向量的两个简单性质及应用

性质　设OA、OB、OC是空间中的三个向量 ,如图 1 ,则有 :( 1 ) (Ⅰ )OA+ BC =OC+ BA(Ⅱ )OA+ CB =OB+ CA(Ⅲ )OC +AB =OB +AC图 1(按一定顺序对棱所表示的向量之和相等 )( 2 )OA· BC + OB·CA +OC·AB =0(空间中的三个向量 ,每一个向量与其他两个向量的差的数量积的顺序之和等于零 )证明　 ( 1 )可由向量的运算性质直接得到 .( 2 )因为BC =BO+ OC所以OA·BC+ OB· CA+ OC·AB=OA·BO +OA·OC +OB·CA +OC·AB=OC· ( OA+ AB) + OB· ( CA+ AO)=OC·OB+ OB·CO= 0当OA、OB、OC是共线向量时 ,由 ( …     

考点16 向量的数量积

1.(福建卷,3)在△ABC中,∠C=90。,AB=(k,1),AC=(2,3),则k的值是().(A)5(B)-5(C)23(D)-232.(重庆卷,4)已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D为线段BC的中点,则向量AC与DA的夹角为().(A)2π-arccos45(B)arccos54(C)arccos(-54)(D)-arccos(-54)3.(江西卷,6)已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),c=5,若(a+b)·c=52,则a与c的夹角为().(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°4.(浙江卷,10)已知向量a≠e,e=1满足:对任意t∈R,恒有a-te≥a-e.则().(A)a⊥e(B)a⊥(a-e)(C)e⊥(a-e)(D)(a+e)⊥(a-e)5.(全国卷,15)△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH…     

考点15 向量的概念及运算

1.(北京卷,3)若a=1,b=2,c=a+b,且c⊥a则向量a与b的夹角为().(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°2.(山东卷,7)已知向量a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是().(A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D3.(全国卷,8)已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC=λCE,其中λ等于().(A)2(B)21(C)-3(D)-314.(辽宁卷,9)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切,则c的值为().(A)8或-2(B)6或-4(C)4或-6(D)2或-85.(全国卷,10)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即…     

考点17 解斜三角形

1.(江苏卷,5)△ABC中,A=π3,BC=3,则△ABC的周长为().(A)43sin(B+3π)+3(B)43sin(B+6π)+3(C)6sin(B+3π)+3(D)6sin(B+6π)+32.(辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是().(A)(1,2)(B)(2,+∞)(C)[3,+∞)(D)(3,+∞)3.(上海卷,9)在△ABC中,若∠A=120°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积S=.4.(湖南卷,13)已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点,且AB=3,则OA·OB=.5.(天津卷,17)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c.设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和cb=21+3,求…     

数学问题解答

20 0 3年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 44 1　O为锐角△ABC的外心 ,AP⊥BC于P ,O到BC的距离为d ,且CO=2d ,∠ACO =∠ABC ,求证 :∠COP <30°.(四川荞窝农场宣教科　王承宣　 61 5 30 2 )证明　如图 ,设K、Q为点A、P关于BC垂直平分线的对称点 ,则OA =OB =OC =OK ,OP=OQ .因为四边形KQPA为矩形 ,所以PQ=KA .因为OC =2d ,所以∠OCQ=30° .又因为∠AOK=∠AOB -∠KOB =∠AOB -∠AOC =2 (∠ACO + 30°) - 2∠ABC =60° ,所以KA =QP=OK=OC ,因为OP+OC=OQ +OC>QC=PQ +PC ,所以OP>PC ,所以∠PO…     

2005年全国各地高考与模拟试题评析——解析几何

1考点与命题1.1客观题考点分析1.1.1直线方程的考查,一般以直线与曲线(特别是圆)的位置关系为载体,考查求直线的倾斜角、斜率、截距或其取值范围,求直线的方程等.例1(辽宁卷Ⅰ(9))若直线2x-y c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2 y2=5相切,则c的值为()(A)8或-2.(B)6或-4.(C)4或-6.(D     

三棱柱体积的一种变换定理及运用

三棱锥O ABC中,A0 ,B0 ,C0 分别为OA ,OB ,OC上的任一点(可与顶点重合) ,则三棱锥O A0 B0 C0 与三棱锥O ABC的体积比为:Vo A0 B0 C0VO ABC=OA0 ·OB0 ·OC0OA·OB·OC .这个定理在很多报刊杂志上都已介绍过,并得到广泛应用,三棱柱体积变换是否也有类似结论呢?笔者通过推证,也得到了三棱柱体积变换的类似定理.下面列出定理,给予证明,并举例说明其应用.图1　三棱柱定理　在三棱柱ABC A1B1C1中,E ,F ,G分别为AA1,BB1,CC1上任一点(可与顶点重合) ,则多面体ABC EFG与棱柱ABC A1B1C1的体积比为:　VABC EFGVABC A…     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

上期课外练习解答

高一年级1.( 1)易知△ABC为直角三角形 .由OC2 =OA×OB ,得 4×OB2 =42 ,∴　OB =2 ,　OA =8.过A( -8,0 ) ,B( 2 ,0 )的抛物线解析式设为 :y =a(x +8) (x -2 ) .将C( 0 ,4)代入得　a =-14 .∴　y =-14 (x +8) (x -2 ) .( 2 )易求得D( -3 ,2 54) ,S△ADC=12 [2 54-48× ( 8-2 ) ]× 8=13 .2 . -3 016x2 -2 ( 5 -k)x +16>0 Δ1 =( 5 +k) 2 -14 2 <0Δ2 =( 5 -k) 2 -162 <0 -19相似文献   

由三角形角分线想起

在学完向量的知识之后 ,发现向量可以讨论一些平面几何的问题 ,那么能否证明三角形的角分线定理 ?命题 1　用向量证明三角形角分线定理 .证明　如图 1 ,已知△ABC ,AD为∠BAC的角平分线交BC于D ,试用向量证图 1　命题 1图明 :ABBD=ACCD.证明　设AB =a ,AC =b ,BD =c,DC =d ,由∠BAD =∠CAD ,cos∠BAD= a·AD|a|·|AD| ,cos∠CAD =b·AD|b|·|AD| ,得a·ADa =b·ADb ( 1 )由BD与BC在同一直线上 ,设BD =λBC ,即 |c| =λ|BC| ,λ =c|c| + |d| ,得　　AD =a +c =a +λBC =a +λ(b -a) ( 2 )将 ( 2 )代入 ( 1 ) ,得　…     

1道联赛题的推广

2004年全国高中数学联赛第4题为:设O点 在△ABC内部且有OA+2·OB+3·OC=0,则 △ABC的面积与△AOC的面积之比为( ). (A)2 (B)3/2 (C)3 (D)5/3 标准答案技巧性强,本文推广并给出简单 通用的解法. 推广 设O点在△ABC内部且有m·OA +n·OB+r·OC=0,求S△ABC:S△AOC:S△COB: S△AOB.     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

a+b/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一个几何证明

(a+b)/2≥ab~(1/2)2/(1/a+1/b)(a>0,b>0)是平均数不等式——“算术平均最大,几何平均次之,调合平均最小”的最简单的情形。它有许多证法,在此介绍一个几何证法作圆,其圆心为A,从圆外一点O引切交OG,切点为G,OA的连线交圆于B、C两点,引GH⊥OB,垂足为H(如图) 令 OC=a,OB=b,则 OA=OC+BC/2=OC+(OB-OC)/2 =(OC+OB)/2=(A+B)/2; ∵ OG~2=OC·OB(切割线定理) ∴ OG=(OC·OB)~(1/2)=ab(1/2); 又 OG~2=OH·OA(射影定理) ∴OH=OG~2/OA=ab/((a+b)/2)=2/(1/a+1/b) 显然,在Rt△OGA中,OA>OG,即(a+b)/2>ab~(1/2);在Rt△OHG中,OG>OH,即ab~(1/2)     

一道向量证明题的多角度思考

题目　已知△ABC中 ,BC =a ,CA =b ,AB =c ,若a·b =b·c =c·a ,则△ABC为正三角形 .笔者将该题的证明作为高一期末试题 ,在阅卷中发现同学们给出了许多证法 .今列出其中较为典型的六种证法 ,供同学们学习时参考 .思考 1:由于平面向量具有代数形式和几何形式双重身份 ,因而解题中若能充分利用向量的几何形式 ,将会使问题轻松解决 .图 1　解法 1图证明 1　如图 1,取BC边上的中线AD ,由平行四边形性质得c -d =2AD ,又由条件得 (c -b)·a =0 ,∴ 2AD·a =0 ,∴AD⊥BC ,∴AB =AC .同理AB =BC ,故△ABC是正三角形 .思考 2 :向量的…     

一道习题的两个结论及其推广

<正>请看这样一道习题.题目如图1,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O,过O作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E.结论 (1)∠BOC=90°+1/2∠A.(2)DE=BD+CE.证明(1)∵OB平分∠ABC,∴∠2=1/2∠ABC.又∵OC平分∠ACB,∴∠4=1/2∠ACB,     

一道高考题解法赏析

<正>很多年过去了,向量的题目越来越多,但是我仍然非常喜欢2005年高考全国卷的一道选择题:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=___.该题文字简练,格调清新,呈现出一个鲜明的几何背景,明显是考察     

新题征展(49)

A　题组新编1 .在△ ABC中 ,∠ C =2∠ B.( 1 )则 sin3Bsin B等于 (　　 ) .( A) ab　 ( B) ba　 ( C) ac　 ( D) ca( 2 )则边 c等于 (　　 ) .( A) 2 bsin C　　　 ( B) 2 bcos B( C) 2 bsin B　　　 ( D) 2 bcos C( 3)求证 :c2 - b2 =ab.( 4 )已知△ ABC三边组成一个公差为 1的等差数列 (且最大角是最小角的 2倍 )求三条边长 .2 .已知 | a| =2 ,| b| =3,( 1 )如果向量 a与 b的夹角为 1 2 0°,则| a b| =;| a - b| =.( 2 )如果 | a - b| =7,则 a与 b的夹角θ = .( 3)如果 ( a 2 b) . ( a - 3b) =- 53,试求出向量 a与 b的夹角…     

三角形“五心”向量形式又一充要条件及其统一证法

文 [1 ]给出了三角形“五心”向量形式的充要条件 ,本文受此启发 ,予以推广 .给出了更加优美对称的表达形式 ,并给出了其统一的证法 .1　三角形“五心”的优美表达式△ABC中 ,AB =c ,BC =a ,CA =b,H是其平面内的某一点 ,O是其平面内的任一点 ,则结论 1　H是重心 OH =OA +OB +OC3.结论 2　H是内心 OH =a·OA +b·OB +c·OCa +b +c .结论 3　H是垂心 OH =tanA·OA +tanB·OB +tanC·OCtanA +tanB +tanC (直角三角形除外 ) .结论 4　H是外心 OH =sin2A·OA +sin2B·OB +sin2C·OCsin2A +sin2B +sin2C .结论 5　若…     

新题征展(50)

A　题组新编1 .(1 )在△ ABC中 ,设 BC=a,CA =b,AB =c,则△ ABC为正三角形的充要条件是a . b =b . c =c . a.(2 )设 O、A、B、C是平面内互异的四点 ,OA =a,OB =b,OC =c,且 a b c=0 ,a . b =b . c =c . a,试判断△ ABC的形状 .(3)在四边形 ABCD中 ,设 AB =a,BC= b,CD =c,DA =d,且 a . b =b . c =c .d =d . a,试判断四边形 ABCD的形状 .(本题由金曦东供题并作答 )B　藏题新掘2 .双曲线 x24 - y25=1的左、右焦点分别为 F1、F2 ,P是双曲线右支上一点 ,I为△ PF1F2 的内心 ,PI交 x轴于 Q点 ,若 |F1Q|= |PF2 |,则 I分 P…     

初三几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 6分 )1 .与已知点P的距离为 2 .5cm的所有点组成的平面图形是 .2 .在Rt△ABC中 ,∠C =90°,a =5 ,b =1 2 ,那么sinA = ,cosA =.3 .角平分线是的点的集合 .4.已知cosA =32 ,且∠B =90° -∠A ,则sinB =.5 .若圆的一条弦长为 1 2cm ,其弦心距等于 8cm ,则该圆的半径等于 .6.∠AOB的两边分⊙O为 1∶5两部分 ,则劣弦AB所对的圆周角等于度 .7.化简 :tan5 3°·tan48°·tan45°·tan3 7°·tan42°=.8.计算 :(sin45° -1 ) 2 +|1-tan60°|=.9.如图 1 ,⊙O的两条弦AB ,CD交于点P ,已知AP =2cm ,BP=6c…