妙舞同构“三板斧”巧破指数对数压轴题

含指数和对数的等式(不等式)同构的方法主要有三种,在此基础上的命题手法也主要有三种,基于此梳理了含指数对数压轴题的同构解法.     

“同构法”构造函数在解题应用中的一点商榷

在一类恒成立问题中,借助“同构法”解决问题时,由于构造函数的类型不同,在使用单调性的过程中没有充分考虑定义域,使得推理过程有失严谨,本文中针对此类问题提出一些解决的方案.     

同构在函数问题中的应用

含有指数与对数的导数综合试题是近几年高中各类数学考试的热点,也是难点,尤其是“指对”混合的不等式在求解参数的取值范围时,若直接对参数分离,不仅过程复杂,有时甚至无法分离.对这类问题,可以实施一系列的同构变换,再借助函数的单调性,将复杂问题等价转化成容易解决的问题.     

浅谈同构在解析几何中的应用

本文从同构方式、同构原理、同构过程及对特殊情况的转化来探讨同构法在解析几何中的应用,同构作为优化运算的一种重要方式,对于数学运算的核心素养的提升有着重要意义.     

同构思想在处理双切线问题中的应用

双切线问题是解析几何中较为常见的一种题型,本文分类介绍利用同构思想处理圆锥曲线中双切线问题的常见方法,并总结了一些常见结论.     

指对联袂不等式 切线隔离巧证明

在高考及模拟试题中,经常出现含有指数式和对数式的不等式证明或求参数取值范围问题,本文以一道成都市2023届高考模拟试题为例,通过切线法及放缩法找到“隔离函数”,大胆猜想结论,结合导数相关知识和方法巧妙进行证明,发展学生的数学运算等核心素养.     

因“型”制宜话大小——指、对、幂型数(式)大小比较

指、对、幂型数(式)比较大小问题在高考中一直占有一席之地,但对于指数、真数、底数不同的情况进行比较大小时,由于形式各异,同学们有时会感到困惑.在解答过程中,由于不能准确地对各类式子进行识别,导致很多同学只能乱猜而丢分,而解决此类问题的关键就在于——因“型”制宜,对“号”入座.     

指对同构式在函数与导数问题中的应用

<正>指对同构是近几年高考的一个高频考点,很多复杂的函数问题都有它的身影,本文借助几道典型例题,介绍几种破解指对同构问题的方法,并给出了常见的指对同构式,希望能为读者的复习与备考提供帮助．1在含参数恒成立(或能成立)问题中的应用     

抽象受控不等式的同构映射

通过提出抽象平均、抽象凸函数、抽象控制和抽象受控不等式的同构映射概念,建立了抽象凸函数同构映射的基本定理:设(■)_F和(■)_S为抽象平均,α(x)为严格单调(■)_(F-)-函数,β(x)为严格单调递增(■)_(S-)-函数,那么f(x)为抽象(■)_F→(■)_S严格上凸函数的充分必要条件是:f*(x)=β~(-1)o f oα(x)为抽象(■)_F~α→(■)_S~β严格上凸函数,这里(■)_F~α=α~(-1)o(■)oα,(■)_S~β=β~(-1)o(■)_S oβ.在抽象平均同构映射的基础上,获得了抽象受控不等式同构映射的基本定理:记a_i=α~(-1)(x_i),b_i=α~(-1)(yi)(i=1,2,…,n),则不等式(■)_S{f(x_1),f(x_2),…,f(x_n)}(■)_S{f(y_1),f(y_2),…,f(y_n)}成立的充分必要条件是:不等式(■)_S~β{f~*(a_1),f~*(a_2),…,f~*(a_n)}(■)_S~β{f~*(b_1),f~*(b_2),…,f~*(b_n)}成立.作为基本定理的简单应用,证明了算术受控不等式、几何受控不等式和调和受控不等式这三类不等式是同构的.简而言之,这三类受控不等式是等价的.     

关于算术、对数、指数、几何平均不等式的概率证法

本文用概率方法证明了关于两个相异的正数的几何平均、对数平均、指数平均和算术平均的不等式关系 .     

关于“对数和”不等式在信息论中应用的一个注记

利用对数和不等式,在一般情形下证明了信息论中的两个基本定理,由此指出有关教材相应方法的局限性并给予了推广.     

同构思想在高等代数和近世代数教学中的应用

在高等代数和近世代数课程的教学中,需要设计恰当的例题和习题来帮助学生理解一些抽象的概念.在经典的代数类教材中,会发现一些设计精巧而又富有趣味性的习题和例题.一个自然的问题是,这些例题和习题是如何设计出来的?本文通过四个例子展示了同构思想在这些题目设计中的重要作用.     

指对函数不等式在导数压轴题中的应用

<正>指数函数和对数函数是高考复习中的重点和难点,也是导数压轴题的主要考点.函数不等式ex≥x+1和lnx≤x-1是两个基本的指对函数不等式,在解答导数压轴题时如果能充分运用这两个不等式,往往使一些难题迎刃而解,甚至收到出奇制胜,事半功倍的效果.本文举例说明这些指对函数不等式在导数压轴题中的应用.     

辨别、巧设同构式，复杂真题迎刃解

利用同构式解决函数问题,已然成为近年来高考常考考点.本文中以高考真题为例,归纳解决此类问题的常规方法.     

“构造法”在不等式证明中的简单应用

“构造法”是建立在知识综合基础之上,通过联想而得到的一种解决数学问题的方法,是一项综合性与创造性较强的思维活动,能体现出学生对数学知识之间的相互联系的理解,对数学思想的领悟,和对所掌握知识与方法的灵活运用．它是在充分把握问题实质的基础之上,通过联想,转换看问题的角度,打破知识界限,跨领域的综合运用知识与方法。     

偏序集的关联环的同构问题

设Ｘ是局部有限偏序集（或拟序集），Ｒ是含１的结合环，Ⅰ（Ｘ，Ｒ）是Ｒ上Ｘ的关联环，关联环的同构问题是指：问题１：怎样的环，能使环同构Ⅰ（Ｘ，Ｒ）Ⅰ（Ｘ，Ｒ）推出偏序集之间的同构Ｘ芒Ｘ’？问题２：怎样的环或偏序集，能使环同构Ⅰ（Ｘ，Ｒ）Ⅰ（Ｘ，Ｓ）推出Ｒ　Ｓ？本文证明了对唯一幂等元环（非交换），问题１有正面回答；对问题２，我们证明了对交换不可分解环Ｒ、Ｓ，由环同构Ⅰ（Ｘ，Ｒ）Ⅰ（Ｘ，Ｒ）可得到Ｒ＝Ｓ，Ｘ＝Ｘ’。     

两个不等式的加强与证明

本文利用幂平均加强了林同坡不等式和Ｓｔｏｌａｒｓｋｙ不等式，并给出了证明．     

“1”的代换在不等式问题中的应用

<正>~~     

关于对数和指数的几个不等式

研究了关于对数和指数的两个函数:gα(x)=((ln(1+x))/x)~α及h_β(x)=((e~x-1)/x)~β.得到当x0时,g_α(x)+h_β(x)2及g_α(x)h_β(x)1这两个不等式成立的充分必要条件.     

例谈“磨光”法在不等式证明中的应用

<正>"磨光"就是消灭问题状态间的差异,使之逐步到达平衡和均匀的状态.它一般的做法是:根据磨光目标,构造差异较小的目标函数,从而逐次逼近目标.下面,我们结合实例来说明磨光法.例1证明:在圆的内接n边形中,以正n边形的面积为最大.证设圆的半径为R,其内接n边形各边所对的圆心角分别为θ_1,θ_2,…,θ_n,显然θ_1,θ_2,