二次曲线切点弦的有趣性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质，笔者借助几何画板，通过更深入探究将其推广为二次曲线切点弦的有趣性质，以揭示圆锥曲线的几何特征，展现数学奇妙的统一美。     

对一道高中数学联赛题的探究——二次曲线切点弦的一个性质

笔者在研究2011年全国高中数学联赛四川省预赛第15题时,得到关于二次曲线切点弦的一个性质,现把探究过程整理如下.一、问题的分析问题:抛物线y=x2与过点P(-1,-1)的直线l交于P1,P2两点.(1)求直线l的斜率k的取值范围.(2)求在线段P1P2上满足条件1/PP1+1/PP2=2/PQ的点Q的轨迹方程.问题(1)是常见的直线与抛物线的位置关系问题,直线l的     

二次曲线的定点弦

文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1　椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-…     

二次曲线定点弦性质的拓广

文[1]给出了二次曲线定点弦的如下两个性质：     

二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理

蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理,它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性;不少中数专著或杂志至今还频繁讨论;本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系,并给出统一而简明的证明,指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式;引理：设两条不同的二次曲线Ｓ：Ｆ（ｘ,ｙ）＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０（１）Ｓ１：φ（ｘ,ｙ）＝ｂ１１ｘ２＋２ｂ１２ｘｙ＋ｂ２２ｙ２＋２ｂ１３ｘ＋２ｂ２３ｙ＋ｂ３３＝０（２）有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个公共点,其中无三点共线,则过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的任…     

巧用椭圆的切点弦方程解题

命题从椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）外一点p（x0,y0）作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB的方程为x0x/a2＋y0y/b2=1．     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质,引起了笔者的注意.文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线,那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢?经证明,答案是肯定的.定理1椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0),过直线mx ny=1上在椭圆外的     

切点弦长等于通径的一个性质

定理 过圆锥曲线的准线与对称轴的交点作曲线的两条切线，则切点弦长等于该圆锥曲线的通径．     

圆的切点弦方程及其应用

1.结论 当点M（x0,y0）在⊙O：x2＋y2=r2外时,过P（x0,y0）向⊙O：x2＋y2=r2所做两条切线的切点弦的方程为l：x0x＋y0y=r2.     

圆锥曲线中的切点弦及其方程

设点P是圆锥曲线C外一点,过点P作圆锥曲线C的两切线,切点为A,B,我们将圆锥曲线C的弦AB称为与点P对应的圆锥曲线C的切点弦．在近年来的高考和竞赛中,有关切点弦的试题频频出现,而对于求切点弦所在直线的方程,我们若处理不当,往往会引发繁琐的运算．为此本文将介绍求圆锥曲线的切点弦所在直线的方程的一种简便方法,并结合例题说明切点弦方程的应用,供读者参考．     

二次曲线——几何性质的本质

文 [1 ]分别表述了抛物线 ,椭圆 ,双曲线的一个几何性质 ,但其表述不够完整 ,未能揭示出本质 .事实上 ,其本质 ,应是二次曲线对称轴上的两个调和共轭点的几何性质 ,因此 ,应将文 [1 ]的结论推广 ,并统一地表述为定理　设Ａ、Ｂ是非退化二次曲线Γ的一条对称轴ｌ上的两个点 (不在Γ上 ) ,并设过Ａ点引直线与Γ相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则 (1 )当Ａ在Ｐ、Ｑ之间时 ,等式∠ＰＢＡ =∠ＱＢＡ恒成立的充分必要条件是Ａ与Ｂ关于Γ调和共轭 (即Ｂ关于Γ的极线过Ａ) ;(2 )当Ａ在Ｐ、Ｑ之外时 ,等式∠ＰＢＡ +∠ＱＢＡ=1 80°恒成立的充分必要条件是Ａ与Ｂ…     

相似双曲线的一组优美性质

文[1]介绍了相似椭圆的一组性质,很容易把这些性质类推至双曲线.不仅如此,相似双曲线还具有更多的优美性质.为行文方便,本文约定双曲线C1的方程为ax22-by22=λ2(0<λ<1),双曲线C2的方程为xa22-by22=1.显然C1与C2相似,且相似比为λ.定理1过双曲线C2上任一点P引C2的切线l交双曲线C1于A,B两点.则|PA|=|PB|.定理2若直线l与双曲线C1交于A,B两点,与双曲线C2交于C,D两点,则|AC|=|BD|.以上性质的证明与文[1]完全类似,故略.定理3过原点的直线l1与双曲线C1,C2的右支分别交于点A1,A2.过原点的直线l2与双曲线C1,C2的右支分别交于点B1,B2.则…     

再谈二次曲线弦的定义及中点弦的存在性问题

再谈二次曲线弦的定义及中点弦的存在性问题陈文立（西南师范大学数学系，重庆北碚６３０７１５）《数学通报》在近十年内，曾经多次载文讨论关于非退化二次曲线的中点弦以及弦的中点的轨迹问题，说明了人们对个伺题的重视，最近，在［１］，［２］两文中讨论了双曲线的中...     

圆锥曲线切点弦所在直线方程

为什么讨论圆锥曲线的切线问题?一方面,圆内已讨论切线问题,学生自然就会探索其他圆锥曲线的切线问题;另一方面,导数知识的加入,也使研究圆锥曲线的切线更成为可能.本文约定:圆锥曲线的内部:包括焦点(或圆心)的圆锥曲线所围成的平面区域;圆锥曲线的外部:不包括圆锥曲线及圆锥曲线的内部的平面区域.若自点P0(x0,y0)可作二次曲线的两切线,两切点所连线段叫做点P0于此曲线的切点弦.     

有心圆锥曲线切线的一类性质

文[1]讨论了二次曲线切点弦具有的一个统一性质：     

圆的切点弦及其求法

已知圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =Ｒ2 及圆外一点Ｐ(ａ ,ｂ) ,过点Ｐ作圆Ｏ的两条切线ＰＡ ,ＰＢ ,切点分别为Ａ ,Ｂ ,则我们称弦ＡＢ为圆Ｏ的切点弦 .那么直线ＡＢ的方程是什么 ?该怎样求解呢 ?图 1　解法 1图分析 1:利用圆的切线及圆内接四边形几何性质 ,可构造一圆 ,然后借助圆系求解 .解法 1　连结ＯＡ ,ＯＢ ,由圆切线的几何性质可知 ,ＯＡ⊥ＰＡ ,ＯＢ⊥ＰＢ ,所以Ｏ ,Ａ ,Ｐ ,Ｂ四点共圆 ,ＯＰ为该圆的直径 (由解几课本Ｐ6 8第三题结论 :已知一个圆的直径端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则该圆的方程是 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ- ｙ1)…     

圆的切点弦方程及其应用

1.结论当点M(x0,y0)在⊙O:x2+y2=r2外时,过P(x0,y0)向⊙O:x2+y2=r2所做两条切线的切点弦的方程为l:x0x+y0y=r2.2.简析如图1,过M(x0,y0)作⊙O的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则过点A(x1,y1)的