“取倒数”在数列型不等式问题中的妙用

数列型不等式．综合了数列与不等式的内容，因而内涵丰富，故成为高考的热点和难点．对这类问题的处理常采取放缩、利用数列的单调性等技巧，而取一个数（式）的倒数在这类问题中却有着独特的作用，可谓“小技巧，办大事”．下面举例说明“取倒数”技巧的妙用．     

运用“两边取法则”求数列通项

1．取倒数 例1已知数列{an}中,a1=7,an=an-1-2/2an-1＋5（n∈N＊,n≥2）.求an.     

取倒数的妙用

取“倒数”是一种常见的数学运算,如果在解题中根据题目的结构特征,灵活地使用求倒数运算,可以简化和优化解题过程. 一、求值域[例1] 求函数y=1/((x-1)(2x-1))的值域.     

再探一组排列数的倒数公式

文 [1]给出了一个排列数公式并应用于一些数列的求和问题 ,本文在此基础上进一步探讨一组排列数的倒数公式 ,供参考 .引理　Ｐｍｎ 1-Ｐｍｎ =ｍＰｍ - 1ｎ (ｍ ,ｎ∈Ｎ ,ｍ≥ 2 ) .证　由Ｃｍｎ 1=Ｃｍｎ Ｃｍ - 1ｎ 及ＣｍｎＰｍｍ=Ｐｍｎ 易得Ｐｍｎ 1=Ｐｍｎ ｍＰｍ - 1ｎ ,∴Ｐｍｎ 1-Ｐｍｎ =ｍＰｍ - 1ｎ .定理 1　 1Ｐｍｎ=1ｍ - 1(1Ｐｍ - 1ｎ - 1- 1Ｐｍ - 1ｎ) (ｍ ,ｎ≥2 ,ｍ ,ｎ∈Ｎ) .证　 1Ｐｍ - 1ｎ - 1- 1Ｐｍ - 1ｎ=Ｐｍ - 1ｎ -Ｐｍ - 1ｎ - 1Ｐｍ - 1ｎ- 1Ｐｍ - 1ｎ=(ｍ - 1)Ｐｍ - 2ｎ - 1Ｐｍ - 1ｎ - 1…     

求有穷数列的通项公式的公式

一个无穷数列未必有通项公式,一个有穷数列呢?学习了高等代数中的拉格朗日插值公式之后,回答是肯定的。任何一个有穷数列都有通项公式。     

立方幂补数倒数的均值

设 n为任意正整数 ,S( n) 表示 n的立方幂补数 .本文的主要目的是研究 ∑n x1S( n) 和 ∑n xnS( n) 的渐近性质 ,并用初等方法得到了两个渐近公式 ,进一步解决 F.Smarandache教授在文献 [1 ]中提出的第 2 8个问题 .     

几类数列通项的矩阵求法

本利用矩阵给出了几类数列的通项公式的求法，把数列通项公式的求法转化为矩阵幂的计算，思路简单、计算简便，并能判别其敛散性。     

初探高考题中的反数列

2010年湖南理科高考第15题为: 若数列{an}满足:对任意的n∈N*,只有有限个正整数m使得am＜n成立,记这样的m的个数为(an)*,则得到一个新数列{an)*}.例如,若数列{an}是1,2,3,…,n,…,则数列{(an)*}是0,1,2,…,n-1,….     

关于立方幂补数倒数的1/3次均值

利用初等方法得到了立方幂补数S(n)倒数的1/3次均值的一个渐近公式,补充了有关文献的结论.     

对一道求数列通项问题的多角度切入

题目 已知数列{an）的前n项和为Sn，a1=2，当n≥2时，Sn=2n-nan． （1）求a2，a3； （2）求数列{an}的通项公式．     

例谈取倒数求分式的值

由已知式求分式值的题型较多,解法各异,有的按常规解法很难,若能利用取倒数去解题,则简便许多,举例如下:一、求式取倒数     

等比数列的一个定理及其应用

本刊 1 999年第 1 1期文 [1 ]通过课本一道习题 ,探讨了递推数列问题的化归解法 ,充分挖掘了课本习题教学价值 .但本人发现应用本文给出等比数列的一个定理 ,可以使这类常见的由递推公式求通项公式的问题获得简捷、统一的解决 .定理　如果由数列 {ａｎ}的项构成的新数列 {ａｎ 1-ｋａｎ}是公比为ｌ的等比数列 ,则相应的数列 {ａｎ 1-ｌａｎ}是公比为ｋ的等比数列 .证　数列 {ａｎ 1-ｋａｎ}是公比为ｌ的等比数列 ａｎ 1-ｋａｎ=ｌ(ａｎ-ｋａｎ -1) ａｎ 1-ｌａｎ=ｋ(ａｎ-ｌａｎ -1) 数列 {ａｎ 1-ｌａｎ}是公比为ｋ的等比数列 .该…     

对群数列的一种推广形式的讨论

对群数列进行了推广,对这一推广形式,给出了其通项公式及部分和(前n项和)的公式.另外,还给出了几个具体的例子.     

一类数列的通项公式

众所周知 ,当一个数列用两个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=2ｋ- 1ｇ(ｎ) ,ｎ=2ｋ 　 (ｋ∈Ｎ)时 ,可合并写成ａｎ =1 (- 1 ) ｎ 12 ｆ(ｎ) 1 (- 1 ) ｎ2 ｇ(ｎ)　 (ｎ∈Ｎ)　① ,那么当一个数列用三个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=3ｋ- 2ｇ(ｎ) ,ｎ=3ｋ - 1ｈ(ｎ) ,ｎ =3ｋ(ｋ∈Ｎ)时 ,能合并写成一个表达式吗 ?对更一般的情况又会怎样呢 ?1　发现过程表达式①中 ,1 ,- 1可视为方程ｘ2 =1的两个根 ,1 (- 1 ) ｎ 12 ,1 (- 1 ) ｎ2 的分母 2正好是方程ｘ2 =1中未知数ｘ的次数 .注意到共性 :当ｎ 1 =2ｋ时 ,ａｎ =ｆ(ｎ) ,对应写成1…     

对一道错误习题的剖析

中师教材《代数与初等函数》(人民教育出版社1994年12月第一版)第二册第30页有这样一个习题.等比数列的首项是358,末项是18,而各项的和是5,求这个等比数列的公比.这个问题从表面看非常简单,只要利用等比数列前ｎ项和的公式ｓｎ=ａ1-ａｎｑ1-ｑ,则有:ｓｎ·(1-ｑ)=ａ1-ａｎ...     

等差数列的两个性质及其应用

等差数列 {an}中 ,任意两项an,am 存在关系 :an=am + (n -m )d ,利用此式 ,有时解题非常简捷、迅速 ,这个性质我们都很熟悉 .由此 ,我想 :等差数列中 ,前n项和Sn 与任意一项am,Sn 与Sm 之间 ,是否也存在一种关系呢 ?这种关系在解题时 ,能给我们带来方便吗 ?本文将重点探讨这个问题 .由等差数列的通项公式am=a1+ (m -1 )d得 :a1=am+ ( 1 -m)d ,代入Sn=na1+ n(n - 1 )d2 ,得Sn=n[am + ( 1 -m )d]+ n(n - 1 )d2=nam+ n(n + 1 - 2m)d2 ( 1 )公式 ( 1 )反映了等差数列前n项和其任一项之间的关系 .由 ( 1 )得　Sm=mam+ m( 1 -m)d2 ( 2 )( 1 ) ,…