基本不等式√ab≤a＋b/2的应用

定理如果a,b是正数，那么a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”）.这个定理适用的范围：a,b∈R^＋；我们称a＋b/2为a,b的算术平均数，称√ab为a,b的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．此不等式常称为均值不等式．     

平均值问题的合理性探讨

在日常生活中 ,求平均值的问题随处可见 ,但对某些问题 ,怎样求平均才算合理 ,才算科学 ,是需要仔细斟酌和认真探讨的 .本文通过对几个具体问题的分析和探讨 ,来说明算术平均数、加权平均数和数学期望三者之间的联系与区别 .1　算术平均数定义 :设a1,a2 ,… ,an 是n个正数 ,则称B =a1+a2 +… +ann 为这n个数的算术平均数 .关于算术平均数 ,同学们早在上小学的时候就已经接触到了 .从定义来看 ,它并不难理解 ,但是 ,对于这个定义的合理性 ,大家却不一定清楚 ,我们先对此作一点探讨 .要使B作为平均数 ,虽然不能要求它与每一个数据都相当接近 …     

抽样调查(Ⅴ)——第四讲 比估计与回归估计

前两讲中,对目标量的估计都是简单估计.即对于总体平均数的估计,在简单随机抽样,用的是样本(算术)平均数;在分层抽样,用的是各层样本平均数的加权平均.这些估计量都是简单的,线性的.在这讲中,我们将介绍另一类较复杂的非线性估计,主要是比估计与回归估计.此时,每个单元除调查指标Yi外,还有另一个指标Xi可以利用.我们称Xi为辅助变量.我们利用Yi与Xi之间的比例关系或相关关系来提高对目标量估计的精度.在实际问题中,Xi常是Yi的前期资料(例如上一次普查资料),或对现期Yi的粗略估计,或表示单元规模的某个量.无论何种情形,辅助指标Yi总体平均…     

平均值不等式与特殊几何图形

利用正数的算术平均数和几何平均数的关系定理,可以求某些函数的最大值或最小值.辩证运用最值定理,能帮助我们认识一些特殊几何图形的特殊性质,领悟、欣赏到对称和谐、辩证统一的数学美学价值.     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2的应用

定理如果a,b是正数,那么(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取=),这个定理适用的范围:a,b∈R~+;我们称(a+b)/2为a,b的算术平均数,称(ab)~(1/2)为a,b的几何平均数,即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均     

第五部分 统计初步复习研究

【复习目标】 了解总体、个体、样本、样本容量等概念及样本方差和标准差的意义;理解众数、中位数、总体平均数、样本平均数、加权平均数的意义;能指出研究对象的总体、个体、样本及样本容量,掌握众数、中位数的求法及平均数、加权平均数的计算公式,会计算样     

浅谈四类平均数的几何模型

《数学通报》2003年第11期刊登了《四类平均数的几何模型》一文,该文给出了两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数在圆中的几何模型.下面再给出这四类平均数在四边形中的几何模型,供读者参考.当a>0,b>0时,a2 abb,ab,a 2b,a2 2b2分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数,它们的关系是2aba b≤ab≤a2 b≤a22 b2(a>0,b>0).当且仅当a=b时等号成立.下面给出它们在四边形中的几何模型.在四边形ABCD中,设AB∥DC,AB=a,DC=b.1.当a≠b时,不妨设a相似文献   

关于三元平均的一个双边不等式

本文得到如下关于三个正数的算术平均数和几何平均数的一个双边不等式:     

用等差数列的一个性质证明拓展均值不等式

<正>均值不等式刻画了算术平均数和几何平均数的不等关系,在证明不等式、求解函数的最值及生活中的优化问题等方面都有很大的应用.本文从等差数列的一个性质出发,证明拓展均值不等式.     

算术—几何平均值定理的一种证明——兼谈“逆向归纳法”

几个非负实数a_1,a_2,…,a_n的算术平均数与几何平均数之间有着这样的关系:     

从哥西不等式的证明所想到的

在部编高中数学课本第三册中第63页上,给出一个结论:“n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.这就是著名的哥西不等式     

浅谈四类平均数的几何模型

《数学通报》2003年第11期刊登了《四类平均数的几何模型》一文，该文给出了两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数在圆中的几何模型．下面再给出这四类平均数在四边形中的几何模型，供读者参考．     

一道代数命题的几何证法

命题　两个正数ａ、ｂ的几何平均数 ,等于这两个数的算术平均数与调和平均数的比例中项 .正数ａ和ｂ的三个平均数的意义 :几何平均数Ｇ =(ａｂ) 1 2 ,算术平均数Ａ =ａ ｂ2 ,调和平均数Ｈ =2ａｂａ ｂ.求证 :Ｇ2 =Ａ·Ｈ证明　画线段ＢＣ使ＢＣ =ＢＥ ＥＣ ,其中ＢＥ =ａ ,ＥＣ =ｂ .以ＢＣ为直径画半圆 ,设圆心为Ｏ ,过点Ｅ作ＢＣ的垂线交半圆于Ｄ ,连结ＯＤ ,过点Ｅ作ＥＦ ⊥ＯＤ ,垂足为Ｆ .如图所示 ;于是ＯＤ =ａ ｂ2 =Ａ　　∵ＤＥ2 =ＢＥ·ＥＣ即ＤＥ =(ＢＥ·ＥＣ) 12 =(ａｂ) 1 2 =Ｇ ;由Ｒｔ△ＯＥＤ∽Ｒｔ△ＥＦＤ得ＤＦ∶ＥＤ…     

一个不等式“串”的应用

在人教版高二教材中有这样一道习题:已知a,b都是正数,求证:2/1/a 1/b≤ab~(1/2)≤a b/2 ≤a2 b2/2~(1/2)．此不等式“串”说明了关于两个正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数和平方平均数的大小关系,证明并不困难,若能记住它对我们会有非常大的帮助．     

平方根、算术平方根安能辨兮

<正>平方根和算术平方根的概念是实数这一章的重点内容,两者既有区别也有联系.区别在于正数的平方根有2个,而他的算术平方根只有一个.联系在于正数的两个平方根互为相反数,其中正的平方根就是算术平方根.学生在解决相关问题时,往往不能够很好的辨别,或者需要较长的时间才能识别,或者做了错误的选择.究竟如何识别这两个概念,如何辨析     

《不等式》一章在新旧教材中的异同

《不等式》一章在新旧教材的对比中新教材有以下几个突出特点 :( 1 )注重基础 ,承上启下 ;( 2 )联系实际 ,重视应用 ;( 3)渗透数学思想方法 ,突出培养思维能力 ;( 4 )因材施教 ,增强了弹性具体表现在以下几个方面 :1　教学要求不同1 1　不等式性质教学要求不同旧教材要求使学生系统地掌握不等式的性质 ,并通过这些性质的证明培养学生逻辑推理论证能力 .新教材要求学生理解不等式的性质及证明 .1 2　平均值定理教学要求不同旧教材要求掌握两个或三个正数的算术平均数小于它们的几何平均数这一重要定理 ,并能运用它们去解决一些有关的问题 ,…     

一道易错的最值题

例题设0相似文献   

四类平均数的几何模型

新教材中关于两个数的算术平均数与几何平均数的几何解释 ,显示了数与形的完美结合 .在新教材数学第二册 (上 )习题 6 2中 ,有这样一个习题 :已知a、b都是正数 ,求证 :21a + 1b≤ab≤ a+b2 ≤ a2 +b22 ,当且仅当a=b时等号成立 .不等式中的四个式子分别称为两个数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数 .此题描述了这四个平均数之间的关系 ,本文再给出它们的几何模型 .数形结合不仅揭示了数学的内在联系 ,给人以美的享受 ,更能开发学生智力 ,培养学生能力 ,发散学生思维 .1　ab≤ a+b2 的几何模型 .　　如图 1 ,以a+b为直径 (记…     

不等式的性质与证明

1.本单元重、难点分析本单元的重点:1)理解不等式的性质及其证明.不等式的基本性质包括:比较实数大小的方法、五个定理和两个推论.比较两个实数a,b的大小通常转化为比较它们的差a-b与0的大小,而判断a-b的正负往往先要将其因式分解或配方.应注意五个定理和两个推论中有的是充要条件,有的是充分不必要条件.在充分不必要条件的应用中应注意最大值(或最小值)是否可以取到.2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.均值不等式的应用应遵循“一正二定三相等”的原则.“一正”是指用均值不等式时需保…     

高考复习课堂实录

课题:均值不等式的应用适用年级:高三年级学期:学期2006-2007学年度第一学期要点提示如果a,b∈R ,那么a b/2叫做这两个正数的算术平均数,ab~(1/2)叫做这两个正数的几何平均数．关于这两种平均数的大小关系,有a b/2≥ab~(1/2),即两个正数