelli esatti. Il modello risulta funzionare bene per frequenze ridotte inferiori ad 1 o 2, sopra le quali, tuttavia, i risultati si allontanano da quelli corretti. Per migliorarlo si è allora studiato il suo comportamento alle frequenze molto alte, scoprendo che: (i) la possibilità di imporre tutte le condizioni al contorno quando il numero dei vortici concentrati è superiore a uno è soggetta a certe limitazioni sulla configurazione geometrica; (ii) che il comportamento asindotico non è quello corretto. Un'estensione automatica di questa conclusione al caso esatto in cui il moto della lamina è simulato da una distribuzione continua di vorticità e alla classica equazione che lo descrive sembra condurre ad un risultato errato. La ragione di questa discrepanza viene individuata nella singolarità contenuta nell'equazione integrale, che non può essere riprodotta dal modello discreto. Se ne conclude perciò che esso è utilizzabile alle basse e medie frequenze ma che una sua estensione alle alte è fondamentalmente errata.

     

Condition of stability and wave speeds for fluid mixtures

Summary We study the algebraic conditions on the characteristic exponents ensuring the infinitesimal stability of the equilibrium of a two constituent-mixture in the class of regular perturbations vanishing on the boundary of the region containing the mixture.From the stability conditions we deduce the real speeds of wave propagation in the mixture.

---

Sommario Si studiano le condizioni algebriche sugli esponenti caratteristici che assicurano la stabilità infinitesima dello equilibrio di una miscela bifase nella classe delle perturbazioni regolari nulle sul contorno della regione contenente la miscela.Dalle condizioni di stabilità si deducono le velocità reali di propagazione di onde della miscela.

     

Potential operators and conservative systems

Summary The theory of potential operators in Hilbert spaces is applied to a rigorous definition of conservative loading.This approach allows correct proof of a well-known condition of conservativeness, usually introduced with a misleading argument. The special case of pressure loading is then examined as an application of the previous results. The analysis is performed in the large (finite deformations) getting a general condition for the conservativeness of pressure loading, not previously found to the author's knowledge.

---

Sommario Si applica la teoria degli operatori potenziali negli spazi di Hilbert per formulare una definizione rigorosa di carico conservativo.Ciò consente di dimostrare in modo corretto una ben nota condizione di conservatività usualmente introdotta con una argomentazione inesatta.I risultati generali ottenuti sono applicati al caso particolare di carico-pressione.L'analisi è condotta nel campo delle grandi deformazioni ottenendo una condizione generale, necessaria e sufficiente, affinchè il carico-pressione sia conservativo.

---

---

Paper orally presented to the 14^th Polish Solid Mechanics Conference Kroscienko, September 2.11.1971.     

A note on the Cauchy relations

The Cauchy relations originated in the context of the molecular theory of elasticity. Assuming them implies a reduction of the independent elastic constants which characterize the constitutive tensor in the linear anisotropic case. This paper brings to light a property of the elastic tensor through its decomposition into a symmetric part and into a skew part in the 2nd and 3rd indices. The skew part, which vanishes if and only if the Cauchy relations hold, is connected with a self-equilibrated stress field. The isotropic case is examined as a particular example.

---

Sommario Le relazioni di Cauchy ebbero origine nell'ambito della teoria molecolare dell'elasticità; la loro assunzione implica una riduzione delle costanti elastiche indipendenti che caratterizzano il tensore costitutivo nel caso anisotropo lineare. In questa breve nota si mette in luce una proprietà del tensore elastico attraverso la sua decomposizione in una parte simmetrica ed in una antisimmetrica nel 2° e 3° indice: la parte antisimmetrica, che risulta nulla se e solo se valgono le relazioni di Cauchy, è associata ad un campo di tensioni autoequilibrate. Si analizza, come caso particolare, il caso isotropo.

     

Non-linear stability of doubly curved thin shallow shells on rectangular plan with small geometrical imperfections

Summary This paper deals with some theoretical developments of the problem of stability of doubly curved thin shallow shells on a rectangular plan. After some critical references to results obtained in earlier studies using the linear theory of stability, the problem of elastic equilibrium in the nonlinear range is approached and solved for some types of shells using piecewise linearisation. Load-displacement curves up to post-buckling are obtained. Deflections not conforming to structural symmetry are also considered. The influence of small geometric imperfections deviates the load-displacement curve to other equilibrium positions and hence a shell with imperfections attains its snapping point at a lower load than one without. A comparison with some experimental studies by other authors is given in the appendix.

---

Sommario Lo studio tratta di alcuni sviluppi teorici sul problema della stabilità dell'equilibrio delle volte sottili ribassate a doppia curvatura su pianta rettangolare. Nella prima parte vengono esposte alcune considerazioni critiche circa i risultati ottenuti in parte dall'Autore in lavori precedenti con la teoria lineare della stabilità. Il problema dell'equilibrio elastico viene poi affrontato in campo non-lineare e risolto per alcuni tipi di volte mediante una linearizzazione a tratti; le curve carico-spostamento vengono ricavate fino al comportamento post-critico. Vengono altresì ricavate curve carico-spostamento corrispondenti a deformate che non conservano la simmetria di struttura e di carico.La presenza di piccole imperfezioni devia la curva caricospostamento verso altre posizioni di equilibrio e la curva relativa raggiunge il punto di instabilità progressiva per valori del carico notevolmente inferiori di quelli relativi alla stessa volta senza imperfezioni. Infine si riporta in appendice un confronto con risultati sperimentali di altri Autori.

---

---

Study supported by the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche).     

On plastic dynamics of discrete structural models

Summary This paper discusses the dynamic loading of rigid-perfectly plastic structures by adopting a structural model discretized with constant stress finite elements. This assumption together with the hypothesis of small displacements and of a piecewise linear yield surface leads to the formulation of a problem in linear inequalities, which is, implicitly, time discretized. It is shown how the non linearity of the associated plastic flow laws leads to an equivalent extremal formulation. A numerical algorithm for solving the problem is directly derived from the mechanical statements. Numerical examples illustrate this approach. In the appendix an approximate technique is developed, which takes into account the influence of the strain-hardening and the strain rate sensitivity of material.

---

Sommario Il problema del caricamento dinamico delle strutture rigido-plastiche viene affrontato attraverso un modello discretizzato per elementi finiti a stato di sollecitazione costante. Tale assunzione insieme alle ipotesi di superficie di plasticizzazione lineare a tratti e di piccoli spostamenti, conduce alla formulazione di un problema retto da diseguaglianze lineari che si presenta discretizzato, implicitamente, nel tempo. Si mostra che la non linearità delle leggi del flusso plastico associato conduce ad una equivalente formulazione di estremo.È esposto un algoritmo risolvente affatto aderente alla formulazione meccanica. Alcuni esempi illustrano il procedimento. Una proposta di adattamento al caso di materiali incrudenti e sensibili alle velocità di deformazione è presentata in appendice.

---

---

Research supported by the National Research Council (C.N.R. - P.A.d.I.S.) of Italy.