也谈广义积分的判敛

文[1]针对无穷限广义积分比较判敛法的弱点给出了根值判敛法(定理1)及其推广(定理2),但功效并不显著(仍须选择α,β的值),且定理2结论也不完整。本文给出无穷限广义积分的对数判敛法。并论证文[1]的两个定理     

关于多项式不可约性的定理

本给出两个定理及两个推论，将在有理数域上判别一个整系数多项式的不可约性的Eisenstein定理及[2]中给出的另一个定理统一起来，使之可以互相转化。     

“圆锥曲线的弦对顶点张直角的一个性质”再探

文[1]中给出如下定理:定理1椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),A(a,0),直线l与椭圆交于C,D两点,则AC⊥AD(?)直线l过定点((a(a~2-b~2)/(a~2 b~2)),0).笔者受其启发,给出以下几个定理.定理2点P(x_0,y_0)在椭圆b~2x~2 a~2y~2= a~2b~2(a>b>0)上直线l交椭圆于C,D两点(C,D异于P),则:PC⊥PD(?)直线l过定点     

距离空间上测度的弱收敛

<正> 在本文内,我们将给出关于一般可分距离空间上测度的弱收敛的两个定理(定理1及定理2),并且把它们应用到连续函数空间及只有第一类间断点的函数空间上(见定理3及定理4).定理3b)和定理4的内容基本上是已知的(参阅[4]定理2.1和[5]的定理3.2.1),但我们这里不仅给出一个较普遍的结果和较简单的证明,更主要的目的是为这一类的问题提供一个普遍的处理方法.     

半质环的一个定理

本文给出了下面的结果:定理 设 R 是半质环,如果 a∈R 满足下面的条件之一1ax)~2-(xa)~2∈Z(R) (?)x∈R 2) (ax)~2 (xa)~2∈Z(R) (?)x∈R这个定理推广了郭元春[1]和[2]的两个定理。再讨论过程中也推广了文献[3]的一个定理。     

关于重图的边色数

本文利用 A.Ehrenfeucht[2 ]等提出的两个引理 ,给出两个重图边色数的定理 .     

(0,1)-矩阵类u(R,S)的结构和基数

本文提出了两个保优向量间的极小保优对应段和分解列的概念,较详细地分析了全链的结构(见定理2),解决了u(R,S)中恒1与恒0的分布和计数问题(见定理1),讨论了u(R,S)的结构和基数(见定理3—5),并改进了魏万迪给出的|u(R,S)|的下界。最后,我们给出了两个命题和例子(本文基本结果曾于一九八二年四月在华中工学院数学系组合数学讨论班上报告过)。     

一个不等式猜想的证明及推广之注记

在最近的文章[一个不等式猜想的证明及推广.大学数学,2018,34(3):99-102]中,作者给出了三个定理并利用Jensen不等式证明了两个等价不等式及其推广形式.本注记说明作者的证明过程有误,并指出作者文章给出的三个定理中有两个定理是不成立的.     

关于二次曲线切点弦的几个定理

所谓二次曲线的切点弦,即从二次曲线外一点向曲线作两条切线,连接两切点的线段。其方程由下面几个定理给出。定理1：过园x~2 y~2=r~2外一点p(x_0,y_0)引园的两条切线,设切点分别是p_1,p_2,则切点弦(即p_1p_2)的方程为     

(0,1)-矩阵类(?)(R,S)的结构和基数(英文)

本文提出了两个保优向量间的极小保优对应段和分解列的概念,较详细地分析了全链的结构(见定理2),解决了(R,S)中恒1与恒0的分布和计数问题(见定理1),讨论了(R,S)的结构和基数(见定理3—5),并改进了魏万迪给出的|(R,S)|的下界。最后,我们给出了两个命题和例子(本文基本结果曾于一九八二年四月在华中工学院数学系组合数学讨论班上报告过)。     

有限半序集的结构分析和Dilworth定理的新证明

在本文中我们讨论了有限半序集的结构分析,并给出了Dilworth定理的两种新证明。在(一)中我们对半序集引进了独立集(最大不可比集)的概念、度数的概念和顶集的概念。得到了关于半序集结构的分层定理(定理1),并应用顶集的性质对半序集的度数用归纳法给出了Dilworth定理的一种新的证明(定理2)。在(二)中根据半序集的独立集的不同情形,将半序集分成两种类型——A型和B型,证明了任何一个半序集均可表成有限个B型半序集的併(定理3),并据此给出了Dilworth定理的另一种新证明。在(三)中我们应用顶集的性质,对Dilworth的原证明给出了一种简化证明。     

一个分式不等式的再推广

《数学通报》1 996年第 5期第 1 0 1 3号问题 :设ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,且满足ａｂｃ =1 ,试证1ａ3(ｂ+ｃ) +1ｂ3(ｃ+ａ) +1ｃ3(ａ+ｂ) ≥ 32 (1 )近年来 ,多篇文章用不同的方法给出了不等式 (1 )的证明和幂指数推广 ,文 [1 ]列出了 1 5篇参考书目 ,并给出了不等式 (1 )的两个漂亮的幂指数推广 .本文从指数和项数方面考虑 ,给出不等式(1 )的两个推广 ,文 [1 ]中的两个推广定理是本文的两个推广定理的特例 .利用均值不等式 ,易证 :若ａ,ｂ是正数 ,且ａｂ= 1 ,ｍ为任意实数 ,有ａｍｂ +ｂｍａ ≥ 2 (2 )定理 1　设ｘｉ∈Ｒ+,(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,…     

广义Taylor公式的几个简单证明方法

<正> 微分中值定理在高等数学中具有重要的理论意义。其中Taylor中值定理更具有一般性。文[1]给出了两个广义Taylor公式,文[2]对其中一个公式给出一个简单证明方法。本文对文[1]的两个公式再给出三个简单的证明方法。     

一个多临界点定理及其在非线性偏微分方程中的应用

本文主要给出下述三个结果,定理1建立了当‖x‖→∞时泛函f(x)→∞同满足(PS)条件及下方有界性之间的关系,定理2给出一个抽象的多临界点定理,它要求较少的光滑性,定理3是定理2对一类非线性椭园型方程的应用。     

非紧集上不连续函数的Ky Fan不等式及其等价形式和应用

证明了非紧集上不具有任何连续性的函数弱Ky Fan点的存在性,给出了在函数只具非常弱的连续性和凸性条件下非紧集上Ky Fan不等式解的存在性,并给出它的两种等价形式.作为应用:(1)得到Ky Fan截口定理和Fan-Browder不动点定理的推广;(2)应用于博弈理论,得到几个新的Nash平衡存在性定理.     

积分中值定理的逆问题

研究积分第一中值定理,提出推广的积分第一中值定理逆问题的一个定理,为证明该定理,给出了两个引理,并通过构造辅助函数及集合,运用介值定理证明了两个引理,最后应用两个引理证明了该定理。     

关于重图的边色数

本利用A.Ehrenfeucht^[2]等提出的两个引理，给出两个重图边色数的定理。     

余弦定理在四面体的一个推广

余弦定理　在△ABC中 ,设内角A ,B ,C的对边分别为a ,b ,c,则b2 =a2 c2 - 2accosB .( 1 )文 [1 ]给出了余弦定理在四面体的一个推广如下 :定理 1 　在任意四面体中 ,它的一个面的面积的平方 ,等于其他三个面的面积的平方和 ,减去这三个面中每个面的面积与它们所夹二面角的余弦的积的和的两部 .文 [2 ]给出了余弦定理在四边形的一个推广如下 :定理 2　设凸四边形ABCD的四边长依次为AB=a ,BC=b ,CD=c,DA =d ,两对角线长AC =p,BD =q ,则(pq) 2 =(ac) 2 (bd) 2 -2abcdcos(B D)(2 )本文给出余弦定理在四面体的一个有别于定理 1的推…     

一致连续映射的两个扩张定理

把文[1],[2]中的两个定理进行了拓广和改进,给出两个一致连续映射的扩张定理:(i)任一集合A到一个完备度量空间的一致连续映射可一致连续扩张到A珡上.(ii)任一闭集A到Rn的一致连续映射可一致连续扩张到A与任一紧集的并.     

常系数非齐次线性微分方程特解的注记

针对常系数非齐次线性微分方程的一种特解公式,给出两个简化计算的定理,并对如何应用这两个定理进行特解计算给出了具体算例.