Torsional waves in an infinite elastic solid containing a penny-shaped crack

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das axialsymmetrische Problem der Torsionswellen in einem unendlichen, isotropen und homogenen elastischen Körper mit einem kreisförmigen Schlitz betrachtet. Es werden zwei Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art für das gestreute Feld aufgestellt, welche sich bei kleinen Frequenzen zur iterativen Behandlung eignen. Die erste davon ist insofern vorteilhafter, als sie die Verschiebungs- und die Schubspannungsverteilung auf der Schlitzoberfläche direkt liefert und bei iterativer Behandlung viel weniger Arbeit kostet als die zweite. Es werden Ausdrücke für das Verschiebungs- und das Spannungsfeld an der Schlitzoberfläche in Form von Potenzreihen des Frequenzfaktors erhalten. Ebenso wird ein Ausdruck für den Spannungsintensitätsfaktor als Potenzreihe von gewonnen.     

Optimale Bewirtschaftung von Mehrzweckspeicher-Verbundsystemen

Zusammenfassung Es wird ein Modell vorgestellt, das generell für eine Optimierung der Real-Time- und der Langfristbewirtschaftung von Ein- und Mehrzweckspeichern sowie von Speicherverbund-systemen verwendet werden kann.Das implementierte Systemmodell erleichtert die Anwendung auf Speichersysteme unterschiedlicher Struktur.Die Anwendung der Diskreten Differentialen Dynamischen Programmierung und des Marquardt-Verfahrens, einem modifizierten Gauß-Newton-Verfahren, werden für die Optimierung der Bewirtschaftung untersucht. Bei der Diskreten Differentialen Dynamischen Programmierung wird das Dimensionsproblem der herkömmlichen Dynamischen Programmierung weitgehend umgangen. Systeme mit mehr als fünf Speichern können jedoch aufgrund des Rechenzeitbedarfs des Verfahrens nur bei einer Dekomposition in Subsysteme bearbeitet werden. Eine solche Dekomposition ist jedoch problematisch, weil sich abhängig von der gewählten Unterteilung unterschiedliche Auswirkungen auf die Ergebnisse ergeben können. Das Marquardt-Verfahren ist der Diskreten Differentialen Dynamischen Programmierung aufgrund des wesentlich geringeren Rechenzeitbedarfs überlegen, so daß auch größere Speichersysteme ohne eine Dekomposition untersucht werden können.Mit dem Modell wurde exemplarisch ein möglicher Ausbauzustand des Harz-Talsperren-Systems mit sieben Speichern, drei angeschlossenen Trinkwasserversorgungsnetzen und den Nutzungsarten Trinkwasserbereitstellung, Hochwasserschutz, Niedrigwasseraufhöhung und Freizeitnutzung untersucht.

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A model is presented which can be applied generally to optimize both the real time and the long term operation of reservoir systems which may consist of singleor multi-purpose reservoirs as well as interconnected reservoirs. A system model is included to facilitate the application to reservoirs systems of different configurations.The application of Discrete Differential Dynamic Programming (DDDP) and of the Marquardt procedure which is a modified Gauß-Newton procedure, was investigated for the optimization of the operation. By using the DDDP the problem of dimensionality of the conventional Dynamic Programming is evaded to a large extent. But systems with more than five reservoirs can be investigated only by decomposition because of the requirements on computation time. A decomposition may cause problems because different effects on the results can be obtained depending on the chosen decomposition. The Marquardt procedure is better than the DDDP because of its essentially smaller requirements on computation time. Therefore larger reservoir systems can be investigated without any decomposition.A possible planning state of the Harz reservoir system with seven reservoirs, three connected networks for water supply and the purposes supply of potable water, flood protection, low flow augmentation and recreation was investigated exemplary.

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Application of the Galerkin and Ritz methods to nonconservative problems of elastic stability

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden nichtkonservative Probleme der elastischen Stabilität mittels des Galerkin- und des Ritz-Verfahrens behandelt.Zuerst wird bewiesen, dass die Resultate vonLeipholz bezüglich der Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens für solche Probleme auf eine grössere Klasse zulässiger Versuchsfunktionen erweitert werden können. Danach wird das Hamiltonsche Prinzip für nichtkonservative mechanische Systeme so formuliert, dass die Ritzsche Methode auf nichtkonservative Probleme der elastischen Stabilität angewendet werden kann, im Gegensatz zur Ansicht, dass eine solche Anwendung nicht möglich ist. Zum Schluss werden einige angenäherte Lösungen des Beckschen Problems angeführt und verglichen, um die Begriffe zu erklären, die am Anfang dieser Arbeit dargestellt wurden.     

Lagerhaltung bei Unsicherheit

Zusammenfassung Das Referat behandelt die grundsätzlich möglichen Ansätze zu einer Analyse optimaler sequentieller Entscheidungen beim Lagerhaltungsproblem bei Unsicherheit. DasArrow-Harris-Marschak-Modell wird entwickelt, und einige seiner Abwandlungen werden erwähnt. Das Problem der Bestimmung optimaler Lagerhaltungspolitiken wird analysiert. Methoden zur Kalkulation optimaler Verhaltungsregeln werden dargestellt unter besonderer Berücksichtigung des Wert-Iterations-Schemas der Dynamischen Programmierung. Dabei werden die Beziehungen zwischen Dynamischer Programmierung und stochastischen Gleichgewichtsmodellen herausgestellt. Der Gebrauch von Warteschlangenmodellen in der Lagerhaltungsanalyse wird erläutert. Schließlich werden einige Bemerkungen zum Mehrphasen-Lagerhaltungsproblem gemacht sowie zum verbundenen Lagerhaltungsproblem bei verschiedenen Gütern und zum statistischen Problem der gleichzeitigen sequentiellen Schätzung von Nachfrageverteilungen. Es wird erwähnt, daß der Rahmen eines individuellen Lagerhaltungsproblems unter Umständen ausgedehnt werden muß, damit weitere Entscheidungen, wie Instandhaltung, Ersatz, Verteilung usw. im Modell mitbehandelt werden können.

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Summary This paper discusses the basic approaches to optimal sequential ordering decisions in inventory control. TheArrow-Harris-Marschak model is developed and some of its modifications are mentioned. The problem of determining optimal inventory policies is analysed. Methods of calculating optimal policies are presented with special emphasis on the value iteration scheme of Dynamic Programming. The interrelations between Dynamic Programming and stochastic equilibrium models are exhibited. The use of queueing models in inventory analyses is illustrated. Some remarks are made on the multi-echelon inventory problem, on joint inventory problems for several commodities, and on the sequential estimation of demand distributions. It is pointed out that the framework of an individual inventory problem must sometimes be broadened to include such further decisions as maintenance, replacement, distribution etc.

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Festvortrag, gehalten auf der Jahrestagung 1962 der DGU in Bonn am 18. Oktober 1962.     

The distortion of electron spin resonance signal shapes by finite modulation amplitudes

Zusammenfassung Der Einfluss des Detektorsystems eines Elektronenresonanzspektrographen auf die Verzerrung des Signals wird in abhängigkeit der Modulationsamplitude untersucht. Es werden zwei Detektorsysteme verglichen: 1. quadratischer und phasenempfindlicher Detektor, 2. zwei phasenempfindliche Detektoren. Die Ausgangssignale werden als Kombinationen der Fourierkoeffizienten der ursprünglichen Absorptionsbande dargestellt. Eine Formel für die Fourierkoeffizienten einer allgemeinen Absorptionsbande wird hergeleitet und auf den Fall der Lorentz-Bande angewendet. Im Fall 2 ergeben sich Absorption und Dispersion des integrierten Empfangssignals als Hilbert-Transformierten einer einfachen komplexen Funktion.—Das Verhältnis der signal to noise ratios von Fall 1 und 2 wird ebenso diskutiert. Die wesentlichen Resultate sind graphisch dargestellt.     

Mathematische Programmierung in der Zementindustrie

Zusammenfassung Mit Hilfe der Methoden der Mathematischen Programmierung wird für eine Zementfabrik ein Modell gebildet, das gestattet, die optimale Größe der Klinkerhalle, Mahlanlage und Siloanlage zu berechnen. Vorgegeben ist eine jährliche Klinkerproduktion von 500 000 Tonnen; in Abhängigkeit vom saisonalen Absatzverlauf, dem Tarif für die elektrische Energie und Leistung, dem Baukostenverlauf für variable Größe der betrachteten Anlageteile, der technischen Lebensdauer dieser Anlageteile und dem langfristigen Zinssatz werden die gesuchten optimalen Größen berechnet. Der Absatzverlauf, der dieser Berechnung zugrunde liegt, wird zuerst durch eine Erweiterung der dualen Aufgabe des primären linearen Programms hergeleitet; dieser Absatzverlauf muß so gewählt werden, daß die Lösung des linearen Programms eine fat solution im Sinne der linearen Programmierung unter Unsicherheit ergibt; dies führt auf eine quadratische Programmierungsaufgabe. Abschließend werden einige numerische Resultate diskutiert.

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Summary A model for a cement factory is developed by using the methods of mathematical programming, which allows to calculate the optimum capacity of the clinker hall, grinding works and silo plant. An annual clinker output of 500 000 tons is given; the desired optimum capacities are calculated in dependence on the seasonal sales trend, electrical power rates, the trend of building costs of the variable plant capacities taken into consideration, the technical life-span of the plant and the long-term rate of interest. The sales trend taken as a basis for these calculations is first derived from an extension of the dual problem of the primary linear program. This sales trend is thus chosen that the solution of the linear program results in a fat solution in the sense of the linear programming under uncertainty. In order to find out this underlying sales trend a quadratic programming problem has to be solved. In conclusion some numerical results are discussed.

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Bezeichnungen: In den folgenden Ausführungen sind Matrizen mit großen Buchstaben bezeichnet, Zeilenvektoren mit kleinen Buchstaben mit waagrechtem Pfeil; Koeffizienten und Konstante sind durchwegs mit kleinen Buchstaben bezeichnet.

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Dissertation, angenommen von der Rechts- und Staatswissenschaftlichen Fakultät der Universität Zürich. Ich möchte dem Referenten, Herrn ProfessorH. P. Künzi, hier meinen Dank aussprechen. Der Zementfabrik Holderbank AG bin ich für die großzügige Unterstützung zu Dank verpflichtet; ebenfalls möchte ich der Firma IBM danken für die Zurverfügungstellung einer IBM 7090-Rechenanlage.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi     

The stability of time-dependent laminar flow: Parallel flows

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das allgemeine Problem der Stabilität inkompressibler, instationärer, paralleler und laminarer Strömungen zwischen zwei unendlichen Ebenen untersucht. Dabei werden sowohl die klassische linearisierte Theorie für Störungen mit kleiner Amplitude als auch eine Variationsmethode für Störungen endlicher Grösse angewandt. Die grundlegenden Lehrsätze der linearen Theorie werden, soweit dies für das allgemeine Problem möglich ist, erweitert und ihre Konsequenzen aufgezeigt. Unter Anwendung der Variationsmethode werden für mehrere besondere instationäre Strömungen quantitative Ergebnisse gezeigt, aber die hier entwickelten Gleichungen können ebenso auf jedwede parallele Strömung angewendet werden. Das stationäre Problem ist als ein besonderer Grenzfall behandelt.     

On the behavior of a slightly rarefied gas mixture over plane boundaries

Summary The behavior of a slightly rarefied gas mixture bounded by plane boundaries is investigated on the basis of the linearized Boltzmann equation ofB-G-K type for gas mixtures under the diffusive boundary condition. A useful result of the present analysis is that the macroscopic equations and the appropriate boundary conditions in terms of slip and jump are obtained together with the Knudsen-layer corrections near the boundaries. This system of equations makes possible the treatment at fluid dynamic level for various problems of gas mixtures with plane geometry which require kinetic theory consideration. As an application of this system, some basic flow problems of a slightly rarefied gas mixture, namely, Couette flow, thermal slip flow and diffusion slip flow between two plates are taken up. The total velocity distributions of these concrete problems are explicitly obtained for the first time, and their dependence on the properties and concentration of the component gases in the mixture are clarified in some detail.

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Zusammenfassung Das Verhalten einer verdünnten Gasmischung, bei kleiner aber nicht vernachlässigbarer Knudsen Zahl, zwischen zwei parallelen Platten wird analytisch untersucht. Die linearisierten Boltzmann Gleichungen desB-G-K Typs für Gasmischungen mit diffusiven Randbedingungen werden angewendet. Aus der vorliegenden Untersuchung resultieren brauchbare makroskopische Gleichungen mit den zugehörigen Randbedingungen, — mit Gleitgeschwindigkeit und Temperatursprung formuliert, — sowie die Korrekturen für die wandnahe Knudsen-Schicht. Verschiedene Strömungen von Gasmischungen, bei denen gas-kinetische Effekte eine Rolle spielen, entlang ebener Begrenzungen können mit den Gleichungssystemen auf strömungsmechanischem Niveau behandelt werden. Das System wird auf die Couette Strömung und die thermal-slip und diffusion-slip Strömungen angewendet. Zum ersten Mal werden die Geschwindigkeitsprofile dieser elementaren Strömungen explizit berechnet. Der Einfluß der Gaseigenschaften und Konzentrationen auf diese Profile werden weitgehend erklärt.

     

The elastic fields and interactions of point defects in isotropic and cubic media

Zusammenfassung Die Formel vonEshelby für die elastische Wechselwirkung zwischen Punktdefekten wird neu hergeleiter. Die elastischen Eigenschaften der Punktdefekte werden behandelt durch Anwendung der mathematischen Methoden der Quantenmechanik des Drehimpulses auf die Gleichungen der linearen Elastizitätslehre des Kontinuums. Für isotrope Medien werden die Multipole beliebiger Ordnung der elastischen Felder exakt berechnet, und für Medien kubischer Symmetrie wird eine Näherung für das elastische Dipolfeld gegeben. Die Wechselwirkungsenergie zweier elastischer Dipole wird für isotrope Medien exakt und für kubische Medien näherungsweise berechnet. Die Formel wird angewendet auf Paare vonO ₂ ^– Zentren und Paare vonOH ^– Zentren inKCl. Numerische Resultate sind gegeben.

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This work is part of a research program suported by the Swiss National Science Foundation under contract No. 4212.     

Rotational-flow analysis of plane right-angle bends

Zusammenfassung Nach einem Verfahren, das als Methode der gefrorenen Wirbel bezeichnet wird, werden ebene Strömungen durch einen Krümmer berechnet. Der Grundgedanke des Verfahrens besteht darin, die Wirbelstärke näherungsweise als eine Funktion der Stromfunktion allein anzusetzen. Man wird so auf eine Poisson-Gleichung für die Stromfunktion geführt. Die Rechnungen werden durchgeführt für Geschwindigkeitsverteilungen im Eintrittsquerschnitt, die der ausgebildeten laminaren und turbulenten Strömung entsprechen. Am Beispiel der Laminarströmung wird der Einfluss vorgegebener Wirbelverteilungen und Ausflussbedingungen auf die Strömung in den verschiedenen Bereichen des durchströmten Raumes untersucht. Bei den Berechnungen mit Geschwindigkeitsprofilen, die der turbulenten Strömung entsprechen, wurden zudem die Einflüsse der Krümmung und der Art der Zuströmung betrachtet, wobei der Krümmungsradius vom 0,75fachen bis zum 4fachen der Kanalbreite variiert wurde. Das Verhältnis des Mittelwertes der Geschwindigkeit im Eintrittsquerschnitt zur Geschwindigkeit in der Mitte dieses Querschnittes erweist sich dabei als ein hydrodynamisch charakteristischer Parameter, während die Annahmen über die Geschwindigkeitsverteilung am Austritt nur von geringfügigem Einfluss sind. Bei scharfer Krümmung und ungleichmässigen Geschwindigkeitsprofilen tritt Strömungsablösung an der Aussenwand auf. Ablösungserscheinungen an der Innenwand — die praktisch beobachtet werden — liefert diese Theorie nicht, womit die Grenzen ihrer Anwendbarkeit in Erscheinung treten.     

On the solution of the general inhomogeneous linear differential equation of second order using lie series representation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die lineare, inhomogene, gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung mit beliebigen regulären Koeffizientenfunktionen mittels Liereihen gelöst. Es werden zwei Wege beschritten, von denen einer auf Rekursionsformeln und der andere auf die iterative Auswertung eines Störintegrals führt; ersterer ist programmiertechnisch einfacher, läßt aber keine exakte Fehlerabschätzung zu, während für das Störintegral der Fehler angegeben werden kann.

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the result communicated in this paper were obtained in the course of research sponsored by NASA under Research Grant No. NGR-52-046-001. (Princical investigatior: Prof. Dr. Ferdinand Cap.)     

Laminar-turbulent transition

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, auf das kleine statistische Störkräfte wirken, werden für laminare Strömungen gelöst. Das Teilchen wird mit Flüssigkeitsballen identifiziert, wie sie in der turbulenten Strömung vollkommen ausgebildet sind, aber im laminaren Bereich in subkritischer Grösse schon vorkommen können. Als Stabilitätskriterium wird eine Bedingung hergeleitet, für die das mittlere Verschiebungsquadrat schnell wächst. Es wird gezeigt, wie aus den Gleichungen die wohlbekannten Stabilitätsgesetze für Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkten folgen. Die kritische Grösse eines Geschwindigkeitsballens in der Nähe des Umschlagpunktes ist wahrscheinlich identisch mit den kleinsten Turbulenzelementen. Es wird eine Formel hergeleitet für die Brownsche Bewegung in Strömungen.     

Network design and dynamic routing under queueing demand

Given a nonhierarchical network and time-varying flow requirements, the problem of determining optimal capacities is termed design; that of determining optimal flows as dynamic routing. We formulate a linear program to solve both simultaneously in the case of deterministic flow requirements. A probability distribution termed the Erlang Difference Distribution is derived from a queueing model to describe random flow requirements, and this case leads to a separable convex program that has a linear programming equivalent. Both linear programs are amenable to Dantzig-Wolfe decomposition, which reveals subproblems that yield to special techniques of solution.

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Zusammenfassung Gegeben sei ein nicht hierarchisches Netzwerk mit zeitabhängigen Flüssen. Das Problem, optimale Kapazitäten festzusetzen, wird als Netzwerk-Entwurf bezeichnet. Die Bestimmung optimaler Flüsse bezeichnet man als dynamische Flußführung. Es wird ein lineares Programm formuliert, das beide Probleme gleichzeitig löst, sofern deterministische Flüsse vorliegen. Sodann wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung namens Erlang'sche Differenzen-Verteilung aus einem Warteschlangenmodell abgeleitet, um zufällige Flüsse zu beschreiben. Dies führt auf ein separables konvexes Programm mit einem linearen Programm als Äquivalent. Bei beiden betrachteten linearen Programmen kann die Dantzig-Wolfe Dekomposition angewendet werden, wobei die auftretenden Teilprobleme durch spezielle Techniken gelöst werden können.

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Research partially supported by National Science Foundation Grant ECS-8300214.     

The response of a thin elastic rod to combined thermal and mechanical impulse

Zusammenfassung Es wird das Charakteristikenverfahren benützt, um zwei Probleme zu untersuchen, welche mit dem kombinierten Einfluss eines thermischen und mechanischen Stosses auf die Fortpflanzung einer elastischen Längswellenfront im eindimensionalen Körper zusammenhängen. Im ersten Fall werden die beiden Stösse gleichzeitig am freien Ende appliziert, und es werden die Änderungen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit studiert, welche auf das durch Diffusion erzeugte ungleichförmige Temperaturfeld zurückzuführen sind. Es wird gezeigt, dass die Vorläuferfront durch den modulierenden Effekt des Diffusionsprozesses in ihrer Intensität herabgesetzt wird. Das zweite Problem betrifft einen mechanischen Stoss, der einige Zeit nach Entstehen eines ungleichförmigen Temperaturfeldes infolge Wärmeflusses appliziert wird. Es werden Ausdrücke hergeleitet für die Modulation der Verzerrungen und Geschwindigkeiten an der Wellenfront, während die elastische Welle in ein festeres Medium hineinläuft.

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Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Laval University, May 22–26, 1967.     

On tensor rates in continuum mechanics

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass Tensorgeschwindigkeiten materiell objektiv sind, wenn sie von den Geschwindigkeiten ihrer Abbildung in einer festen Konfiguration abgeleitet sind. Höhere Geschwindigkeiten werden formuliert, und eine höhere Jaumanngeschwindigkeit wird definiert, die gegenüber der vonPrager kürzlich eingeführten Definition gewisse Vorteile aufweist.Bekannte Stabilitätskriterien für Körper, deren Randbedingungen gegebene Kräfte enthalten, werden auf Grund des Druckerschen Postulats bestätigt, und neue Kriterien werden für Körper unter anderen Randbedingungen entwickelt.Allgemeine bewegliche räumliche Koordinatsysteme werden schliesslich eingeführt, und die zugehörigen Tensorgeschwindigkeitskomponenten werden mit Rücksicht auf grösste Einfachheit abgeleitet.

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This work was sponsored by the National Science Foundation.     

Slow broad side motion of a flat plate in a viscous liquid

Zusammenfassung Das Problem der langsamen Querbewegung einer ebenen Platte in einer zähen Flüssigkeit ist zurückgeführt worden auf ein Problem der Elektrostatik. Die Geschwindigkeitskomponenten und der Druck können berechnet werden aus einer Funktion , die als die gleiche erscheint wie das elektrostatische Potential einer Platte unter konstantem Potential im Vakuum. Die Strömungsverhältnisse an einer Platte vom allgemeinen Umriss können mit Hilfe der Experimente auf Grund dieser Analogie bestimmt werden. Der Fall einer kreisrunden Platte wurde analytisch behandelt mit Hilfe der Abbildungen.     

Vierdimensionale Stabile Ebenen

Zusammenfassung Eine Stabile Ebene ist eine stetige Inzidenzstruktur mit eindeutig bestimmten Verbindungsgeraden zu je zwei Punkten, in der das Stabilitätsaxiom gilt: Besitzt ein Geradenpaar einen Schnittpunkt, so existiert der Durchschnitt auch für jedes genügend nah benachbarte Paar. Stabile Ebenen wurden bislang nur unter der Voraussetzung untersucht, daß der Punktraum eine Fläche ist (ebene Ebenen). Hier wird allgemeiner vorausgesetzt, daß der Punktraum lokalkompakt und von positiver Dimension ist. Es wird bewiesen, daß der Punktraum metrisierbar, lokal bogenzusammenhängend und lokal kontrahierbar ist. Das Büschel aller Geraden durch einen Punkt ist kompakt und zusammenhängend. Falls die Geraden Mannigfaltigkeiten sind, so sind die Büschel Sphären der Dimension 1, 2, 4 oder 8. Ist die Dimension der Punktmenge höchstens 4, so sind die Geraden stets Mannigfaltigkeiten. Eine stabile Ebene ist genau dann projektiv, wenn der Punktraum kompakt ist. Die Automorphismengruppe einer stabilen Ebene ist in der kompakt-offenen Topologie lokalkompakt; sie ist eine Liegruppe, falls der Punktraum R ⁴ ist.Unter der Voraussetzung, daß alle Geraden zu R ² homöomorph sind, werden folgende Aussagen bewiesen: Die Gruppe aller Kollineationen mit einem festen Zentrum wirkt frei und mit abgeschlossenen Bahnen auf dem Komplement des Zentrums; ist sie nicht kompakt, so gibt es durch das Zentrum genau eine Nichtschneidende zu jeder Geraden außerhalb. Involutorische Automorphismen sind entweder Punkt- oder Geradenspiegelungen, oder sie besitzen eine zweidimensionale Unterebene von Fixpunkten (Baer-Involutionen). An jedem Punkt und jeder Geraden gibt es höchstens eine Spiegelung. Die Dimension der Automorphismengruppe ist höchstens 12; ist sie größer als 9, so ist die Ebene affin und desarguessch. Andererseits gibt es eine nicht-affine Ebene mit 9-dimensionaler Gruppe. Fahnenhomogene Ebenen sind genau die desarguessche affine Ebene und die komplexe hyperbolische Ebene, das heißt die offene Einheitskugel der affinen Ebene mit der induzierten Struktur.     

Thin film flowing down a curved surface

The film flow down a curved surface is analysed by an orthogonal curvilinear system and a perturbation in the small ratio of film thickness to minimum radius of curvature. General solutions are obtained to second order. The results are applied to plates with exponential curvature and sinusoidal curvature. Separation is most likely to occur on the upstream sides of a wavy plate.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung einer dünnen Schicht entlang einer gekrümmten Fläche untersucht, mit Hilfe eines krummlinigen orthogonalen Koordinatensystems und einer Entwicklung, bei dem das Verhältnis von Schichtdicke zu (minimalem) Krümmungsradius als kleiner Parameter dient. Es werden allgemeine Lösungen bis zur zweiten Ordnung angegeben. Die Ergebnisse werden auf Platten mit exponentieller und sinusförmiger Krümmung angewendet. Ablösung wird am wahrscheinlichsten an Stellen stromaufwärts an einer gewellten Platte auftreten.

     

Die optimale Tarifstruktur öffentlicher Versorgungsunternehmen

Zusammenfassung In der Literatur der Unternehmensforschung nehmen Fragen der Preisbildung und der Preispolitik industrieller Unternehmen einen breiten Raum ein. Die Untersuchungen bauen im allgemeinen auf drei Voraussetzungen auf: Erstens wird eine mehr oder weniger elastische Nachfragefunktion nach den von den Unternehmen hergestellten Produkten vorausgesetzt. Zweitens wird angenommen, daß die Unternehmen die Nachfrage nach eigenem Ermessen befriedigen können. Drittens wird vorausgesetzt, daß die Unternehmen nach maximalen Gewinnen streben. Bei Versorgungsunternhmen sind diese drei Voraussetzungen im allgemeinen nicht gegeben. Die Nachfrage nach den von den Versorgungsunternehmen angebotenen Leistungen ist in weiten Bereichen unelastisch. Die Monopolstellung, die die Versorgungsunternehmen in den meisten Fällen haben, ist mit der Verpflichtung verbunden, den im Versorgungsgebiet auftretenden Bedarf in vollem Umfange zu befriedigen. Die Versorgungsunternehmen können endlich ihre Preise nicht nach dem Prinzip der Gewinnmaximierung setzen. Sie werden im allgemeinen nach dem Prinzip der Kostendeckung geleitet. Für die Preispolitik in Versorgungsunternehmen ergeben sich aus dieser Situation Probleme, die sich von denen der industriellen Unternehmen grundsätzlich unterscheiden. Während das Streben nach einem möglichst hohen Gewinn die Knappheitspreise der Faktoren und die optimalen Absatzpreise und Absatzmengen eindeutig determiniert, ist das Streben nach Kostendeckung mit einem breiten Bereich möglicher Preissysteme vereinbar. Nur wenn weitere Bedingungen eingeführt werden, denen das Preissystem von Versorgungs-unternehmen genügen soll, läßt sich ein eindeutiges Preissystem ermitteln. Einige Grundprobleme der Preispolitik von Versorgungsunternehmen werden hier herausgearbeitet. Dabei wird die These vertreten, daß die Preispolitik sich weitgehend von der Nachfragefunktion löst. Die langfristige durchschnittliche Nachfrage wird als gegeben angenommen. Mit Hilfe einer sogenannten Lenkungsfunktion, die man auch als bonitäre Grenzkostenfunktion der Kapazitätsauslastung bei Kostendeckung bezeichnen könnte, sollen die saisonalen Ausschläge um die normale Nachfrage im Rahmen des Kostendeckungsprinzips beeinflußt werden. Die Lenkungsfunktion stellt also auch keine kurzfristige Nachfragekurve dar. Es wird gezeigt, daß bei Versorgungsunternehmen der aus der Theorie der linearen Programmierung bekannte Fall der Degeneration nicht die Ausnahme, sondern die Regel bildet. Im einzelnen werden die Preispolitik der Einheitstarife und die Preispolitik der gespaltenen Tarife mit Differenzierung nach Abnehmergruppen und nach zeitlichen Gesichtspunkten unterschieden.

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Summary In the literature on Operations Research pricing problems of industrial firms are treated rather frequently. The papers are usually based on three assumptions: Firstly a more or less elastic demand function is assumed to be given. Secondly the firms are free to satisfy all the demand or not. Thirdly profit maximization is the usual assumption of the firms' goal. These three assumptions do in general not hold in the case of utility companies. Demand for the products offered by the utility companies is very frequently inelastic. The monopolistic position that utility companies have in most cases is combined with the obligation to satisfy the total demand of the area supplied. Finally utility companies cannot set their prices in order to maximize profits. On the contrary utility companies are in general run on the basis of cost coverage. Thus pricing problems of utility companies are very different of those of industrial firms. On the basis of profit maximization shadow prices for the factors of production as well as the optimal combination of price and quality for the products sold can be determined. By contrast cost coverage leaves a wide range of possible pricing systems. It is not until further criteria are introduced into the pricing process that a unique price can be derived. Some fundamental problems of pricing policy in utility companies are treated in this paper. The paper maintains the thesis that pricing on the basis of cost coverage is fairly independent of the demand function. The long-run average demand is assumed to be given. A guide function which could also be labelled a monetary marginal cost function of capacity utilization with cost coverage is introduced as a means of influencing seasonal fluctuation around the normal demand. This guide function does not constitute a shortrun demand function. It is shown that degeneration, well-known from the theory of linear programming, is not an exception in optimal pricing of utility companies but constitutes the rule. Optimal prices using the guide function are derived and various specific problems of split tariffs and differentiated prices are discussed.

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Vortrag, gehalten auf der 3. Jahrestagung der DGU in Hamburg am 18. September 1964. Der Vortrag gibt die allgemeinen Grundgedanken eines dem Bundeswirtschaftsministerium erstatteten Gutachtens wieder.     

Variational formulations for nonlinear wave propagation and unsteady transonic flow

A variational principle developed recently for constrained vector fields is applied to nonlinear waves and to unsteady, transonic flow. The mathematical conditions on the admissible functional form of the speed of propagation is compatible with physical considerations for the first systems and the treatment of the mixed derivative is indicative for a proper way to discretize the second for numerical calculations. The variational formulation provides a framework for stability analysis and finite element approximations for the nonlinear systems considered.

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Zusammenfassung Ein Variationsprinzip, das in letzter Zeit für Vektorfelder mit einschränkenden Bedingungen entwickelt worden ist, wird auf nichtlineare Wellen und auf nichtstationäre transonische Strömung angewendet. Die mathematische Bedingung für die zulässige funktionale Form der Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist verträglich mit den physikalischen Bedingungen für das erste System, und die Behandlung der gemischten Ableitung deutet an, wie das zweite System für numerische Behandlung diskretisiert werden soll. Die variationale Formulierung gibt einen Rahmen für eine Stabilitätsuntersuchung und für eine Näherung durch finite Elemente für das nichtlineare System.

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Work partially supported by Grant AFOSR-73-2561.