关于麦克劳林公式中余项的注记

结合具体例子讨论了麦克劳林公式中的余项形式,指出对于给定的麦克劳林多项式,用定义(直接法)获得的余项形式不唯一.利用常见初等函数的麦克劳林公式(间接法)得到的余项形式被讨论,该余项形式可能不是麦克劳林公式中的余项,但具有误差分析的价值.最后,建议在教材中引入“函数的n阶麦克劳林多项式”称谓,用于区别“n次麦克劳林多项式”,补充余项细节,降低学习难度.     

n元泰勒公式及其在多元函数极限中的应用

在分析泰勒公式的基础上,分别给出了n元函数带有拉格朗日型余项与带有佩亚诺型余项的泰勒公式,及多元函数带有拉格朗日型余项与带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式.同时得到了应用n元函数的泰勒公式求多元函数极限的方法,并分析了该方法在求多元函数极限问题时的适用情形与条件.具体实例显示本文给出的方法是可行有效的.     

利用积分证明Taylor公式

利用 Newton-Leibniz公式 ,给出了 Taylor公式的一种新的证明 .并由所得余项导出了其它形式的余项     

多项式插值余项定理的一个自然证明

通过对插值多项式函数性质进行分析,多项式插值余项的基本形式得到诱导,再从该基本形式出发,获得了多项式插值余项定理的新证明.整个证明过程无需借助辅助函数的构造,因而显得较为自然.这种自然证明的方式也可用于Hermite切触型插值多项式余项的证明.     

均匀次序统计量的线性组合的渐近展开的非一致界限

Van Zwet 在1979年研究了均匀次序统计量的线性组合的渐近展开,他给出了展开余项的一致估计.本文改进了这一结果,得到了余项的非一致估计.     

关于低度光滑函数的插值余项

怎样估计低度光滑函数的插值余项及其各阶导数?这是胡祖炽教授在中国计算数学学会首届年会(1979,广州)的大会报告中提出的问题.Prenter的结果夸大了节点的密集对余项的影响,尽管它只考虑余项本身。我们同时估计了余项的各阶导教,澄清了节点的密集对它的影响。     

关于Euler-Maclaurin公式的一个注记

利用梯形公式的余项,将被积函数的二阶导数做幂级数展开,证明了余项是关于求积区间长度的奇数次幂级数.推导出了复合梯形公式的一类渐近展开式,从另一方面印证了Euler-Maclaurin公式.     

p级数的求和

通过积分转移、余项逼近的方法,建立起一系列p级数的求和公式,并给出了便于操作的误差估计方法.一改把级数余项当作误差来估计的传统做法,而是将余项作为和的重要组成部分进行分析,使得每增加一项计算量,精度能提升二个以上指数级,从而有效地解决了p级数的求和问题.     

浅谈泰勒公式的积分型余项

本文介绍一种积分型余项的泰勒公式,并由此导出泰勒公式的微分型余项.     

带皮亚诺余项和拉格朗日余项的泰勒公式应用比较

本文给出了带拉格朗日余项和皮亚诺余项的泰勒公式在应用上的比较,带皮亚诺余项的泰勒公式可用于求极限、高阶导数、无穷小阶的判定等,而带拉格朗日余项的泰勒公式可用于证明适合某种条件的存在性、不等式的证明、方程根的问题、近似计算等.     

各向异性Heisenberg群上带余项的Hardy型不等式

利用一些非常精细的估计技巧,证明了各向异性Heisenberg群上的一类带余项的Hardy型不等式,推广了最近文献中关于Heisenberg群上的带余项的Hardy型不等式的结果.     

两种不同余项型泰勒公式的简易证明

本文从近似精确度出发,利用洛必达法则逐步推导出泰勒多项式,得到带有Peano型余项的麦克劳林公式和泰勒公式.进一步利用拉格朗日中值定理推导出带有拉格朗日型余项的泰勒公式.     

施勒密赫型余项的泰勒定理的积分证明

本文运用含参变量的快速分部积分法，简洁、直观地导出了带积分型余项的泰勒公式，然后应用推广的积分第一中值定量，变积分型余项为具有普遍性的施勒密赫型余项，赋于参数ｐ的特定值，就得到拉格朗日型和柯西型余项公式．这篇短文，给出了四种能进行定量估计的余项形式，对教学有一定的参考价值．     

求函数带有拉格朗日余项的泰勒公式一种常见错误

从求函数带有拉格朗日余项的泰勒公式的一种常见错误引入,通过给出正确的解法,指出将函数展开成带有拉格朗日余项时应注意的细节问题.     

双曲正弦和双曲余弦函数的幂级数余项的不等式

该文建立了双曲正弦和双曲余弦函数的幂级数余项的若干不等式.     

无限级Dirichlet级数的增长性与逼近

文章通过引入β-级的概念讨论了半平面内收敛的无限级Dirichlet级数的增长性.此外,还研究了由Dirichlet多项式逼近β-级Dirichlet级数后的余项,并且得到了余项与增长级的一些关系,以及E_n(f,α)和系数|a_n|之间的等价关系.     

带齐次权的Hardy型不等式

在采用Hoffmann-Ostenhof和Laptev构造权函数的思想,进行加权推广,给出了一类带齐次权的Hardy型不等式.利用Avkhadiev和Wirths得到的一维Hardy型不等式,运用放缩法,得到一类带余项的加权Hardy型不等式.获得的结论将HoffmannOstenhof和Laptev中的相关结论推广至加权与带余项的情形.     

ECT插值余项的表示及其应用

在多项式插值理论及样条逼近中,Hermite插值多项式余项的讨论是很重要的。在[1,2]中,给出了一系列Hermite插值多项式余项的表达式,特别是各阶导数余项的表达式。还运用这些表达式讨论了样条函数,给出其余项估计和渐近展开。 随着样条理论的发展,已经用其它函数系代替多项式组成了各种样条函数空间,其中最引人注目的是ECT样条。Pruess讨论的张力样条及C.A.Micchelli讨论的?-样     

浅谈二元函数的带Peano型余项的Taylor公式

本文讨论了二元函数带Peano型余项的泰勒公式及唯一性,例说其应用.     

Tchebycheff插值余项及其在T-样条中的应用

在多项式逼近理论及样条逼近的讨论中,Hermite多项式余项讨论是很重要的。作者在以前一系列工作中(〔1,2〕),对于插值Hermite多项式的余项给出一系列表达式,特别是各阶导数余项的表达式。运用这些表达式成功地讨论了一系列样条函数。给出它们的余项估计和渐近展开。