求二面角大小的向量方法

向量具有一套良好的运算性质 ,它可以把几何图形的性质转化为向量运算 ,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算 ,实现了“数”与“形”的结合 .因此用向量知识解决立体几何的二面角问题 ,有时显得特别简捷 .以下就举例说明用向量法求二面角大小的解题策略 .1　以平面向量为工具 ,建立求解二面角的平面向量模型以平面向量为工具 ,建立求解二面角的平面向量模型后 ,再利用平面向量的数量积公式 :a·b =|a|·|b|cos〈a ,b〉 ,可以使整个解题过程程序化 ,使问题变得熟悉化 .图 1　公式证明用图如图 1,若CE⊥AB于E ,DF⊥AB于F ,则二面角C AB D…     

平面向量与其他知识的综合应用问题

<正>平面向量是既有大小又有方向的量，同时具有“数”与“形”的双重特点，是数形结合自然一体的“桥梁”,可以有效“串联”起平面向量与其他知识，实现不同数学知识点之间的交汇与融合.平面向量既可以将几何问题代数化，借助坐标、符号、数量等将推理转化为数学运算来处理，也可以将代数问题几何化，借助几何意义、图形等将运算转化为直观模型来解决.1 平面向量的实际应用问题平面向量这一“数”“形”兼备工具在实际问题中的应用，     

与平面向量分解定理系数相关的问题——从课本的一道例题谈起

向量知识在中学数学中有着非常重要的地位和价值,与三角函数、平面几何、空间几何、代数等都有密切联系.向量集数与形于一身,其本身就是数形结合的体现,既是代数研究对象,又是几何研究对象,既可以进行运算,又可以用图形表示,是数形结合思想方法的体现.向量具有强大的工具性作用,向量方法既是数学思想方法的体现,又是解决问题的一种方法途径,并且这种方法具有普遍性、广泛性、有效性,在解决数学问题中发挥重要作用.其中,平面向量分解定理是中学向量内容中的一个重点,它既是平面向量“形”的体现,又是平面向量坐标(“数”)的基础,是向量“形”与“数”互相转化的关键.在这部分内容的教学中,笔者注意到教材(高二第一学期)第67页8.3节的例3(如文末图1所示).     

新定义,巧思维,妙链接——一道向量创新题的探究

以平面向量为情境的创新应用问题,有其特定的几何意义或代数形式,可借助相关的知识加以化归与转化,从“数”或“形”两个视角来进行问题破解.此类问题的命题设置充分展示了平面向量独特的内涵与性质,巧妙融合了相关的数学知识、思想方法与数学能力等,达到创新能力与转化思维的统一,合理引领并指导着数学教学与复习备考.     

向量及其运算

向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介．在引入向量的坐标表示后，可以实现向量运算代数化，将数与形有机地结合起来，许多几何证明问题就可以通过代数（向量）运算得以解决，这也是我们学习向量的目的之一．利用平面向量基本定理，可以将直线型的平面图形表示为某些向量的线性组合．利用向量证明几何问题时，     

基于直观想象与数学运算素养培育——向量题几何背景挖掘与构造

解决平面向量题往往要抓住两条主线：一是基于“形”,向量刻画几何图形,分析其几何背景,利用几何直观解题;二是基于“数”,几何关系通过向量运算描述,度量问题通过向量运算解决.向量教学要着重培养学生的直观想象与数学运算核心素养.     

“平面向量及应用复习”教学案例及其评析

由于向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,所以它成为中学数学知识的一个交汇点,成为多项内容的媒介．因此在解决有关平面向量问题时一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换,正确地进行向量的各种运算,进一步加深对向量一二维的量的认识,并体会向量处理问题的优越性;二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想,     

多思维展开,巧变式拓展——一道向量试题的探究

平面向量自身兼备“形”与“数”的双重身份,给创新问题的设置与思维切入提供更多、更广的应用与空间.结合一道平面向量的数量积最值的模拟题,从知识交汇切入,从数形视角转化,从思维层面展开,从技巧方法应用,从探究方向拓展,引领并指导数学教学与解题研究.     

谈“向量”引入中学数学

最近 ,经过试验修订的普通高中数学教学大纲和中等职业学校数学教学大纲再次确定了“向量”在中学数学中的地位 .通过对两届学生的教学实践和对教材的研究 ,我深切体会将“向量”引入中学数学非常必要并且可行 .下面谈谈向量教学的几个基本问题及其在中学数学教育中的作用 .1　向量的线性运算线性运算是向量的基本运算 .向量可以用有向线段表示 ,用有向线段进行向量的线性运算 ,具体且直观 ,在坐标系中 ,向量可以用坐标表示 ,向量的线性运算可转化为坐标运算———数的加、减、乘运算 ,运算变得更加简单 .向量线性运算的这两种方法相结合 ,…     

巧解平面向量的几种技巧

平面向量是高中数学研究数与形的一种重要工具.平面向量问题具有较强的灵活性,大多学生在解题过程中往往“费力不讨好”,而选择合适的方法可以“事半功倍”.因此,本文中提供了解决平面向量问题的三种技巧,即极化恒等式、奔驰定理与等和线定理,以帮助学生发散思维,节省时间,提高解题效率.     

平面向量

1.本单元知识点向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,向量是沟通代数、几何的一种工具,有着极其丰富的实际背景.向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”,融数与形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点.本单元的学习重点是:理解平面向量的意义与实际背景,掌握平面向量的三种运算——加减运算、数乘运算、数量积运算及其运算法则,掌握平面向量的基本定理及坐标表示.     

创设“数形结合”情景 发展学生思维能力

“数形结合”是求解数学问题的一种常用的思维方法。教师在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情景,不仅可以沟通数与形的内在联系,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述有机地结合起来,而且有利于开拓学生解题思路,发展形象思维能力。“数形结合”的方法一般来说可分为以下三种:①将几何论证转化为代数运算的“解析法”;②利用数(式)来研究形的“以数(式)论形法”;③利用形来研究数(式)的“以形促数(式)法”。下面举例分别加以说明。     

平面向量在中学数学中的应用

人教版高中数学试验本第一册 (下 )中增加了《平面向量》一章 .在第二册 (下 B)版本中引进了空间向量的内容 ,并运用向量理论来处理立几中的“点、线、面”问题 .引入空间向量后 ,用向量代数来处理立几问题 ,体现了“数”与“形”的结合 ,淡化了传统立几教材中的“形到形”的推理方法 ,从而降低了思维难度 ,解题变得有章可循 ,进一步减轻了学生的负担 .应用平面向量处理立几之外的数学问题 ,往往也可以收到化繁为简、化难为易和综合应用的效果 .1　应用平面向量求函数的值域 (最值 )例 1　已知 a,b,c为正数 ,求函数 y =x2 a2 ( c - x) …     

立体几何问题的向量解法

向量具有一套完整的运算体系 ,它可以把几何图形的性质转化为向量运算 ,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算 ,实现了“数”与“形”的结合 .因此 ,用向量知识解决某些立体几何问题 ,有时会显得特别简捷和具有规律性 .有向量解答立体几何问题时 ,经常用到下面一些重要的结论 :1)设l1,l2 是两条异面直线 ,n是与公垂线段AB平行的向量 ,其中垂足A ,B分别在l1,l2 上 .又C ,D分别是l1,l2 上的任意两点 ,则①l1与l2 的夹角为arccos |AC·BD||AC|·|BD|;②l1与l2 的距离为 |AB|=|CD·n||n|.2 )设A为平面α外一点 ,B为α内一点 ,n是平面α的法…     

向量求角

新教材引入向量,为用“数”的方法,研究 立体几何“形”的问题,建立了崭新的平台．运 用向量运算,降低了思维量,减少构造辅助图 形,使画面清晰易于想象． 例1 (2005年高考题)如图1,在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥ 底面ABCD,AB=3~(1/2),BC=1,PA=2,求直线 AC与PB所成角的余弦值．     

平面向量数量积问题的研究

<正>平面向量是高中数学的核心概念之一,其不仅可以作为研究新的数学知识(如两角和差的余弦公式等)的重要工具,同时也可作为解决一些数学问题的重要方法(如研究直线垂直、平行等问题).从运算方式来看,平面向量不仅可以进行线性分解和线性运算(形的体现),还可将其用坐标表示并进而进行坐标运算(数的体现).     

优化策略，简化运算

<正>中学解析几何是在初中平面几何的基础上,利用方程的观点、代数的视角等“数”的思维来解决平面直角坐标系中几何图形“形”的特征问题,以“数”解“形”,避免几何问题中的逻辑推理,以代数的方法进行优化处理.只是处理过程中运算繁杂,运算量大,导致解答时间冗长,或算不出结果,或导致错误,或中止解题过程,“望题兴叹”.在高考中,解决问题时若花费更多的时间与精力,往往会牺牲解答其他问题的时间,有时得不偿失.因而,有效减少解析几何解题的运算量,规避复杂的运算,提高解题效益,优化解题策略,简化运算与过程就尤为重要.     

“数”“形”合作，巧妙破解——对2021年高考数学天津卷第15题的探究

<正>平面向量的数量积问题涉及平面向量的基本概念、模、投影、夹角、坐标等相关知识,同时具备“数”的特征与“形”的直观,一直是历年高考中的热点题型与常考题型之一,背景新颖,方式创新,难度适中,倍受命题者的关注与青睐．特别是新高考的天津卷,对平面向量的数量积考查已经形成了“天津”特色．1真题呈现高考真题(2021年高考数学天津卷第15题)如图1,已知等边三角形ABC的边长为1,D在线段BC上,且DE⊥AB,     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

是否用“坐标法”解题应慎重选择

以平面几何图形为载体,以向量为背景的最值（范围）试题近年来频繁出现在高考和调考试卷中.笔者发现,遇到这类问题题,不少同学似乎已形成定势思维,习惯于建系后进行坐标运算,用代数方法来解决.诚然,用坐标法解决向量问题有思维简单、易于着手等优点,但不少时候也存在难于建系、计算量大、数量关系难于表达等不足.笔者下面略举两例,