On refined theories of composite laminates

Summary A review of the developments in the displacement-based theories of plates is presented. It is shown that many of the third-order theories reported in the literature are based on the same or equivalent displacement field, and are thus lead to the same results. A strain-consistent third-order theory is presented, which contains most existing third-order plate theories as special cases. The layer-wise laminate plate theory proposed by the author is also reviewed. The accuracy of the theories is evaluated by comparing the numerical solutions with those of the three-dimensional elasticity theory.

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Sommario Si passano in rassegna varie teorie delle piastre basate sugli spostamenti. Viene mostrato che molte delle teorie del terzo ordine che compaiono nella letteratura sono basate sullo stesso (o un equivalente) campo di spostamenti, e quindi conducono agli stessi risultati. Viene quindi presentata una teoria del terzo ordine coerente nelle deformazioni, che contiene come casi particolari la maggior parte delle esistenti teorie del terzo ordine. Viene anche rivista la teoria delle piastre a strati già proposta dall'autore. L'accuratezza delle teorie è valutata paragonando le soluzioni numeriche con quelle della teoria tri-dimensionale dell'elasticità.

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Invited Lecture presented at New Developments in Structural Mechanics, International Meeting in memory of Professor Manfredi Romano; Catania, Italy, 4–6 July 1990.     

The equations of Reissner-Mindlin plates obtained by the method of internal constraints

The aim of this paper is to give the title theory of shearable plates a precise and exact position with respect to three-dimensional linear elasticity. We assume that the Reissner-Mindlin representation of the displacement field hold in a 3-D body in the shape of a plate, and discuss how a constitutive response consistent with such a representation should be chosen. We find that the Reissner-Mindlin plate theory results from mere integration over the thickness of the equilibrium equations of a cylindrical body made of a linearly elastic material which is both transversely inextensible and transversely isotropic.

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Sommario Scopo di questo articolo è fornire una deduzione esatta, nell'ambito dell'elasticità lineare tridimensionale, della teoria delle piastre deformabili a taglio menzionata nel titolo. Ammesso che la rappresentazione di Reissner-Mindlin per il campo di spostamento valga in una regione tridimensionale a forma di piastra, si discute come scegliere la risposta costitutiva in maniera coerente con quella rappresentazione. Si trova che la teoria delle piastre di Reissner-Mindlin si ottiene per semplice integrazione sullo spessore delle equazioni di equilibrio di un corpo cilindrico che sia costituito di un materiale linearmente elastico tanto trasversalmente inestensibile che trasversalmente isotropo.

     

On the constraint and scaling methods to derive the equations of linearly elastic rods

The theory of linearly elastic rods may be obtained from three-dimensional elasticity either by the method of internal constraints or by the scaling method. Both methods have been applied to obtain linear plate and shell equations ([1], [2]–[5]); the relationships between the two methods are discussed in [6]. For rods, a version of the constraint method has been developed in [7], whereas a scaling method has been presented in [12]. In this paper a direct comparison is made between the mechanical basis and analytical results of the constraint and the scaling methods, and it is shown how the scaling method yields the same Kirchhoff hypothesis that forms the starting point of the constraint method.

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Sommario La teoria delle travi elastiche lineari puó essere ottenuta a partire dalla teoria tridimensionale dell'elasticitá tanto con il metodo dei vincoli interni che con il metodo di riscalamento. Entrambi i metodi sono giá stati utilizzati per ottenere le equazioni delle piastre e dei gusci lineari ([1], [2]–[5]); in quel contesto, le relazioni tra i due metodi sono state discusse in [6]. Una versione del metodo dei vincoli appropriata al caso delle travi é stata sviluppata in [7], mentre i metodi di riscalamento per le travi si trovano esposti in [12]. Scopo di questo lavoro é compiere un paragone diretto tra i fondamenti meccanici e le risultanze analitiche, rispettivamente, del metodo dei vincoli e di quello di riscalamento, mostrando come il metodo di riscalamento imponga di accogliere proprio quelle ipotesi all aKirchhoff sulle quali si basa il metodo dei vincoli interni.

     

A study on the forced vibrations of a class of nonlinear systems,with application to the Duffing equation Part II: Numerical treatment

Summary Numerical results on the wave form, the amplitude and the phase of the steady state solutions of the Duffing equation are obtained here. The steady state vibrations are studied:i) by a procedure of direct numerical integration based on the Runge-Kutta method;ii) by calculating the approximate solution of the equation which is obtained, as a particular case, from the theory developed in Part I. The results obtained by the two methods are compared and tested by the results of other Authors. From the comparisons it appears that the theory of Part I gives satisfactory results also in the cases of strong nonlinearity of the system.

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Sommario Nel presente lavoro sono ricavati ed illustrati alcuni risultati numerici relativi alle forme d'onda, le ampiezze e le fasi delle soluzioni a regime dell'equazione di Duffing. I moti vibratori a regime vengono ricercati:a) mediante un procedimento di integrazione numerica diretta, basato sul metodo di Runge-Kutta;b) adottando la soluzione approssimata dell'equazione stessa, che si ottiene come caso particolare della teoria sviluppata nella Parte I. I risultati ottenuti vengono confrontati fra di loro e con i risultati di altri Autori. Dai confronti appare che la teoria sviluppata nella Parte I dà risultati soddisfacenti anche quando la nonlinearità del sistema è molto elevata.

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This paper is an elaboration of a paper [10] presented at the 2nd National Congress of AIMETA (Naples, 6 October, 1974).     

Variational principles in elastostatics

Summary In a previous paper three new variational principles of elastostatics in the theory of small displacements were added to the four principles previously known: that of the minimum potential energy, of Menabrea-Finzi, of Reissner and of Hu-Washizu. This paper presents another new principle plus a variant of Reissner's principle and of its dual and reviews all the principles of elastostatics known to date.

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Sommario In una precedente nota sono stati presentati tre nuovi principi variazionali dell'elastostatica nella teoria dei piccoli spostamenti che vanno ad aggiungersi ai quattro principi precedentemente noti: quello della minima energia potenziale, di Menabrea-Finzi, di Reissner e di Hu-Washizu. In questa nota è presentato un nuovo principio, viene segnalata una variante al principio di Reissner e al suo duale e infine viene data una visione globale su tutti i principi attualmente noti dell'elastostatica.

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This work has been done under the auspices of the Research Group no. 34 of C.N.R.     

Elastic behaviour of shrink-fitted forming die assemblies. Part II: Numerical application and results

Summary A study is presented on the elastic behaviour of a set of assemblies consisting of a cylinder prestressed by a shrink-fitted ring of different length as is customary in extrusion toolsets. An accurate analysis is carried out of the individual and interactive effects pertaining both to the bulk support provided by the relatively unstressed parts of the die, and the external compressive stresses induced by radial support of the shrinking ring.Stresses and displacements in the two cylindrical components are evaluated by a numerical application of the three-dimensional elastic theory and the point-matching method.Again a discussion is presented of the limitations involved by the numerical approach.

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Sommario L'articolo riferisce sul comportamento elastico di accoppiamenti realizzati per forzamento di un anello di grosso spessore su un cilindro cavo di lunghezza finita e diversa da quello dell'elemento forzante, del tipo di quelli impiegati nelle attrezzature di estrusione.Si analizzano individualmente e nella loro interazione le influenze che su tale comportamento hanno l'irrigidimento fornito da quelle porzioni dell'anello interno che sono relativamente scariche di tensioni e la pressurizzazione esterna indotta dall'elemento forzante.Il calcolo delle tensioni e degli spostamenti nei due componenti è operato mediante un'applicazione numerica della teoria dell'elasticità tridimensionale e del metodo delle collocazioni.Si discutono inoltre le limitazioni connaturate con l'approccio di tipo numerico.

     

Stability,buckling, and postbuckling of elastic structures

Summary This paper is the continuation of a research on the stability and postbuckling behaviour of elastic structures; in the first Part [n. 4, Vol. X, 1975 of this Journal], the potential energy of elastic tridimensional bodies has been defined in a suitable configuration space, and its properties of regularity have been studied. According to the program given in the previous Paper, we examine now the potential energy functional for some monodimensional and bidimensional structural models. Then the Part II of this research is developed so that the Liapunov stability of the equilibrium configuration of continuous elastic structures is analyzed by means of suitable energy criteria.

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Sommario Questo lavoro costituisce il proseguimento di uno studio sulle stabilità e comportamento postcritico delle strutture elastiche; nel precedente lavoro, pubblicato sul n. 4, vol. X, 1975 di questa rivista, è stato esaminato il problema della definizione dell'energia potenziale di un corpo elastico tridimensionale in un opportuno spazio funzionale delle configurazioni, e sono state esaminate le proprietà di regolarità di questo funzionale. Proseguendo il programma formulato nel lavoro precedente, viene ora innanzitutto completato lo studio del funzionale energia potenziale con riferimento a modelli strutturali mono e bidimensionali. Viene poi sviluppata la Parte II e cioè l'analisi della stabilità secondo Liapunov di una configurazione di equilibrio attraverso opportune formulazioni dei criteri dell'energia.

     

On the incompressible flow in axial turbomachinery with several closely packed blade rows

Summary The velocity field in an axial multistage turbomachinery is easily investigated, ignoring the fluid viscosity and compressibility, by means of the actuator disc theory. By developing this theory, general expressions of fluid velocity in such a machine are obtained, these in turn yield the approximate expressions usually given in the literature.

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Sommario Lo studio del campo di moto in una turbomacchina a più stadi puramente assiale per fluido inviscido ed incomprimibile viene sviluppato in modo agevole mediante la teoria del disco attuatore. Nella presente nota vengono ricavate, sviluppando tale teoria, le espressioni generali delle velocità del fluido in una tale macchina e da queste vengono derivate successivamente le espressioni approssimate comunemente riportate nella bibliografia a proposito.

     

Transverse vibrations of cylindrical helical springs

Summary In this paper we have calculated the natural frequencies of the transverse vibrations of cylindrical helical springs, with respect to the variation in slenderness and relative compression. The calculation was made by considering the spring as a constant-section beam, and by applying Timoshenko theory to the latter. The theoretical section of this paper is an extension of Haringx's work on the same subject, not so much because it studies natural modes higher than the first (a problem which was treated by Haringx), but rather because its more general approach to the transverse vibrations phenomenon raises problems of results' interpretation that this Author did not face. The calculated values of natural frequencies and the corresponding deflection curves have been compared with experimentally determined values. In the course of experimentation Thickness-shear modes were visualized, which Timoshenko theory takes into account, but which, as far as beams are concerned, are not detectable.

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Sommario Sono state calcolate le frequenze naturali delle vibrazioni laterali delle molle ad elica cilindrica con estremi incastrati, al variare della snellezza e del precarico. Il calcolo è stato effettuato assimilando la molla ad una trave a sezione costante, ed applicando a questa la teoria di Timoshenko.La parte teorica del presente studio è una estensione del lavoro di Haringx sullo stesso argomento, non tanto perché in esso sono stati considerati modi di vibrare superiori al primo (problema questo trattato dall'Haringx), quanto per il fatto che una visione più generale del fenomeno delle vibrazioni laterali pone problemi di interpretazione dei risultati, non affrontati da questo Autore.I valori calcolati delle frequenze naturali e le corrispondenti linee elastiche sono stati confrontati con quelli determinati sperimentalmente. Nel corso della sperimentazione è stato possibile visualizzare modi di vibrare caratteristici (Thickness-shear modes) previsti dalla teoria di Timoshenko, ma non osservabili nel caso delle travi.

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Research sponsored by the National Research Committee (C.N.R.). Paper presented during the: Incontro di studio «Metodi classici e moderni per lo studio delle vibrazioni di sistemi dinamici», Università di Padova, maggio 1976.     

Accurate solutions and stability criterion for periodic oscillations in hysteretic systems

Summary The study of the periodic response of hysteretic oscillators is reduced to that of nonlinear elastic oscillators by assuming an incremental formulation for the constitutive relationship. The harmonic balance method with many components allows for accurate periodic solution computation. The Floquet theory can be used to check stability. Developed equations are applied to the study of frequency response curves of a hysteretic oscillator that, although simple, shows both degrading and non degrading behaviour. The results reported clearly show the shortcomings of traditional methods; the influence of higher harmonics is far from negligible.

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Sommario Nello studio della risposta periodica degli oscillatori isteretici si incontrano difficoltà dovute alla natura non olonoma del legame costitutivo. Nel presente lavoro queste difficoltà vengono superate in parte adottando una formulazione incrementale che riconduce il caso isteretico a quello elastico non lineare seppure al prezzo di un allargamento dello spazio delle variabili di stato. Le soluzioni periodiche sono determinate seguendo il metodo del bilancio armonico con molte componenti; la stabilità viene analizzata con la teoria di Floquet. Le equazioni sviluppate sono utilizzate per determinare le curve di risposta in frequenza sotto una forzante sinusoidale, di un oscillatore che, benchè semplice, presenta una notevole varietà di comportamento. I risultati ottenuti mostrano chiaramente le lacune dei metodi tradizionali; l'influenza delle armoniche superiori in molti casi è ben lungi dall'essere trascurabile.

     

A basis for the linear theory of elastic stability of structures

Summary In this paper a consistent linear theory of stability of elastic structures is given and the problem of the neutral equilibrium of a continuum composed by an elastic material with high stiffness to the strains is studied. All the particular cases, as the buckling of beams, plates, shells etc., ensue and their classification in regard of their significance is given. There are comparisons with other theories.

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Sommario In questa Nota viene formulata una consistente teoria lineare della stabilità dell'equilibrio delle strutture elastiche e si tratta il problema dell'equilibrio indifferente di un continuo costituito da un materiale elastico con elevata rigidità alla deformazione. Tutti i casi particolari di instabilità euleriana delle travi, piastre, gusci ecc., discendono come casi particolari e di questi viene fornita una classifica nei riguardi della loro importanza. Si fanno infine confronti con altre trattazioni.

     

On the Clausius-Planck inequality within theories for differential materials

Summary Within a classical theory of differential materials of complexity one, we prove that the Clausius-Planck inequality is equivalent to another one, here called the extra-stress inequality. Within a Green-Naghdi theory, the first inequality implies the vanishing of a term related to the response function for the internal production of entropy; and the vanishing of this term implies the equivalence of the two aforementioned inequalities.

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Sommario Entro una teoria classica per materiali differenziali di complessità uno si prova che la diseguaglianza di Clausius-Planck equivale ad un'altra diseguaglianza dissipativa, qui detta dell'extra-stress. Entro una teoria alla Green-Naghdi la prima diseguaglianza implica l'annullarsi di un termine legato alla funzione di risposta per la produzione interna di entropia; e l'annullarsi di tale termine implica l'equivalenza tra le diseguaglianze sopra menzionate.

     

Dislocation theory as a physical field theory

Dislocations are the elementary carriers in many situations of plastic flow. Since they can be seen, counted and typified, e.g. in the electron microscope, and since their presence changes the state of the (elastoplastic) medium, the dislocations have the status of a physical state quantity. In spite of this a continuum theory of elastoplasticity can be built up which does not use the concept of dislocation. However, disregarding the dislocations implies approximation, and this approximation is not always good, in spite of the smallness of the dislocation diameter (order atomic distance). It is discussed how a field theory of dislocations can be developed which takes full account of the dislocational degrees of freedom.

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Sommario In molte situazioni le dislocazioni sono i portatori puntiformi del flusso plastico. Poiché esse possono essere viste, contate e classificate, per esempio mediante il microscopio elettronico, e poiché la loro presenza cambia lo stato del mezzo (elastoplastico), le dislocazioni svolgono il ruolo di una variabile di stato. Nonostante ciò, si può formulare una teoria dell'elastoplasticità che non usa il concetto di dislocazione. Tuttavia, il trascurare le dislocazioni comporta un'approssimazione, e tale approssimazione non è sempre buona nonostante la piccolezza delle dislocazioni (dell'ordine della distanza interatomica). Si discute come si possasviluppare una teoria di campo delle dislocazione che tenga conto completo del loro grado di mobilità.

     

On smoothly growing bodies and the eshelby tensor

A continuum mechanical theory of growing bodies is presented. It is assumed that the various parts of the body are identifiable. The growth of a body is manifested by mapping the identifiable elements of the growing body into a material manifold. Kinematics and stress theory are formulated on the basis of an infinite dimensional differentiable bundle structure for the configuration space. Stresses representing the forces associated with the growth of the body are analogous to the Eshelby tensor.

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Sommario Si propone una teoria meccanica dei corpi di massa crescente. Si postula che le varie parti del corpo siano identificabili. La crescita del corpo si manifesta mediante l'applicazione degli elementi identificabili del corpo in una varietà materiale. La cinematica e la teoria degli sforzi vengono formulati sulla base di un fibrato differenziabile a infinite dimensioni per lo spazio delle configurazioni. Gli sforzi associati alla crescita del corpo sono analoghi al tensore di Eshelby.

     

Uniqueness of the concentrated-load problem in the linear theory of couple-stress elasticity

Summary It is pointed out that there exist at least two different solutions of the problem of concentrated loads in the two-dimensional, linear couple-stress theory when the formulation is based on the usual uniqueness theorem. An extension of this uniqueness theorem is proved. A set of conditions sufficient for uniqueness is found and is used in a formulation of the concentrated load problem which results in a unique solution. The significant new condition is that the order of the stress singularity is limited to O(r^–1), where r is the distance from the concentrated load.

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Sommario Si fa notare che esistono almeno due soluzioni diverse del problema dei carichi concentrati nella teoria lineare, a due dimensioni, delle coppie di volume quando la formulazione è basata sul teorema di unicità.Si dimostra una estensione di questo teorema di unicità. Si trova un gruppo di condizioni sufficienti per l'unicità; queste condizioni vengono usate nella formulazione del problema del carico concentrato che dà luogo ad un'unica soluzione.La nuova condizione significativa è che l'ordine della singolarità dello sforzo è limitato a O(r^–1), dove r è la distanza dal carico concentrato.

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This work is a result of research sponsored by the Office of Naval Research, U.S. Navy, under Contract Nonr-610(06).     

Lifting Surface in Subsonic Unsteady Regime

The paper refers to the solution of the integral equation for the acceleration (or pressure) potential for the study of subsonic linearized unsteady flow in view of aeroelastic applications. The case considered is relevant to a trapezoidal wing infinitely thin surface without discontinuities. As is well known [1, 2], the kernel of the integral equation exhibits three singularities, two of which are integrable in elementary form, whereas, for the third one integration in principal part according to Hadamard's rule is necessary. The kernel is therefore reworked in such a way that all the singularities are separated from the regular part, and eventually the discretization is performed in such a way that only the regular part is to be recalculated for each new value of the reduced frequency. Convergence tests, comparison with other methods of solution, and time saving associated with the technique of separation are also shown.Sommario. II lavoro tratta la risoluzione del problema relativo alla equazione integrale nel potenziale di accelerazione (o di pressione) per lo studio di una corrente subsonica linearizzata nonstazionaria, in vista di applicazioni aeroelastiche. Il caso considerato è quello di una superficie alare a pianta trapezoidale in assenza di discontinuità di spessore infinitesimo. Come è noto [1, 2], il nucleo della equazione integrale in parola presenta tre singolarità, due sole delle quali sono integrabili in forma elementare, (o riconducibili ad essa), mentre per la terza è necessario far ricorso alla integrazione in parte principale alla Hadamard. Il nucleo stesso viene quindi rielaborato in modo da isolare tutte le singolarità dalla componente regolare del nucleo; si procede così alla discretizzazione dell' equazione integrale, e, per ogni valore della frequenza ridotta, va ricalcolata solo la parte regolare della matrice risolvente. Vengono poi effettuati tests di convergenza, confronti con altri metodi di soluzione, analisi sui tempi di calcolo e risparmio di tempo di calcolo dovuto alla tecnica di separazione.     

A note on the Cauchy relations

The Cauchy relations originated in the context of the molecular theory of elasticity. Assuming them implies a reduction of the independent elastic constants which characterize the constitutive tensor in the linear anisotropic case. This paper brings to light a property of the elastic tensor through its decomposition into a symmetric part and into a skew part in the 2nd and 3rd indices. The skew part, which vanishes if and only if the Cauchy relations hold, is connected with a self-equilibrated stress field. The isotropic case is examined as a particular example.

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Sommario Le relazioni di Cauchy ebbero origine nell'ambito della teoria molecolare dell'elasticità; la loro assunzione implica una riduzione delle costanti elastiche indipendenti che caratterizzano il tensore costitutivo nel caso anisotropo lineare. In questa breve nota si mette in luce una proprietà del tensore elastico attraverso la sua decomposizione in una parte simmetrica ed in una antisimmetrica nel 2° e 3° indice: la parte antisimmetrica, che risulta nulla se e solo se valgono le relazioni di Cauchy, è associata ad un campo di tensioni autoequilibrate. Si analizza, come caso particolare, il caso isotropo.

     

Small-perturbation theory of steady plane relativistic flows

Summary Small-perturbation theory for relativistic irrotational steady flows past profiles is developed. Subsonic or supersonic approximation, as well as transonic, is determined. Similarity rules, in both cases, are established.

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Sommario Viene sviluppata la teoria delle piccole perturbazioni per le correnti relativistiche irrotazionali stazionarie che lambiscono profili sottili. Vengono esaminate le approssimazioni valide nel caso subsonico o supersonico, e nel caso transonico. Vengono stabilite le regole di similitudine che sussistono per le correnti subsoniche o supersoniche, e la regola che vige in condizioni transoniche.

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This work was done in the sphere of activity of the C.N.R. groups for mathematical research.     

Tensorial formulation of neutron diffusion theory

Summary In this paper a tensorial formulation of monoenergetic neutron diffusion theory is presented as can be derived starting from the integral form of the Boltzmann equation. A result of this tensorial approach is that, as a consequence of a spatial variation of the macroscopic cross sections or of the finite dimensions of the body under examination, the diffusion coefficient is no longer a constant scalar quantity, but a second order symmetric tensor, whose components are functions of both the position and the properties of the material the body is made of. The components of the diffusion coefficient tensor are explicitly evaluated in the case of some homogeneous convex bodies.

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Sommario In questa nota viene presentata una formulazione tensoriale della teoria della diffusione di neutroni monoenergetici, quale può essere dedotta a partire dalla forma integrale dell'equazione di Boltzmann. Nell'ambito di questa formulazione si precisa che il coefficiente di diffusione, in conseguenza di una variazione regolare delle sezioni d'urto macroscopiche con la posizione o delle dimensioni finite del mezzo in esame, non è più una quantità scalare costante, ma un tensore simmetrico del secondo ordine, le cui componenti sono funzioni della posizione e delle proprietà del materiale. Queste componenti vengono calcolate esplicitamente per alcuni mezzi omogenei convessi.

     

Smectic Liquid Crystals with Compressible Elastic Layers

Smectic liquid crystals partake some of the essential properties of both solids and fluids, in that they possess microstructure both of the material and local type (the nematic microstructure and the lamellae). Balance equations for smectics are derived from the general theory of continua with microstructure and tested against a very simple mode of movement: Couette type displacement of a cell confined between two parallel planes with strong planar anchoring conditions at the boundary. Sommario. I cristalli liquidi smettici mostrano alcune delle proprietà essenziali sia dei solidi che dei fluidi, in quanto posseggono sia una microstruttura di tipo materiale che una di tipo locale (la microstruttura nematica e le lamelle). Le equazioni di bilancio per gli smettici sono qui derivate dalla teoria generale dei continui con microstruttura e testate su un semplice tipo di moto: lo spostamento alla Couette di una cella confinata tra due piani paralleli con ancoraggio al contorno di tipo planare.