对课本一道有关最值例题的推广

高中课本第二册P88的例3是有关最值的一个例题,题目为: “己知x,y∈R~ ,x y=S,x·y=P,求证: ①如果P的定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小。(2(p)~(1/2)) ②如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大。(S~2/4) 事实上,上述结论包含在恒等式xy=(x y)~2-(x-y)~2/4(x,y∈R~ ,x≥y)中,如果我们认真分析恒等式xy=(x y)~2-(x-y)~2/(4)x、y ∈R~ ,x≥y,便可得到如下的结论。 (1)当积xy为定值时,和x y的值随差x -y的增大而增大。当且仅当差x-y取得最     

一道例题的应用

六年制重点中学高中代数第二册88面例3题目如下:已知x,y∈R~+,x+y=S,xy=P,求证(1)如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小;(2)如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大。利用这个例题求函数的最大、     

一个常用定理的推广与应用

不等式中有一个常用定理。已知x、y∈R~+,x+y=S,xy=P。1.如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小; 2.如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的值最大。     

两个最值定理的推广

高中代数课本第二册P.88例3给出了二个最值定理: 定理1 设x,y∈R~+,x+y=S,xy=P,如果P是定值,那么当且仅当x=y时,S的值最小。定理2 设x,y∈R~+,x+y=S,xy=P,如果S是定值,那么当且仅当x=y时,P的     

利用不等式求函数最值方法的推广

高中代数课本第二册88页例3,给了我们一种求函数最值的方法。原题如下: 已知:x、y∈R~ ,x y=S,xy=P。(1)如P是定值;当且仅当x=y时S的值最小。(2)如s是定值,当且仅当x=y时P的值最大。对于某些不满足x=y的函数,就无法用这种方法求得最值。如f(x)=(x~4 4x~2 5)/(x~2 2),它可化成f(x)=(x~2 2) 1/(x~2 2),尽管(x~2 2)·1/(x~2 2)=1,但无论x取何实数,(x~2 2)与1/(x~2 2)永不会相等。显然不能用例3的方法求f(x)的最小值。     

椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数

设p是奇素数,N(p)是椭圆曲线E:y2=2px(x2+1)的正整数点(x,y)的个数.主要讨论了N(p)的性质,运用初等方法及四次Diophantine方程的性质,对某些特殊素数p,给出了N(p)的上界.证明了当p≡1(mod 8)且p=s2+32t,其中s,t是正整数时,N(p)≤3;当p≡1(mod 8)且p+s...     

关于二次根式的一个不等式及应用

本文给出关于二次根式的不等式①,并举例说明①的广泛应用.定理设p>0,xy≥0,则p x p y≥p p x y,①当且仅当x=0或y=0时,①之等号成立.证因为xy≥0,所以,p x p y=2p x y 2p2 px py xy≥2p x y 2p2 px py(等号成立当且仅当x=0或y=0)=p 2p.p x y p x y=p p x y.推论1设p>0,xy≥0,p     

用平均值不等式求极值时正数的匹配

用不等式,x+y≥2(xy)~(1╱2)(x,y都为正数)求极值是《不等式》的教学重点之一。由此不等式得出定理:设x、y是正数,如果和x+y(积xy)是定值,那么当x=y时,积xy(和x+y)有最大(小)值。即若两个正数之和为常量,则当两数相等时,其积有最大值;若两个正数之和为常显,則当两数相等时,其和有最小值。这个定理     

基本不等式应用

<正>基本不等式如果a,b都是非负数,那么(a+b)/2≥(ab)^(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s(1/2),当且仅当a=b时等号成立.基本不等式引出两方面应用.已知a,b都是正数时,则下面的命题成立:(1)若a+b=s(和为定值),则当a=b时,积ab取得最大值s²/4;(2)若ab=p(积为定值),则当a=b时,和a+b取得最小值     

不等式研究成果集锦(15)

178　设 xi>0 ,yi>0 (i=1 ,2 ,… ,n,n≥2 ) ,实数 p≥ 2 ,如果 ∑ni=2x2i ≤ x21,∑ni=2y2i ≤ y21,那么[(xp1- ∑ni=2xpi) (yp1- ∑ni=2xpi) ]1p ≥ x1y1-∑ni=2xiyi- ∑ni=2|y1xi- x1yi|,当且仅当 p =2 ,x1y1= x2y2=… =xnyn时取等号 .(文家金 .2 0 0 0 ,5～ 6)1 79　设 b1,b2 ,… ,bn是实数 ,而 a1≥ a2 ≥…≥ an >0 ,又设 ∑kj=1aj≤ ∑kj=1bj(k=1 ,2 ,… ,n- 1 ) .∑nj=1aj ≥ ∑nj=1bj,则当 0

相似文献   

一个重要的结论

有些学生认为 ,如果 f(x)≥ g(x) (当且仅当 x =a时取“=”号 ) ,那么[f (x) ]m in=g(a) .但这是错误的 .错在哪里呢 ?请看下面的反例 :设 f (x) =x2 1,g(x) =2 x,p(x) =1,则对任意 x∈ R有 f (x)≥ g(x) (当且仅当x = 1时取“=”号 ) .同样对任意 x∈ R有f(x)≥ p(x) (当且仅当 x =0时取“=”号 ) ,为什么 f (x)的最小值是 1而不是 2呢 ?如图 1,可以看出曲线 f (x) =x2 1与水平线 p(x) =1相切图 1且在其上方 ,即说明 f(x)≥ 1恒成立 .但是曲线 f(x) =x2 1与斜线 g(x) =2 x相切且在其上方 ,并不能说明 f (x)的所有值不小于切点的纵坐…     

椭圆曲线y~2=x~3+(p-4)x-2p的整数点

设p=36s~2—5是素数,这里s是使12s~2+1以及6s~2—1均为素数的正奇数.运用初等数论方法证明了当p=31时,椭圆曲线G:y~2=x~3+(p—4)x—2p仅有整数点(x,y)=(2,0)和(28844402,±154914585540);当p≠31时,G仅有整数点(x,y)=(2,0).     

椭圆曲线y^2=x^3+(p-4)x-2p的整数点北大核心CSCD

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关于一类中心循环的有限P-群的自同构群

确定了一类中心循环的有限p-群G的自同构群.设G=X_3(p~m)~(*n)*Z_(p~(m+r)),其中m≥1,n≥1和r≥0,并且X_3(p~m)=x,y|x~(p~m)=y~(p~m)=1,[x,y]~(p~m)=1,[x,[x,y]]=[y,[x,y]]=1.Aut_nG表示Aut G中平凡地作用在N上的元素形成的正规子群,其中G'≤N≤ζG,|N|=p~(m+s),0≤s≤r,则(i)如果p是一个奇素数,那么AutG/Aut_nG≌Z_(p~((m+s-1)(p-1))),Aut_nG/InnG≌Sp(2n,Z_(p~m))×Z_(p~(r-s)).(ii)如果p=2,那么AutG/Aut_nG≌H,其中H=1(当m+s=1时)或者Z_(2~(m+s-2))×Z_2(当m+s≥2时).进一步地,Aut_nG/InnG≌K×L,其中K=Sp(2n,Z_(2~m))(当r0时)或者O(2n,Z_(2~m))(当r=0时),L=Z_(2~(r-1))×Z_2(当m=1,s=0,r≥1时)或者Z_(2~(r-s)).     

一类二元函数最值的求法

文[1]利用不等式:设x1,x2∈R,y1,y2∈R ,则x21y1 x22y2≥(x1 x2)2y1 y2(1)(当且仅当x1y1=x2y2时等号成立)给出了一类二元函数最值问题的一种解题策略.受此启发,本文给出另一类二元函数最值的求法.定理设x,y∈R,a,b∈R ,则(1)当a>b时,有x2a-y2b≤(x-y)2a-b(2)(2)当a相似文献   

幂不等式及其应用

定理:设p、q、x、y是正数,则px qy≥(p q)xp pqyp qq,当且仅当x=y时等号成立.证明:因为lgx是上凸函数,由琴生不等式得lgppx qqy≥plgpx qqlgy,整理即可得证.推广:设ai,xi∈R (i=1,2,…,n),s=∑ni=1ai,则∑ni=1aixi≥s∏ni=1xisai,当且仅当xi=xj时等号成立.一、证明轮换无理对称不等式1.设a,b是正数,求证:a a3b b b3a≥1证明:设a a3b≥kana nbn(k>0),则(1-k2)a2n 2(ab)n b2n≥3k2ba2n-1(1)由幂不等式,上式的左边≥(4-k2)a2n(41--kk22)(ab)42-nk2b42-nk2=(4-k2)a2n4(2--k2k2)b44-nk2(2)令(1)(2)式的右边相等,解得k=1n=43,所以a a3b≥a43a 4…     

数学奥林匹克问题选登

1991年6月号问题解答 (解答由供题人给出) 1.设x≥y≥1,求证: 并确定等号成立的条件。解设x 1=2p~2,y 1=2q~2,其中P≥q≥1,则欲证不等式等价于若p≠q,则上式等价于易证p q-1≥(两端平方,整理有2(p-1)(q-1)≥0) 因而只须证 pq(p q)≥(1 pq)(p q-1)(p-1)(q-1)≥0 由p≥q≥1知上式成立。故欲证不等式成立,其中等号成立当且仅当p=1或q=1或p=q,即x=y或x=1或y=1 注:易证对x≥y≥z>0,欲证不等式与下式     

一个分式不等式的解题功效

本刊刊出了《构造不等式,巧解最值题》[1],该文介绍了分式不等式: 定理设x1,x2∈R,r1,r2,∈R+, 则x12/y1+x22/y2≥(x1+x2)2/(y1+y2) (当且仅当x1:y1=x2:y2时,等号成立) 本文将进一步介绍定理的解题功效.     

两个代数不等式及应用

定理 1　对于 x ,y ,a ,b∈R ,则有　 (x -a) 2 + ( y -b) 2≥ (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2 ( 1 )等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 .证　将 ( 1 )左端减去右端得(x -a) 2 + ( y -b) 2 - (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2=- 2 (ax +by) + 2 (x2 + y2 ) (a2 +b2 )≥ 0 (应用Cauchy不等式 ) .等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 ,可见式 ( 1 )成立 .定理 2　对于 xi,yi∈R ,若当n≥ 2时存在x2 + y2 ≥∑ni=1xi2 + yi2 ,则有(x -∑ni=1xi) 2 + ( y -∑ni=1yi) 2　≥ (x2 + y2 -∑ni=1xi2 + yi2 ) 2 ( 2 )等号成立当且仅当 x1y1=x2y2=… =xnyn=xy 且x…     

H(Φ)空间的性质和Deeb-Marzuq猜想

§1.引言设φ(x)是定义在[0,∞)上的实值函数,满足下列条件: (ⅰ)φ是单调递增的; (ⅱ)对x,y∈[0,∞)有φ(x+y)≤φ(x)+φ(y); (ⅲ)当且仅当x=0时φ(x)=0; (ⅳ)φ在x=0右连续。则称φ为模函数,对于给定的模函数φ,称