一个定理的引申及应用

《数学通讯》2010年第11、12期(学生刊)的文[1]中给出了这样一个定理:设F是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一个焦点,过F的弦AB与x轴的夹角为θ(θ∈(0,π/2],│→AF│/│→FB│=λ (λ＞1),e是离心率,椭圆焦点到相应准线的距离为p,则 (1)ecosθ=λ-1/λ+1; (2) |AB|=2ep/1-(λ-1/λ+1)2.     

一道习题的启示

题目椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于M、N两点,且OM⊥ON,则必有1/a2+1/b2=2.下面给出一种比较简单的证法.证明不妨设M(r1cosθ.r1sinθ),N(r2cos(θ+π/2),r2sin(θ+π/2)),则由M、N在椭     

一类问题的统一解法

题1方程x+sinx=π2,x+arcsinx=π2的根分别为a,b,则a+b等于.题2方程x+x3=3,x+3x=3的根分别为a,b,则a+b等于.题3方程x+ex=5,x+lnx=5的根分别为x1,x2,则x1+x2等于.由以下定理即可解答以上诸题.定理若f(x)是[a,b]上的增函数,x+f(x)=m,x+f-1(x)=m的根分别为a,b,则a+b=m.证令h(x)=x+f(x),得h(x)为[a,b]上的增函数.由h(a)=a+f(a)=m,h(f-1(b))=f-1(b)+f(f-1(b))=f-1(b)+b=m,得h(a)=h(f-1(b)),a=f-1(b).所以a+b=f-1(b)+b=m.由定理立得,题1,2,3的答案分别是π2,3,5.一类问题的统一解法@甘志国$竹溪县一中!湖北443200…     

运用转轴法探究双曲线y=ax＋b／x的几何特征

文 [1]着重探索函数y =ax + bx (ab≠ 0 ) (1)的应用价值 ,文 [2 ]运用判别式法验证了函数 y=(ax +c) + bx +d(ab≠ 0 )的图象是双曲线 ,本文运用转轴法来探究双曲线 (1)及其平移状态的几何特征 .引理 1　对于双曲线 (1) ,当b >0时 ,把直线 y=ax到y轴的角的平分线记为x′轴 ,则x轴到x′轴的角θ1=π4 + 12 arctana ;当b <0时 ,把 y轴到直线 y =ax的角的平分线记为 y′轴 ,则 y轴到 y′轴的角θ2 =θ1=π4 + 12 arctana .证　如图 1,当b >0时 ,θ1=12arctana + π2 - 0 =π4 + 12 arctana ;当b <0时 ,θ2=12π2 + (π +arctana) - π2 =π4 +…     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

四阶算子样条插值余项的渐近式及其超收敛点

设Δ为[a,b]的一个等距分划 Δ:a=x_0相似文献   

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

高中代数复习(续)

二、复数复数这一章很多题都是用到任意复数z。z=a+bi(a,b∈R)或z=r(cosθ+isinθ)这个表示法来解或证的。例1.解方程|z|+z=8—4i求复数z。解:设z=a+bi(a,b∈R)|z|=(a~2+b~2)~(1/2)。由题设(a~2+b~2)~(1/2)+a+bi=8—4i由复数相等的条件得:     

一个代数不等式推广的简证与类似结论

文[1]曾提出一个代数不等式:猜想若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,则(a+1/b)~(1/2)+(b+1/c)~(1/2)+(c+1/a)~(1/2)≥30~(1/2)①文[2]给出①式的证明,文[3]运用赫尔德不等式将①式加强推广为:定理1若a,b,c为满足a+b+c=1的正     

关于积分中值定理的中间值

我们知道有下面的 Riemann积分中值定理(见 [1 ,P.1 0 6]) :如 f(x)在 [a,b]上连续 ,那么存在ξ∈ [a,b],使∫baf (x) dx =f(ξ) (b - a) (1 )1 982年 ,Jacobson[2 ]研究了中间点ξ的渐近性质 .他证明了定理 A　如 f(t)在 [a,x]上连续 ,在 a点可微且 f′(a)≠ 0 ,ξx 由 (1 )式所确定 ,那么limx→ aξx - ax - a=12 .1 997年 ,Zhang[3]推广了定理 A,他得到定理 B　设 f (t)在 [a,x]上连续 ,且在 a点 k次可微 ,满足 f( i) (a) =0 ,(i =1 ,2 ,...,k - 1 ) ,f( k) (a)≠ 0 .如ξx由 (1 )式所确定 ,那么 limx→ aξx - ax - a= 1k k 1 .本文…     

TESTING FOR VARYING DISPERSION IN DISCRETE EXPONENTIAL FAMILY NONLINEAR MODELS

§ 1　 Introduction and modelsThe general form of exponential family nonlinear models isg(μi) =f(xi,﹀) , (1 )where,g(· ) is a monotonic link function,f is a known differentiable nonlinear functionand﹀ is a p-vectoroffixed population parameters;μi=E(yi) and the density of response yiisp(yi) =exp{[yiθi -b(θi) -c(yi) ] -12 a(yi,) } ,(2 )whereθi is the natural parameter, is the dispersion parameter.From [1 1 ] ,μi=b(θi) ,Vi=Var(yi) =- 1 b(θi) .If f(xi,β) =x Ti ﹀,then mod…     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

用希尔伯特空间理论讨论傅立叶级数

<正> 函数和它的傅立叶级数之间的关系,常见的有下列四种。命题1 (狄里赫勒定理)若f(x)∈C[-π,π),或在[-π,π]上只有有限个第一类间断点,并且可以把[-π,π]分为f(x)的有限个单调区间,则有f(x)=a_0/2+sum from i=1 to ∞(a_icosix+b_isinix)(1)其中x∈(-π,π)为f(x)的连续点,a_i,b_i为f(x)的傅立叶系数(以下同)。当x∈(-π,π)为f(x)的间断点时,则(1)式友端改为[f(x—0)+f(x+0)]/2。当x=±π时,则(1)式左端改为[f(-π+0)+f(π-0)]/2。命题2 若f(x)∈L_2[-π,π],则对任意确定的n,有||f(x)—a_0/2—sum from i=1 to n(a_1cosix+bsinix)||_2     

三次样条用端点值估计时的几个准确常数

设Δ_n(n=1,2,…)是把[a,b]分成n段的各种分划的全体,也即 Δ_n{(x_0,x_1,…,x_n):a=x_0相似文献   

DISTRIBUTION OF THE（0，∞）ACCUMULATIVE LINES OF MEROMORPHIC FUNCTIONS

Suppose that f(z)is a meromorphic function of order λ（0&lt;λ&lt;+∞）and of lower order μ in the plane.Let ρ be a positive number such that μ≤ρ≤λ.(1)If f^(l)(z)(0≤l&lt;+∞）has p(1≤p&lt;+∞）finite nonzero deficient valnes αi(i=1,…，p)with deficiencies δ（αi,f^(l)),then f(z)has a (0,∞）accumulative line of order ≥ρin any angular domain whose vertex is at the origin and whose magnitude is larger than max(π/ρ，2π-4/ρ ∑i=1^p arcsin √δ（αi,f^(l))/2).(2)If f(z) has only p(0&lt;p&lt;+∞）（0,∞）,accumulative lines of order≥ρ：arg z=θk(0≤θ1&lt;θ2&lt;…&lt;θp&lt;2π，θp+1=θ1+2π）,then λ≤π/ω，where ω=min I≤k≤p(θk+1-θk),provided that f^(l)(z)(0≤l&lt;+∞）has a finite nonzero deficient value.     

圆锥曲线的一个性质

由文 [1]可得圆锥曲线的一个性质 .定理　过圆锥曲线的焦点F的一条直线与这曲线相交于A ,B两点 ,M为F相应准线上一点 .则直线AM ,FM ,BM的斜率成等差数列 .证　对双曲线 x2a2 - y2b2 =1(a >0 ,b >0 ) ,记点A ,F ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(c ,0 ) ,(a2c ,m ) .设双曲线的极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ,点A的极坐标为 (ρ1,θ1) ,则无论点A在双曲线的左支还是在右支 ,都有 ρ1=ex1-a .于是AM的斜率为kAM =y1-mx1- a2c=e(y1-m)ex1-a =e(ρ1sinθ1-m )ρ1=e(epsinθ11-ecosθ1-m)ep1-ecosθ1=еpsinθ1+emcosθ1-mp .　　设点B的极角为…     

Toader平均的二次与调和平均界

该文证明了双向不等式αQ(a,b)+(1-α)H(a,b)T(a,b)βQ(a,b)+(1-β)H(a,b)和λ/H(a,b)+(1-λ)/Q(a,b)1/T(a,b)μ/H(a,b)+(1-μ)/Q(a,b)对所有a,b0且a≠b成立的充分和必要条件是α≤5/6,β≥22~(1/2)π,λ0和μ1/6.其中Q(a,b)=((a~2+b~2)/2)~(1/2),H(a,b)=2ab/(a+b)和T(a,b)=2/π∫_0~(π/2)(a~2cos~2θ+b~2sin~2θ)~(1/2)dθ分别表示正数a和b的二次平均,调和平均和Toader平均.     

含根式不等式的处理方法

含根式不等式因技巧性较强,历年来颇受命题者喜爱,下面请欣赏几例. 一、三角代换例1 已知xi≥0,x0=0,sum from i=0 to nxi=1.求证:sum from i=1 to n xi/(1+x0+…+xi-1)(xi+…+xn)~(1/2)<π/2.证明 令x0+…+xi-1=sinθi-1,0=θ0≤θ1≤θ2≤…≤θn=π/2.则原式=sum from i=1 to n sinθi-sinθi-1/cosθi-1     

两个定理的简证

贵刊文 [1 ]给出以下两个定理 :定理 1　已知 x,y,a,b∈ R+ ,且 x + y =1 ,则 axn + byn 的最小值为 ( n+ 1a + n+ 1b ) n+ 1,此时　 x =n+ 1an+ 1a + n+ 1b,y =n+ 1bn+ 1a + n+ 1b.定理 2　已知 a1,a2 ,… ,an,x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,且 x1+ x2 +… + xn =c,则a1xm1+ a2xm2+… + anxmn≥( m+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an) m+ 1cm ( m≥ 2 ) ,当且仅当xi = cm+ 1aim+ 1a1+ m+ 1a2 +… + m+ 1an( i =1 ,2 ,… ,n)时等式成立 .文 [1 ]分别用两种不同的方法给出了以上两个定理的证明 ,但都较繁 (定理 2的证明中还使用了中学生所不熟悉的加权幂平均…