On the propagation of pressure pulses in circular elastic rods

Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit befasst sich mit den radialen und axialen Dehnungen in einem einseitig unbegrenzten elastischen Stab mit kreisförmigem Querschnitt. Die Oberfläche des Stabes ist in radialer Richtung frei von Spannungen; in normaler Richtung wird an dem einen Ende eine Druckspannung als zeitlicher Sprungimpuls eingeprägt, wobei die Scherspannung an diesem Ende stets zu Null angenommen wird. Die exakte Lösung wird dargestellt durch komplexe Laplace-Umkehr-Integrale, welche für grosse Fortpflanzungsentfernungen asymptotisch gelöst werden. Insbesondere werden Lösungen gefunden für die Umgebung der Vorläufer der Welle und für die Anstiegsflanke der Druckwelle.     

Plane isentropic large displacement simple waves in a compressible elastic solid

Zusammenfassung Es gibt drei einfache Wellen, die sich in gegebener Richtung in gegebenem Sinn in einem kompressiblen elastischen Körper fortpflanzen können. In einem isotropen Körper ist eine dieser Wellen zirkular, die andern eben polarisiert. Bei kleinen Amplituden kann eine von den eben polarisierten Wellen rein dilatatorisch sein, in der anderen hat die longitudinale Komponente des Verschiebungsgradienten die Grössenordnung des Quadrats der transversalen Komponente. Es wird ein Beispiel einer solchen quasi-transversalen einfachen Welle angeführt. Die Theorie der einfachen Welle wird kurz in einem Anhang behandelt.     

Development of flow in the inlet length of a circular tube starting from rest

Zusammenfassung Auf der Grundlage linearisierter Navier-Stokes-Gleichungen wird die instationäre laminare Strömung einer reibungsbehafteten, inkompressiblen Flüssigkeit im Einlaufbereich eines kreisförmigen Rohres behandelt. Es wird angenommen, dass sich die Flüssigkeit zum Anfangszeitpunkt im Ruhezustand befindet und dass die Geschwindigkeitsverteilung im Einlaufquerschnitt eine bekannte Funktion der Zeit und des Radius ist. Es werden Formeln für die Längskomponente der Geschwindigkeit sowie für den Druckgradienten angegeben.     

Stirring of a viscous fluid

Zusammenfassung Untersucht wird die stationäre strömende Geschwindigkeit, die durch eine kreisförmige rührende Bewegung eines starren Zylinders induziert wird. Die Amplitude dieser kreisförmigen Bewegung wird im Vergleich zum Durchmesser des Zylinders als klein angenommen. Es wird gezeigt, dass bei genügend hohen Frequenzen der nicht-stationäre Wirbeleffekt auf eine dünne Stokes-Scherwellenschicht beschränkt ist, dass aber die induzierte Strömung ausserhalb dieser Region bestehen bleibt. Für den besonderen Fall eines runden Zylinders ergibt sich, dass diese stationäre Strömung von der Reynolds-Zahl unabhängig ist.     

Torsion of a circular shaft press-fitted with a disc

Zusammenfassung Es wird hier ein Lösungsverfahren besprochen für das Torsionsproblem der Welle, auf die eine Scheibe oder ein Rad gepresst ist.     

The response of a thin elastic rod to combined thermal and mechanical impulse

Zusammenfassung Es wird das Charakteristikenverfahren benützt, um zwei Probleme zu untersuchen, welche mit dem kombinierten Einfluss eines thermischen und mechanischen Stosses auf die Fortpflanzung einer elastischen Längswellenfront im eindimensionalen Körper zusammenhängen. Im ersten Fall werden die beiden Stösse gleichzeitig am freien Ende appliziert, und es werden die Änderungen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit studiert, welche auf das durch Diffusion erzeugte ungleichförmige Temperaturfeld zurückzuführen sind. Es wird gezeigt, dass die Vorläuferfront durch den modulierenden Effekt des Diffusionsprozesses in ihrer Intensität herabgesetzt wird. Das zweite Problem betrifft einen mechanischen Stoss, der einige Zeit nach Entstehen eines ungleichförmigen Temperaturfeldes infolge Wärmeflusses appliziert wird. Es werden Ausdrücke hergeleitet für die Modulation der Verzerrungen und Geschwindigkeiten an der Wellenfront, während die elastische Welle in ein festeres Medium hineinläuft.

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Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Laval University, May 22–26, 1967.     

Magneto-fluid-dynamics of thin bodies in oblique fields

Zusammenfassung Es wird die stationäre Bewegung eines vollkommen leitenden reibungslosen Medizums um einen schlanken Körper in einem schräggerichteten Magnetfeld behandelt. Es wird hervorgehoben, dass im allgemeinen eine der Grenzbedingungen zur Folge hat, dass die Störungen durch den Körper nicht klein sind. — In einem speziellen Falle, der von grossem Interesse sein dürfte, gibt es keine «prima facie» Einwände gegen die Annahme vom Vorhandensein kleiner Störungen und Lösungen können gefunden werden. Diese enthalten eine allgemeine Konstante ähnlich derjenigen die in der konventionellen Theorie der dünnen Körper (ohne Magnetfeld) vorkommt und die in analoger Weise eliminiert werden kann — Zwei spezielle Fälle werden diskutiert, von denen der eine von Bedeutung sein könntes für die Theorie der Bewegung in parallelen Feldern.     

On a class of non-breaking finite amplitude water waves

Zusammenfassung Dieser Artikel ist eine Fortsetzung früherer Arbeiten, worin die Brechung von Wasserwellen an einer abfallenden Küste betrachtet wurde. Wellenausbreitung in abnehmende oder zunehmende Wassertiefe wird analysiert, und numerische Ergebnisse von allgemeinem Interesse werden vorgeführt. Es wird gezeigt, dass, obwohl Depressionswellen, die sich in tiefer werdendes Wasser fortbewegen, sich niemals an der Wellenfront brechen, in anderen Wellen das Brechen oder Nichtbrechen an der Wellenfront bestimmt wird durch eine einfache Beziehung zwischen dem Produkt aus der Amplitude und der Frequenz der einfallenden Welle und der Neigung des Meeresbodens. Es wird ausserdem gezeigt, dass eine Welle mit einer besonderen endlichen Amplitude sich unendlich ausbreiten kann, ohne dass eine Brechung an der Wellenfront erfolgt.     

Effects of high electrical conductivity in two-dimensional plasma flows

Zusammenfassung Der Einfluss endlicher elektrischer Leitfähigkeit auf die Kopplung zwischen Magnet-feld und Geschwindigkeitsvektor in einer ebenen, sonst dissipationsfreien Plasmaströmung wird theoretisch untersucht. Die Strömungsgleichungen werden mittels Reihenentwicklung nach negativen Potenzen der (hohen) magnetischen Reynoldszahl linearisiert. Als Lösung nullter Ordnung wird eine stationäre, zweidimensionale, dissipationsfreie Strömung durcy einen parallelen Kanal verwendet, die zur Klasse der «aligned-flow» problems,vB ₀, gehört. Das linearisierte Gleichungssystem lässt sich mit Hilfe geeigneter Transformationen durch eine TRICOMISCHE Differentialgleichung samt Rand-und Anfangsbedingungen für nur eine Strömungsvariable des gestörten Problems ersetzen, die der Diffusion des Magnet-felds aufgrund der endlichen Leitfähigkeit durch einen inhomogenen Term Rechnung trägt. Zur Lösung dieser Gleichung wird ein Integraltransformationsverfahren angegeben, das für eine grosse Klasse von über den Kanal variablen Magnetfeldern nullter Ordnung anwendbar ist. Ein solcher Fall wird explizit behandelt und es wird gezeigt, dass durch die Lösung alle anderen Strömungsvariablen 1. Ordnung eindeutig bestimmt sind. Für den Fall konstanten Magnetfeldes in nullter Ordnung lässt sich der Kontakt mit bestehender einschlägiger Literatur herstellen.     

Simple waves and shock waves in a thin prestressed elastic rod

Zusammenfassung Ein halb-unendlicher dünner elastischer Stab wird einer monoton ansteigenden Störung am freien Ende unterworfen. Die unstetige Wellenbewegung für endliche Verzerrungen wird untersucht, und die Bedingungen zur Bildung von Stössen werden aufgestellt. Eine implizite Lösung für die Wellenbewegung im Gebiete einfacher Wellen wird mittels der Methode der Charakteristiken erhalten. Eine andere und explizite Lösung in diesem Gebiete wird gefunden durch Anwendung der Theorie sich fortpflanzender Diskontinuitätsflächen, als eine Taylor-Reihe um die Ankunftszeit der Wellenfront. Es wird gezeigt dass der Koeffizient des ersten Gliedes in der Entwicklung eine Lösung für eine homogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung ecster Ordnung darstellt. Die übrigen Koeffizienten befriedigen lineare, jedoch inhomogene gewöhnliche Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten. Für den Fall einer rampenartigen Belastung und für Stossbildung an der Wellenfront wird für schwache Stösse durch Anwendung einer Methode von Friedrichs die Vereinigung von einfachen Wellen untersucht. Als Beispiel wird die Entlastung eines Stabes betrachtet, der einer anfänglichen Dehnung von 50% unterworfen ist.     

Extension of a crack by a shear wave

Zusammenfassung Eine ebene, unstetige, horizontal polarisierte Schubwelle breitet sich in einem brüchigen elastischen Material aus, das einen Riss enthält. In dieser Arbeit werden die Bedingungen für den Rissfortschritt untersucht, nachdem die ankommende Welle durch den Riss gebeugt wurde. Die Untersuchung besteht aus zwei Teilen. Im ersten Teil werden die Teilchengeschwindigkeiten und Schubspannungen in der Ebene des Risses infolge Beugung der Schubwelle bestimmt. Es wird dabei angenommen, dass der Riss sich sofort, oder kurz nachdem die Wellenfront die Risskante getroffen hat, mit beliebiger Geschwindigkeit ausbreitet. Im zweiten Teil wird die Energiegleichung als Kriterium für den Rissfortschritt benützt. Es wird gezeigt, dass in einem ursprünglich ungestörten Material der Riss sich nur dann sofort ausbreitet, wenn die Schubspannung eine Quadratwurzelsingularität an der Wellenfront zeigt. Wenn die Schubspannung an der Wellenfront kontinuierlich ist, dann beginnt der Rissfortschritt, kurz nachdem die Risskante getroffen wird. In einem statisch vorgespannten Material, das einen Riss enthält, kann der Rissfortschritt sofort einsetzen, wenn der Spannungsfaktor gross genug ist.

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This work was supported by the Advanced Research Project Agency of the U.S. Department of Defense through the Northwestern University Materials Research Center.     

Boundary-layer effects on the reflection of sound waves and weak shock waves at shallow incidence

When either a plane acoustic wave or a weak shock wave is incident upon an infinite wall, the boundary-layer correction to the reflected wave becomes large if the angle between the wave front and the normal to the wall approaches zero. It is shown that transformation to moving coordinates leads to transonic flow problems whose solution permits removal of the singular behavior in each of these cases.

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Zusammenfassung Wenn eine ebene Schallwelle oder ein schwacher Stoss so auf eine Wand auftrifft, dass der Winkel zwischen der Wellenfront und der Wandnormalen gegen Null geht, so wird die Korrektur der reflektierten Welle wegen der Wandgrenzschicht gross. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass eine Transformation auf bewegte Koordinaten auf ein transonisches Problem führt, dessen Lösung die Singularität in beiden Fällen vermeidet.

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This paper is dedicated to Nicholas Rott, in appreciation for his helping to introduce me to aerodynamics, and in honor of his sistieth birthday.     

Symmetric Oseen flow past a semi-infinite plate and two force singularities

Zusammenfassung Für die zweidimensionale, stationäre Oseen-Strömung längs einer halb-unendlichen ebenen Platte und zweier zur Platte spiegelbildlich angeordneten Geraden von konzentrierten Kraft-Singularitäten wird eine analytische Lösung angegeben. Dieses Ergebnis wird zur vereinfachten Untersuchung der Strömung längs einer halb-unendlichen ebenen Platte und eines symmetrischen Hindernisses benützt. Es wird auch gezeigt, dass die bekannten Lösungen von gewissen Oseen-Strömungsproblemen sich als Spezialfälle aus der neuen Lösungsformel ergeben.     

On the scattering of waves by a disk

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass das Problem, die Beugung einer ebenen Welle an einer kreisförmigen Öffnung oder Scheibe zu bestimmen, auf die Lösung von regulären Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt werden kann. Die Lösungen dieser Integralgleichungen liefern uns für die Scheibe im Falle der Neumannschen Bedingung die radiale Variation der Unstetigkeiten der Wellenfunktion und im Dirichletschen Falle die Unstetigkeiten ihrer normalen Ableitung. Ist das Produkt von Öffnungsradius und Wellenzahl klein, so können die Integralgleichungen gelöst werden. Für die Ableitung der Integralgleichungen verwenden wir einerseits die Poissonsche Darstellung für die Wellenfunktion und andererseits die Fortsetzung der Helmholtzschen Darstellung in die komplexe Ebene.     

Hydromagnetic flow over a plane wall with uniform suction

Zusammenfassung Diese Abhandlung behandelt die Strömung einer inkompressiblen, zähen und elektrisch leitenden Flüssigkeit über eine ebene Wand mit homogener Absaugung und senkrechtem Magnetfeld. Eine exakte Lösung der hydromagnetischen Gleichungen kann erhalten werden, wenn die magnetische Druckzahl kleiner als eins ist.Aus den Rechnungen findet man, dass sowohl die Reibungsschubspannung als auch die Wärmeübertragung an der Wand unabhängig sind von der hydromagnetischen Wirkung, aber dass die Grenzschichtdicke zunimmt mit der Zunahme des hydromagnetischen Einflusses.Es sei bemerkt, dass keine stationäre Lösung erhalten wird für den Fall des Ausblasens.     

Resonant torsional oscillations of a pair of discs in a rotating fluid

Zusammenfassung Es wird das Strömungsproblem einer Flüssigkeit zwischen zwei Platten behandelt, welche Torsionsschwingungen in einem rotierenden System ausführen. Es wird eine kleine Schwingungsamplitude angenommen; die Frequenz sei resonant mit der Rotationsgrundfrequenz. Es wird gezeigt, dass, wenn die Torsionsschwingungen impulsiv begonnen werden, die Entwicklung des Strömungsfeldes nach den frühesten Anfangsstufen durch lineare Gleichungen beschrieben wird; die linearen Effekte erster Ordnung können durch eine Technik des Zusammenpassens («matching») berechnet werden. Wie bei ähnlichen Problemen mit Torsionsschwingungen wird auch hier eine stationäre Strömungskomponente gefunden.     

A quasi-iterative method for computing interface temperature distributions

Zusammenfassung Es wird ein einfaches Modell für gleitenden Kontakt vorgeschlagen, zur Ermittlung der Verteilung des Verschleisses, die ihrerseits mit der Verteilung der Temperatur längs der Gleitfläche zusammenhängt. Dabei wird eine relativ einfache Methode entwickelt für die Berechnung der Verteilung der Gleitflächentemperatur. Die Methode ist im wesentlichen iterativ; im besondern verringert die hier entwickelte quasi-iterative Methode die Anzahl der Quasi-Iterationen beträchtlich—in den meisten Fällen auf nicht mehr als eine. Dieses Verhalten wird an einem Beispiel erläutert. Obwohl die dargestellte Methode iterativ ist, erfordert sie weniger Rechenarbeit, als für die numerische Lösung des Problems bei vorgeschriebener Genauigkeit notwendig wäre.Es wird auch gezeigt, dass das Modell als Analogon für die Inversion einer Klasse von singulären Integralgleichungen erster Art dienen kann.

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The research was supported by the United States Air Force Office of Scientific Research, Air Research and Development Command, under Contract No. AF 49(638)-67.     

Servo-stabilization of low-frequency oscillations in liquid propellant rocket motors

Zusammenfassung Die Theorie der kleinen Frequenz-Instabilität von Raketenmotoren mit flüssigen Treibmitteln wird überarbeitet, wobei im besonderen die Methode der Satche-Diagramme erörtert wird, welche durchH. S. Tsien für Stabilitätsrechnungen linearer Systeme mit zeitlicher Verzögerung eingeführt worden sind. Das Prinzip der Stabilisierung durch Benutzung einer Gegenkopplungsschleife wird besprochen, und es wird gezeigt, dass schon eine sehr einfache Lösung des Gegenkopplungskreises die Stabilität von flüssigen Einzel- und Doppeltreibmitteln in Raketenmotoren versichern kann, unabhängig von der Grösse der Zeitverzögerung. Auf Grund des beschriebenen speziellen analytischen Beispiels wird gefolgert, dass solche Stabilisierungsmassnahmen für eine viel grössere Klasse von Instabilitäten in Raketenmotoren als die betrachtete empirisch verwirklicht werden können.     

Stresses in a transversely isotropic elastic cone under an asymmetric force at its vertex

Zusammenfassung Behandelt wird das Problem eines transversal isotropischen Körpers, der durch zwei konzentrische Kegelflächen begrenzt ist und durch eine asymmetrische Kraft an der Spitze belastet wird. Geschlossene Ausdrücke werden gegeben für den Spannungszustand und die Verformung. Ein interessanter Spezialfall ist das Cerruti-Problem, wo eine konzentrierte Kraft tangential an der Oberfläche eines elastischen Halbraumes wirkt. Die Lösung ist exakt im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie.     

A note on the stability of generalized Couette flow

Zusammenfassung Die Stabilität der laminaren Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die durch Rotation des inneren Zylinders und Wirkung eines konstanten Druckgradienten in Umfangsrichtung erzeugt wird, wird untersucht mit Hilfe eines Näherungsverfahrens, welches nur die bekannten Stabilitätskriterien für Couette-Strömung zwischen zwei gegenrotierenden Zylindern und Poiseuille-Strömung in einem gekrümmten Kanal benutzt. Es ergibt sich dass solch eine Methode kritische Werte für das Auftreten der Instabilität liefert, die in guter Übereinstimmung mit denen vonDi Prima [2] sind und dass die Methode eine zufriedenstellende Erklärung für die ziemlich unerwartete Abhängigkeit des Taylor-Görtler-Parameters und der kritischen Wellenzahl von der Grösse des azimutalen Druckgradienten gibt.