应用柯西公式证明线性代数中几个定理

Cauchy公式是线性代数中著名的定理,其应用十分广泛。线性代数中有几个重要定理,证明都比较复杂。本文应用Cauchy公式给出另一种证明,简捷有力。为叙述方便起见,先将Cauchy公式复述如下:     

柯西公式的一些应用

一、柯西公式是线性代数中的一个基本公式,首先,我们将其内容陈述如下: 定理:设V、U分别是n×m、m×n阶矩阵,则(见[注1]引理2): 一般线性代数的教本,仅在证明和矩阵秩数有关的命题时用到它。下面的结果将使我们看到,柯西公式是一个有力的代数工具,用它还可以解决其它一些重要的代数问题,而且在解决这些问题的方法中,它显得比较简洁。二、下面我们用柯西公式证明线性代数中的几个定理,首先将这些定理列举如下[注2]     

利用调和分析方法证明柯西积分公式

柯西积分公式是复变函数中的重要公式之一,它的证明在一般的教材中是利用柯西积分定理以及函数的连续性来证明的.而在该论文中提供了另一种的柯西积分公式证明方法,主要是利用调和函数和数学分析中的格林公式来证明.     

用柯西不等式证明点线距公式

求点到直线的距离公式是一个很有魅力 的数学问题,它吸引广大师生为之苦苦思索, 得到很多证法.现介绍一种证法,供大家参考. 已知定点为P(x0,y0),定直线为Ax+By +C=0,求证点P到定直线的距离为 证明 设Q(x,y)为定直线上任意一点, 则d为|PQ|的最小值. ∵ C=-Ax-By, ∴Ax0+By0+C =-Ax-By+Ax0+By0 =A(x0-x)+B(y0-y). 再由柯西不等式:     

多元函数的柯西公式和洛必大法则

<正> 本文给出多元函数的(?)西公式.并利用它建立多元函数的洛必大法则.为书写简单起见,文中采用向量表示法. x=[x_1,x_2…,x,]~r表示n维空间R~n中的向量. (?)R~n→R~(?)表示∫是定义在n维空间R~n中区(?)D上的n元实值函数.     

多元函数的柯西公式和洛必大法则

本文给出多元函数的柯西公式,并利用它建立多元函数的洛必大法则。为书写简单起见,文中采用向量表示法。     

柯西型积分的高阶导数公式证明

本文给出一个较为简单的方法证明柯西型积分的高阶导数公式。     

柯西不等式的应用

笔者发现柯西不等式在中学数学的圆锥曲线中也有它的用武之地 ,下面先给出由它得出的两个定理及推论 ,然后再作一应用 .定理 1　设 x2a2 + y2b2 =1,则a2 +b2 ≥ (x +y) 2当且仅当 xa2 =yb2 时上式等号成立 .证　由柯西不等式 ,得　a2 +b2 =(a2 +b2 ) xa2 + yb2≥ (x + y) 2 ,当且仅当 xa2 =yb2 时上式等号成立 .推论　若x2 + y2 =r2 ,则 2r2 ≥ (x + y) 2 ,当且仅当x =y =22 r时取等号 .定理 2　设 x2a2 - y2b2 =1,则a2 -b2 ≤ (x - y) 2 ,当且仅当 xa2 =yb2 上式等号成立 .证　由于柯西不等式可推广为(a21-a22 ) (b21-b22 )≤ (a1b1-a2 b2 …     

柯西不等式的应用

柯西不等式是新课标教材选修模块中的新增内容,以柯西不等式为背景的试题已悄然地在高考试卷中出现．在解题中若能灵活地应用柯西不等式求解,则会使思路简捷明快,新颖别致,下面试举几例,以示说明．     

柯西不等式的应用

<正>数学的知识板块存在着千丝万缕的联系,不等式作为高考数学的知识板块之一,是数学高考命题者的一个知识依托点.利用柯西不等式解决问题,就是在较大的知识背景中利用不等式来综合分析和解决问题,依赖于完整的数学知识网络,同时也顺应高考数学的整体立意.1.柯西不等式解决三角问题     

利用柯西不等式证点到直线的距离公式

利用柯西不等式证点到直线的距离公式姚义民（陕西富平立诚中学７１１７１１）笔者遇到过这样一道题：已知２ｘ＋４ｙ＝１，求ｘ２＋ｙ２的最小值．利用柯西不等式２ｉ＝１ａ２ｉ２ｉ＝１ｂ２ｉ≥（２ｉ＝１ａｉｂｉ）２得１＝（２ｘ＋４ｙ）２≤（２２＋４２）（ｘ...     

用柯西不等式推导点到直线的距离公式

点到直线距离公式的推导 ,有不少方法 [1 ].[2 ].本文用柯西不等式给出其又一推导 .已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )及直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0 (Ａ2 +Ｂ2 ≠ 0 ) .设点Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )是直线ｌ上任意一点 ,则Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ =0 . ①｜ＰＰ1 ｜=(ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2 .②点Ｐ ,Ｐ1 两点间的距离｜ＰＰ1 ｜的最小值 ,就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .求②的最小值 ,由柯西不等式有 :Ａ2 +Ｂ2 · (ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2≥｜Ａ(ｘ0 -ｘ1 ) +Ｂ(ｙ0 -ｙ1 ) ｜=｜Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ- (Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ) ｜ ,由①、②得 :Ａ2 +Ｂ2 ·｜ＰＰ1 ｜≥｜…     

三维波动方程柯西问题球平均公式的教学

在数学系本科基础课程数学物理方程的教学中 ,三维波动方程柯西问题的求解是很关键的一段。学生在此以前已学习了利用行波法与分离变量法求一维波动方程的解。对于波动方程的特性已有一定的了解 ,但在进入到高维波动方程的学习时 ,原有的求解方法不能适用 ,球平均法是很好的求解三维波动方程柯西问题的方法。由于其困难程度突然升高 ,学生对段内容常感到费解。为此 ,在教材编写与课堂教学中加以琢磨 ,化解这一难点是很有必要的。球平均法的实质是引入一个球平均算子 ,它将一个给定的函数变换成一个具有不同球心 ,不同半径的球面上的平均值函…     

柯西不等式及其应用

新课标教材选修4-5《不等式选讲》第三讲中介绍了柯西不等式,它不仅形式优美,而且具有重要的应用价值,学生通过对它的学习不仅能领略到它的几何背景、证明方法及其应用,而且能进一步感受到数学文化的美妙,提高自身的数学     

柯西不等式及其应用

柯西不等式是证明某些不等式的重要工具,也是在求某些函数的最值时经常使用的理论根据,特别是在数学竞赛中有着广泛的应用．本文先介绍柯西不等式和它的常见变形形式,再通过实例介绍应用柯西不等式解题的方法和技巧．‘     

柯西不等式及其应用

下面便是著名的柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式 :设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,ｂ1,ｂ2 ,… ,ｂｎ 均为实数 ,则(ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ) 2 ≤ (ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ) (ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ) ,等号当且仅当ａｉ=λｂｉ(λ为常数 ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ)时成立 .这个命题的证法较多 ,在一般的竞赛教程中都可以查找到 ,这里从略 .应用柯西不等式解题的关键在于构造两组实数 ,并根据柯西不等式的特点进行探索 .在解决分式型问题时 ,通常还应用到柯西不等式如下的两个推论 .推论 1　设ａｉ 与ｂｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)同号 ,则∑ｎｉ=1ａｉｂｉ≥∑ｎｉ=1…     

柯西不等式的应用技巧

<正>利用柯西不等式证明某些不等式或探求某些多元函数的最值(值域)时,确实简捷明了,是在一道题的多种解法中的较优者.因此,若能创造条件灵活运用柯西不等式,将会给我们带来许多方便.但是,创造运用柯西不等式的条件十分灵活,且技巧性强,很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题.从哪里入手,如何创造条件,怎么创造,不少同学找不到突破口,感到无所适从,甚至创造不出合理的条件.下面就此问题作一些归纳、总     

柯西不等式的应用技巧

利用柯西不等式证明某些不等式或探求某些多元函数的最值（值域）时,确实简捷明了,是在一道题的多种解法中的较优者.因此,若能创造条件灵活运用柯西不等式,将会给我们带来许多方便.但是,创造运用柯西不等式的条件十分灵活,且技巧性强,很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题.从哪里入手,如何创造条件,怎么创造,不少同学找不到突破口,感到无所适从,甚至创造不出合理的条件.下面就此问题作一些归纳、     

波动方程柯西问题的新解法

通过分离变量法,将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题,从而可解一维、二维波动方程柯西问题,该方法可以推广到求解高维波动方程柯西问题。