凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式：设a，b，c为正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3, （1/b＋c-a）（1/c＋a＋b）（1/a＋b＋c）≥（11/6）^3。 为了推广这两个不等式，文[1]提出下面四个命题，要求证明或否定之．     

一道征解题的推广

《数学通讯》（上半月）2013年第9期问题征解150是一道不等式问题： 已知a,b,c∈R＋,试证：b3＋c3/a＋c3＋a3/b＋a3＋b3/c≥2（a2＋b2＋c2）＋3[（b-c）2＋（c-a）2＋（a-b）2].这道题的证明方法很多,下面我们先给出它的一种解答,然后用同样的证明方法证明此不等式的推广不等式.证明作差变形,并由三元均值不等式得（b3＋c3/a＋c3＋a3/b＋a3＋b3/c）-2（a2＋b2＋c2）     

基本不等式求最值教学浅见

高中教材中的基本不等式是指定理1若a∈R，b∈R，则a2＋b2R≥2ab．推论若a∈R ，b∈R ，则定理2若a∈R ，b∈R ，c∈R ，则a3＋b3＋c3≥3abc．推论若a∈R ，b∈R ，c∈R ，则／十b＋／＿3厂了一Jte；／HbF利用这四个不等式求最值的问题，教材中仅一道例题和五道习题，而高考试题中涉及到运用基本不等式求最值的问题较多，这些题虽源于课本却高于课本．所以课堂教学中对这部分内容的教学应适当加深，但这并不是增加一些新的不等式，而是要对这四个不等式的应用方法和技巧作些系统介绍，以便学生形成有效的认知结构，遇到新问题时有法可…     

一个不等式的几何证法及推广引申

已知a〉1/3，b〉1/3，ab=2/9，求证a＋b〈1，文[1]、[2]、[3]分别用不同的方法证明此不等式，文[3]对它进行了推广，文[4]对文[3]的推广进行了改进并提出了一个“孪生”不等式．本文首先给出此不等式的一个几何证法，然后利用这一证法对此不等式进行推广引申．     

“放”、“缩”与不等式的证明

我们知道，“放”和“缩”是证明不等式时最常用的推证技巧，但多年的教学实践告诉笔者，这种技巧却是不等式证明部分的一个教学难点．学生在证明不等式时，常因忽视“放”或“缩”的合理性或把握不住“放”或“缩”的“度”而导致解题失误甚至思维搁浅．本文拟通过对几道实例的分析，就证明不等式的过程中如何进行“放”或“缩”作些汽探．例1设ABC的三边长为a、b、c，求证解说依题设知a十bmc，因此证明的第一个目标就是考虑将待证不等式的左端适当缩小，以出现a十b：由于（1）式的分子、分母中都含有a＋b，不便于利用条件a＋bMc，据此可…     

两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上，我们看到了下面两个不等式． 已知a〉0，b〉0， （1）求证：√a/2b＋a ＋√b/2a＋b≤2/√3     

一个引理和两道竞赛不等式的证明

本文先介绍一个引理,然后用它证明两道不等式赛题． 引理如果a,b是正数,则 3√a^3＋b^3/2≤a^2＋b^2/a＋b.     

一类三角形不等式的证明

在三角形不等式的证明中,代换a=x＋y,b=y＋z,c=z＋x经常用到．其中x,y,z是正数．这一代换具有明显的几何意义：△ABC的内切圆把a,b,c三边都分为两部分,即y＋z,z＋x,x＋y．用这种代换方法可以证明一类三角形不等式．     

一个不等式的简证

文[1]用高等数学的方法证明了如下不等式： 设a，b，c〉0，a＋b＋c=1，则 （1/a-a）（1/b-b）（1/c-c）≥（8/3）^3 ① 很多文献给出了①的初等证法，但都比较难．下面给出一个简单证明．     

设置增量证明不等式

等与不等是对立与统一的一对矛盾，在某种意义下又常常是可以相互转化的．例如在证明不等式的过程中，我们可用设置增量的方法将不等关系转化为相等关系，以达到证明不等式的目的．例1已知a＞2，b＞2．求证：ab＞a＋b．（根据1993年湖北省初中数学竞赛题改编）证明∵a＞2，b＞2可设a＝2＋m，b＝2＋n，m＞0，n＞0．∵ab－（a＋b）＝（2＋m）（2＋n）－（2＋m＋2＋n）＝mn＋m＋n＞0ab＞a＋b．例2设a＞2，给定数列{Xn}，其中证明（用数学归纳法）当n＝1时，x1=a＞2成立．若n＝k时，有Xk＞2，不妨设Xk＝2＋m，m＞0．即，因此对一切自然数n都有…     

用不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|解题

（事实上，也成立，证明略）在高中《代数》下册不等式一章给出，教材主要研究了它在绝对值不等式证明中的运用．而在其它方面的运用几乎没有涉及．有关资料一般也未作探讨，为了强化《考试说明》中提及的这一重要基础，下面就其运用举例说明．1证明不等式例1用数学归纳法证明：（1985年全国高考上海试题）证明（1）n=1时，不等式显然成立．（2）假设成立，那么n＝k十1时，＜Silk。OSSI＋ICOSk。i。l＜ksinxl＋Dsinx【＝（k＋1）Isinx【．不等式成立．综合（1）、（2）有lsinn6I。nlsin8I．NZ已知a、b、c是实数，函数（1996年全国（3…     

构造数列证明一类正项等差数列不等式

文[1]给出四个有用的正项等差数列不等式，由于原证明技巧性较强，加之定理内容不易记忆，因此直接应用比较困难．本文采用构造数列，将一端看成数列的和（或积），另一端设想成新数列的和（或积），即利用S=b1＋b2＋…＋bn（或Tn=b1·b2·…·bn）得出bn，从而证明两数列相应项的大小，此时用分析法进行证明，方向明确。推理容易．     

一道第31届IMO预选题的推广

设a,b，c，d∈R^＋，且ab＋bc＋cd＋da=1，求证： a^3/b＋c＋d＋b^3/c＋d＋a＋c^3/d＋a＋b＋d^3/a＋b＋c≥1/3① 这是第31届IMO的一道预选题，本文对此不等式进行一些推广．     

也解一道竞赛题

2008年全国高中数学联赛吉林省预赛最后一题：正数a．b,c满足2a＋4b＋7c≤2abc,求a＋b＋c的最小值． 正如文[1]所言,此题的难度非常大．笔者也有同感．所谓“难度非常大”可以理解为这个不等式证明的“技巧性相当的大、灵感要求也相当的高”．这就是不等式的特点,特别是数学竞赛的不等式试题．     

四面体中几个不等式的加强

四面体中几个不等式的加强２５７３００山东广饶第一中学侯良田本文对文以［１］中定理１、２的不等式进行加强．为此先证明如下两个引理．引理１ｘ，ｙ，ｚ，ｗ均为正数，且．则证明（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）＝ｘ３＋ｙ３＋ｚ３＋ｗ３＋６（ｘｙｚ＋ｙｚｗ＋ｚｗｘ＋ｗｘｙ）＋...     

齐次化在不等式证明中的应用

a^2＋b^2≥2ab，2（a^2＋b^2）≥（a＋b）^2，a^2＋b^2＋c^2≥nb＋bc＋ca等是我们经常使用的几个基本不等式．仔细观察，我们会发现，这几个不等式两边各项的次数都相等，像这样的不等式叫做齐次不等式．     

例谈利用必要条件探求充要条件

本文例谈“先用必要条件初探，再通过检验或证明充分性成立”的方法，寻求充要条件． 1．探求参数的取值 例1 已知不等式｜x^2＋ax＋b｜≤2｜x^2-2x-8｜对z∈R恒成立，求a，b的值．     

对一道例题解法的商榷

笔者发现在文[1]中有这么一个例题： 题目：对于任意的实数x，y，不等式x^4＋2x^2y^2＋y^4＋2x^2＋3ay^2＋b〉0总成立，试确定a，b应满足的条件．     

基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．