另解两值联赛题

(一)2010年全国高中数学联赛一试试题(9)已知函数f(x)=ax~2+bx~2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1,| f′(x)≤1 |,试求a的最大值.解由于f′(x)=3ax~2+2bx+c当a>0时,表示一条下凹的抛物线,从题设条件,可知0≤x≤1,-1≤f′(x)≤1.从图线中可以得到     

切比雪夫定理的初等证明

记 Tn( x) =cos( narccosx) ,这是一个首项系数为 2 n- 1的关于 x的 n次多项式 ,称为切比雪夫多项式 .在函数逼近论中 ,切比雪夫用连续函数的方法证明了一个基本结果 :定理 1 (切比雪夫 )　记Ωn={f( x) | f( x) =xn+ an- 1xn- 1+… + a1x+ a0 ,a0 ,a1,… ,an- 1∈R},则对任意 f( x)∈ Ωn,都有 max- 1≤ x≤ 1| f( x) |≥ 12 n- 1,且等号成立当且仅当 f( x) =12 n- 1Tn( x) .容易证明定理 1等价于下面的 :定理 2　记Mn={f ( x) | f ( x) =anxn+… + a1x+ a0 ,a0 ,a1,… ,an∈ R ,且当 - 1≤ x≤ 1时 ,| f ( x) |≤ 1 },则对任意 f( x)∈ …     

The schur convexity of gini mean values in the sense of harmonic mean

We prove that the Gini mean values S(a,b; x,y) are Schur harmonic convex with respect to (x,y)∈(0,∞)×(0,∞) if and only if (a, b) ∈{(a, b):a≥0,a ≥ b,a+b+1≥0}∪{(a,b):b≥0,b≥a,a+b+1≥0} and Schur harmonic concave with respect to (x,y) ∈ (0,∞)×(0,∞) if and only if (a,b)∈{(a,b):a≤0,b≤0,a|b|1≤0}.     

一个非等价转化问题的探究

某资料上有这样一个问题:问题|2x-a|+2/x≥1对任意x>0都成立,求a的取值范围.给出的解法是:原不等式等价于a≤2x+2/x-1或a≥2x-2/x+1,令f(x)=2x+2/x-1,g(x)=2x-2/x+1,则原不等式对任意的x>0都成立,等价于:对任意的x>0都有a≤f(x)或a≥g(x).由f′(x)=2-2/x~2,g′(x)=2+2/x~2可得:在(0,+∞)上,[f(x)]_(min)=f(1)=3,g(x)是增函数,值域为R,所以a≤f(x)对任意x>0都成立     

一个曲边形面积的求解与思考

问题　求由曲线 C:b2 y2 =(b +x) 2 (a2 - x2 )　 (b≥ a >0 )包围的面积 .1　分析1.1　曲线 C的几何特征由曲线 C的方程知 ,x轴为曲线的对称轴 ,不妨考察曲线 C在 x轴的上半部分 ,并记其为曲线 C1 :y = a2 - x2 +xb a2 - x2　 (|x|≤ a) .曲线 C1 可看成是由半圆 C* :y =a2 - x2 　 (|x|≤ a)演变而来 :在曲线y = a2 - x2 　 (0≤ x≤ a)上 (第一象限部分的四分之一圆 )上任取一点 A1 (x0 ,y0 ) ,并将其平移到 A′1 (x0 ,y0 +x0b a2 - x20 ) ,同时在曲线 :y =a2 - x2 　 (- a≤ x≤ 0 )上 (第二象限部分的四分之一圆 )取与 A1 关于 y轴…     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

探寻均值不等式与2011年高考数学湖北卷21题之间的关系

2011年高考数学湖北卷21题(1)已知函数f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数f(x)的最大值;(2)设ak,bk(k=1,2,…,n)均为正数,证明:①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,则a1b1a2b1…anb1≤1;     

关于非线性蜕化抛物型方程解的唯一性(英文)

本文证明,在条件a(s)>0(s>0),a(0)=0,b(s)=0(a(s)~λ)(s≥0,0≤λ≤1、2),s~μ=0(a(s))(a>0,μ>0)之下,混合问题 μ_t=(a(u)u_x)_x+b(u)u_x, (x, t)∈R={(x, t)|-11时,解为唯一的,这改善了[1,2]的结果。     

AN EFFECT ITERATION ALGORITHM FOR NUMERICAL SOLUTION OF DISCRETE HAMILTON-JACOBIBELLMAN EQUATIONS

§1Introduction ConsidertheHamilton-Jacobi-Bellmanequation max1≤v≤m[A(v)u(x)-f(v)(x)]=0,x∈Ω(1.1)withtheboundarycondition u(x)=0,x∈Ω(1.2)whereΩisabounded,smoothdomaininEuclideanspaceRd,d∈N;f(v)(x)aregiven functionsfromC2(Ω);A(v)aresecond-orderuniformlyellipticoperatorsoftheform A(v)=-d i,j=1a(v)ij2xixj+di=1b(v)ixi+c(v).(1.3)Intheaboveexpression(1.3)therearecoefficientsa(v)ij,b(v)i,c(v)∈C2(Ω)satisfying,forall1≤v≤m,a(v)ij(x)=a(v)ji(x),1≤i,j≤d,c(v)≥c0≥0,x∈Ω,a…     

上期课外练习解答

高一年级1.∵　f(2 ) =f(1)·f(1) =1,f(3 ) =f(1)·f(2 ) =1,f(4 ) =f(3 )·f(1) =1……由归纳得f(1) =f(2 ) =f(3 ) =… =f(2 0 0 3 ) =1.∴　原式 =1.2 .当x为非零实数 ,故　f(x + 1) =f(x)·f(1) 　f(x + 1)f(x) =f(1) =3 ,故　f(2 )f(1) + f(4 )f(3 ) +… + f(2n)f(2n -1) =3n .∴　n =667.3 .f(x) =a + 1-2ax + 2 欲使f(x)在 (-2 ,+∞ )上是增函数 ,只须使 1-2a <0 ,故a的取值范围是 (12 ,+∞ ) .高二年级1.记f(x) =x2 -2x +a ,g(x) =x2 -2bx + 5由函数图象易知A B f(1) =a -1≤ 0 ,f(3 ) =3 +a≤ 0 ,且 g(1) =6-2b≤ 0 ,g(3 ) =1…     

用判别式解2011年全国联赛初赛题(江西)

题目一试确定,对于怎样的正整数a,方程5x2-4(a+3)x+a2-29=0有正整数解?并求出方程的所有正整数解.解把原方程化为关于a的一元二次方程,得a2-4ax+(5x2-12x-29)=0.由于a是正整数,故Δ=-4x2+48x+116≥0,且是一个完全平方数,解得:6-65<1≤x≤14<     

对一道初赛题的解法探究

<正>本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明:2(b-a)≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2(b-a)≤cosπa-cosπb,只要证2b+cosπb≤2a+cosπa.即设f(x)=2x+cosπx,下证f(b)≤f(a);     

数学问题解答

20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 6　设x≥ 0 ,a >0 ,求使不等式1 +x≥ 1 + x2 - x2a成立的最大的a .(宁波市甬江职高综合高中部　邵剑波　 31 5 0 0 0 )解　令 1 +x =t≥ 1 ,则x=t2 - 1 ,故1 +x - 1 - x2 + x2a=t- 1 - 12 (t2 - 1 ) + 1a(t2 - 1 ) 2=12a(t- 1 ) [2a-a(t+ 1 ) + 2 (t+ 1 ) 2 (t- 1 ) ]=12a(t- 1 ) [a-at + 2 (t+ 1 ) 2 (t- 1 ) ]=12a(t - 1 ) 2 [2 (t + 1 ) 2 -a]≥ 0 ,因此a≤ 2 (t + 1 ) 2 一定要成立 ,由于 2 (t+ 1 ) 2 在t≥ 1时的最小值为 8,所以所求的最大的a为 8.1 44 7　已知二次函数f(x) =ax2 …     

关于一个双参数三元不等式的研究

文[1]给出如下结论:设x,yz∈R+,则x/2x+y+z+y/2y+x+z+z/2z+x+y≤3/4.文[2]将这一结论进行指数推广,得到 　　定理A 设x,y,z ∈R+,0相似文献   

圆锥曲线的一个最值问题

在圆锥曲线的学习中 ,我们遇到了如下的最值问题 :抛物线x2 =2 y上离点A(0 ,a)最近的点恰好是顶点 ,则a的取值范围是 (　　 )(A)a≤ 0 .　　　 (B)a≤ 12 .(C)a≤ 1. (D)a≤ 2 .通过探究 ,同学们得到了如下几种不同的解法 .解法 1　 (二次函数最值法 )设P(x ,y)为抛物线x2 =2 y上的任意一点 ,则 |PA|2 =x2 +(y -a) 2=2 y +(y -a) 2 =y2 - 2 (a - 1) y +a2 =[y - (a -1) ]2 +2a - 1(y≥ 0 ) .当a >1时 ,a - 1>0 ,y =a - 1时 ,|PA|2 min=2a - 1;当a≤ 1时 ,a - 1≤ 0 ,y =0时 ,|PA|2 min=a2 ,此时P点为抛物线的顶点 .　　故当a≤ 1时 ,…     

综合练习

1.设a∈R,A={x|1≤x≤4},B={x|x~2-2ax+a+2≤0},当AB时,求a的取值范围。 2.(1)讨沦函y=arcctgax(a>0,a≠1)的增减性 (2)求函数的反函数 3.已知x>0,x≠1,n为大于1的自然数,试比较1/log2x+1/log3x+…+1/log~nx与n/log2x的大小。 4.(1)已知a、b、c是互不相等的复数,试求a+b/b=b+c/c=c+a/a的值。 (2)设z_1、z_1是复数,且满足|z_1|<1,|z_2|<1,求证|(z_1-z_2)/(1-z_1z_2)|<1。 5.设等比数列z_1,z_2,z_3,…,z_n,…中的     

考点6 二次函数 二次方程 二次不等式

1.(全国卷,8)设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一:则a的值为().(A)1(B)-1(C)-1-25(D)-1+252.(浙江卷,8)已知k<-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是().(A)1(B)-1(C)2k+1(D)-2k+13.(全国卷,9)已知集合M={x x2-3x-28≤0},N={x x2-x-6>0},则M∩N为().(A){x-4≤x<-2或33}(D){x x<-2或x≥3}4.(重庆卷,11)集合A={x∈R x2-x-6<0},B={x∈R x-2<2},则A∩B=.考点6二次函数二次方程二次不等式1.前两个图像关于y轴对称,故b=0与条件不符,后两个图像,经过原点,可得a=±1.又对称轴x=-2ba>0…     

应用题新编选登

题1　某企业有一条价值a万元的生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,提高产品的增加值,就要对流水线进行技术改造,假设增加值y万元与技改投入x万元之间的关系满足1y与(a- x)x2 成正比例.2当x =a2 时,y=a32 .30≤x2 (a- x)≤t,其中t为常数且t∈[0 ,2 ].1)设y=f(x) ,求出f(x)的表达式,并求其定义域;2 )求出增加值y的最大值,并求出此时的技改投入x值.解　1)设y=f (x) =k(a- x ) x2 ,因当x =a2时,y=a32 .故a32 =k(a- a2 ) (a2 ) 2 ,∴k=4 ,从而有y=4 (a- x) x2 .因0≤x2 (a- x) ≤t,解得0≤x≤2 t1+ 2 ta,于是f(x) =4 (a- x) x2 (0≤x≤2 t…     

为何少了一个值?

题目　已知关于x的函数 f(x) =2ax- 1x2 在 ( 0 ,1 ]上是增函数 ,求a的取值范围 .解法 1　由已知可得 f′(x) =2a + 2x3 .∵f(x)在 ( 0 ,1 ]上是增函数 ,∴有 f′(x) >0在 ( 0 ,1 ]上成立 ,即a >- 1x3 在 ( 0 ,1 ]上成立 .而函数 g(x) =- 1x3 在x∈ ( 0 ,1 ]上是增函数 ,且 [g(x) ]max=g( 1 ) =- 1 ,∴a >- 1 .解法 2　设 0 0恒成立 ,即　 (x2 -x1) 2a+ x1+x2x21x22>0恒成…     

2003年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题(一)(附答案)

一、填空题 (本题共 6小题 ,每小题 4分 ,满分 2 4分 )( 1 )　 limx→ 0 ( cosx) 1ln( 1+ x2 )　　 =　 1e　。( 2 )　曲面 z=x2 +y2 与平面 2 x+4 y-z=0平行的切平面的方程是　 2 x+4 y-z=5　。( 3 )　设 x2 =∑∞n=0ancosnx( -π≤ x≤π) ,则 a2 =　 1　( 4)　从 R2 的基 α1=10 ,α2 =　 1-1 到基 β1=11 ,β2 =12 的过渡矩阵为 　 2　　　 3-1　　 -2 　。( 5)　设二维随机变量 ( X,Y)的概率密度为f ( x,y) =6x,　　 0≤ x≤ y≤ 1 ,0 ,　　　其他则 P{ X+Y≤ 1 } =　 14 　。( 6)　已知一批零件的长度 X(单位 :cm)服从正态分布 N(…