又谈一道三角题的证明

题目已知:α,β∈(0,π/2),且sin(α+β)=sin2α+sin2β,求证:α+β=π/2.此题是1983年第17届全苏数学竞赛十年级试题,尽管题目条件比较简单,但论证角度非常丰富,很多经典的书籍和期刊文章对其均有一定的研究,文[1]对此题进行了如下的剖析(剖析1),并给出了一个解(解法1),笔者从这个剖析和解展开研究,得到一些思考结果,整理如下,与大家交流.     

也谈一道三角题的证明

已知α,β∈（0,π/2）,且sina（α＋β）=sin^2α＋sin^2β.求证：α＋β=π/2.其中文[1]、[2]、[3]利用两边夹或构造方法加以证明,笔者给出另一直接证明方法．     

一道新题征展问题的结论与证明的纠正

本刊2011年第2期新题征展(124)题7是一道有关导数应用的函数与不等式综合问题,原题如下:已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)的最小值为h(a),m,n为h(a)定义域A中的任意两个值,求证:h(m)+h(n)/2＞h(m+n/2).     

一道三角题的证明错误及新证

这是一道简捷有趣的三角问题,诸多构思独特、别具匠心、见仁见智的证法散见于中学数学期刊．贵刊文[1]欲另辟蹊径,给出一个直接的证明方法,可惜无如所愿,使证明功亏一篑．为便于说明,现简录如下：     

一道病题的启示:巧用估算思想 防范三角错解

高中数学新课程《必修4》第三章简单的三角恒等变换中,在解题中通过角的变换渗透化归思想是教学的重点,以下是一道常见的习题.     

对一道积分不等式题的再思考

利用提升维度的方法并结合几何图形直观分析,给出一道一元函数积分均值不等式的新证明,并将原不等式推广至形式较为对称的不等式,使得原不等式成为新不等式的特例.最后证明新不等式与函数单调递减的定义等价.     

再谈一道三角题的解法

《中学生数学》2001年第7月上期中《几何法巧解一道三角题》一文通过构造几何图形解决一道三角求值题.笔者认为,构造几何图形这种方法较巧妙,但同学们不易想到.在这里笔者再介绍两种同学们易接受的方法,供大家参考. 题目已知α、β、γ,θ均为锐角,tanα= 求 θ的值. 解法一(直接法) 由已知可知     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

再谈不等式证明的常规方法

由于不等式证明的方法较多,且常与函数、数列等知识综合,加上综合性比较强,这就使得这部分内容成为高考的难点.这就要求我们要熟练掌握不等式证明的基本方法的基础上,还要抓住不等式的特征选择最恰当的方法迅速地加以解决.     

一道数学竞赛题的探讨

对浙江省高等数学竞赛题的一道试题给出了新的解法,同时提出了若干类似问题并给出解答.     

浅谈不等式证明的几种特殊方法

不等式的证明在数学中是比较常见的题型 ,但有些不等式用常见的方法 (如比较法、分析法和综合法等 )很难证出来 ,或者根本证不出来 .这里介绍几种特殊的证法 ,解决一些不等式的证明问题 .1　数学归纳法数学归纳法是数学中解决证明题很重要的一种方法 ,在不等式证明中也不例外 ,对于与自然数有关的不等式都可以考虑这种方法 .例 1　证明 :|ｓｉｎｎｘ|≤ｎ|ｓｉｎｘ|对任何自然数都成立 .证　 1 )当ｎ =1时 ,不等式显然成立 ;2 )假设ｎ =ｋ时 ,不等式成立 ,即　 |ｓｉｎｋｘ|≤ｋ|ｓｉｎｘ|成立 .当ｎ =ｋ +1时 ,　 |ｓｉｎ(ｋ +1 )ｘ|=|ｓｉ…     

一道导数题的求证感悟

题目已知函数f(x)=ax2-2x+lnx.(1)若f(x)无极值点,但其导函数f’(x)有零点,求a的值;(略)(2)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于-3/2.     

一道函数题的教学设计与体会

如何用好课本和课本例题,是一个值得研究的问题.为了去“内卷化”,为了提高课堂效率,作为教师,必须要研究教材,研究高考,善于对教材进行“再创造”.     

从一道高考题看一类和式不等式证明的函数方法

1 原题的分析及解答 10年广东文科卷第21题原题如下: 已知曲线C_n:y＝nx~2,点P_n(X_n,y_n)(X_n>O,y_n>0)是曲线C_n上的点(n=1,2,…). (1)试写出曲线C_n在点P_n处的切线l_n的方程,并求出l_n与y轴的交点Q_n的坐标; (2)若原点0(0,0)到l_n的距离与线段P_n Q_n的长度之比取得最大值,试求点P_n的坐标(x_n,y_n);     

一道导数题的阅卷启示

笔者参加了今年安徽省的高考阅卷,批阅理科第16题.题目及所给标准答案如下:     

关于Alzer不等式的一个简单证明

利用数学归纳法和函数的单调性，本给出了Alzer不等式的一个简单证明．