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面积法的一个定理及应用352200福建省古田县玉田中学吴若继定理任意凸四边形ABCD的对角线相交于O,记△AOD、△AOB、△BOC、△COD的面积分别为S1、S2、S3、S4,则S1·S3=S2·S4(图1).证明。,J·c,卅”S【X””sgs。... 相似文献
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有关三角形内心性质命题的评注 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]介绍了有关三角形内心性质的如下一个命题:设△ABC的内角平分线AD、BE、CF相交于I,求证: AIDI+BIEI+CIFI≥6.①无独有偶,文[2]用三角形的有关心距公式对第32届IMO的一道试题给出了解答.题目为:设I为△ABC的内心,AI、BI、CI分别交对边于A′、B′、C′,则 AIAA′·BIBB′·CICC′≤827.②图1实际上,这两个问题都可以用共边比例定理简捷地解决.先证明①式.证明 如图1,设△BIC面积为S1,△AIC面积为S2,△AIB面积为S3,△A… 相似文献
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三角形五“心”向量形式的充要条件 总被引:3,自引:0,他引:3
利用向量的加法、减法和向量的数量积运算 ,解决几何问题显得简捷、明快 ,思路清晰 .本文就利用向量来研究三角形五“心”(外心、重心、垂心、内心、旁心 )向量形式的充要条件 .1 外心图 1 外心结论 1 若O是△ABC所在平面上一点 ,则O是△ABC的外心的充要条件是OA2 =OB2 =OC2 .证 由向量数量积的运算性质可得 a2 =| a| 2 ,∴ OA2 =OB2 =OC2 |OA| 2 =|OB| 2 =|OC| 2 |OA| =|OB| =|OC| O是△ABC的外心 .2 重心图 2 重心结论 2 若O是△ABC内一点 ,则O是△ABC重心的充要条件是OA +OB… 相似文献
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《数学通讯》2001,(11):35-37
题 5 如图 1 ,四面体ABCD中 ,△ABC与△DBC都是边长为 4的正三角形 .1 )求证 :BC⊥AD ;2 )若点D到平面ABC的距离不小于 3,求二面角A BC D的平面角的取值范围 ;3)求四面体ABCD的体积的最大值和最小值 .解 1 )取BC的中点O ,连结AO ,DO ,∵△ABC ,△BCD都是边长为 4的正三角形 ,∴AO⊥BC ,DO⊥BC ,且AO∩DO =O .∴BC⊥平面AOD .又∵AD 平面AOD ,∴BC⊥AD .2 )由 1 )的证明过程可知 ,∠AOD为二面角A BC D的平面角 ,记为θ,则θ∈ ( 0 ,π) .过点D作DE⊥AO交… 相似文献
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设△ABC的边BC、CA、AB与外接圆半径、面积和半周长分别为a、b、c、R、△、s.P是△ABC内任意一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N.1966年荷兰的O.Botema建立了不等式ALBMCNS△LMN≥4s(1)等号当且仅... 相似文献
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定理 设三角形的Brocard角是θ,外接圆半径是R,则正负Brocard点间的距离是2R1-4sin2θ·sinθ.引理1 将△ABC绕外心O反时针旋转2θ得△A1B1C1,则△ABC的正Brocard点与△A1B1C1的负Brocard点重合.图1证明 如图1,设P是△ABC的正Brocard点,延长AP、BP、CP分别交外接圆O于B1、C1、A1,连结A1B1、B1C1、C1A1.则 ∠PA1C1=∠PB1A1=∠PC1B1=θ.可见P是△A1B1C1的负Brocard点.又易证△ABC≌… 相似文献
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如图 1,把矩形纸片ABCD的顶点C与A重合折叠 ,折痕EF交对角线AC于点O .请根据上述条件 ,写出一个正确的结论 ,并给予计算或证明 .这是一道结论开放型折纸题 .根据轴对称图形的性质和矩形的性质 ,通过对图形进行观察、思考和推理 ,可以得出数条结论 ,这里给出其中常用的几条 ,供读者参考 .( 1)Rt△ABF≌△Rt△CDE≌Rt△AGE ;( 2 )四边形AFCE是菱形 ;( 3 )折痕EF与对角线AC互相垂直平分 ;( 4)Rt△COF∽Rt△CBA ;( 5)S梯形ABFE=S梯形CDEF=S梯形AGEF.上述结论的计算或证明留给读者完… 相似文献
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四面体同垂心和高有关的两个性质632260四州江津江津中学冯华本文介绍四面体的两个有趣性质.定理1设H是四面体ABCD的垂心,R为四面体外接球的半径.则:定理的证明需要以下引理.引理1[1]具有垂心的四面体.外心,重心,垂心三点共线,且外心到重心的距... 相似文献
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命题在Rt△ABC中,∠ACB为直角,CD⊥AB于D,△ADC和△CDB的内心分别为O1、O2,O1O2与CD交于K,则1BC+1AC=1CK.此命题是沈文选先生在文[1]中给出的一个结果,宿先生在文[2]中给出了平几证法,但证法中用到了弦角公式.受... 相似文献
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四面体上的莱布尼兹公式 总被引:1,自引:0,他引:1
四面体上的莱布尼兹公式湖南益阳师专胡耀宗我们先介绍三角形中的莱布尼兹公式;设△ABC三边分别为a、b、c,重心为GP是△ABC所在平面上任意一点,则[1]三角形莱布尼兹公式可以引伸和迁移.公式的引伸若把公式中的P点移到空间任意位置,公式(1)仍然成立... 相似文献
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Safta猜想的证明山东省济宁市实验中学苗相军1981年,Safta猜测:设AA1,BB1,CC1是△ABC的三条任意Cevian线,若AA1∩B1C1=P,BB∩A1C1=[1]将此问题列为《100个未解决的问颗》大一本寸证明Safta清根成立.证... 相似文献
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由费马点引出的若干竞赛问题 总被引:1,自引:0,他引:1
费马点及其性质如果F为△ABC的费马点,a、b、c和S分别为△ABC的三条边长和面积,FA=x,FB=y,FC=z,f=x+y+z(下同),那么费马点F有下述性质:定理当△ABC的三内角均小于120°时,f=22a2+b2+c2+43S(1)当△AB... 相似文献
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设△ABC的边BC、CA、AB与外接圆半径、面积和半周长分别为a、b、c、R、△、s.P是△ABC内任意一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N.1966年荷兰的O.Bottema建立了不等式: AL·BM·CNS△LMN≥4s(1)等号当且仅当P是△ABC的内心时成立.类似上式,贵刊文[1]P26刊载了刘键先生建立的不等式:AL·BM·CNa·PL+b·PM+c·PN≥△R(2)等号当且仅当△ABC为锐角三角形且P为垂心时成立.文[2]给出了(2)式的简证,受其启发,笔者通… 相似文献
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证明台体积公式的新方法吴小平(重庆师范学院数学系630047)本文利用共面定理,非常简明地证明了台的体积公式.如果两个四面体有一个公共面,称它们是一对共面四面体.共面定理:若直线PQ与△ABC所在的平面π交于M,则VP-ABCVQ-ABC=PMQM.... 相似文献
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文[1]首先证明了莫莱三角形的一条性质:性质1 将△ABC各内角三等分,每两个角的相邻三等分线相交得△PQR,∠A、∠B、∠C的平分线分别与QR、RP、PQ交于点X、Y、Z,则PX、QY、RZ三线共点.最后猜想:性质1中三点A、X、P;B、Y、Q;C、Z、R分别共线;进而猜测△ABC与其内莫莱△PQR对应顶点的连线:AP、BQ、CR共点,且该点为△ABC的内心.经探究,笔者发现:上述两个猜想并不成立.现修正为如下两个命题.命题1 在性质1的条件下,A、X、P;B、Y、Q;C、Z、R分别共线的充要… 相似文献
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四面体的两个体积公式 总被引:1,自引:0,他引:1
四面体的两个体积公式韩绍文席学勤(河南项城市高中466200)本文给出四面体的两个体积公式.定理1如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a,b,它们的距离是d,所成的角为θ,那么它的体积是V=16abdsinθ证明如图,四面体ABCD中,AB=a,CD... 相似文献
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本文首先介绍三角形中的一个线段比定理.定理如图1,设O为△ABC内一点,AO、BO、CO的延长线分别交BC、CA、AB于P、Q、R,则AOOP=ARRB+AQQC,BOOQ=BPPC+BRRA,COOR=CPPB+CQQA.证明在△ABC中,AP、B... 相似文献