运用a^2＋ab＋b^2的变式证明一类不等式

众所周知，在不等式的证明过程中，常常要将待证的式子进行适当的变形，以利于问题的解决．本文将式子a^2＋ab＋b^2进行适当的变形后，对一类不等式的证明起到了较好的效果．     

用柯西不等式的变式证明不等式

本文的例1至例4分别是文[1]的例1至例4,文[1]对这类轮换对称不等式的证明的方法是先猜想不等式等号成立的条件是a=b=c,然后利用基本不等式进行构造证明,方法巧妙,但操作较为麻烦,笔者发现这类不等式用柯西不等式的变式很容易证明.下面对这4道例题用柯西不等式的变式给     

一个不等式的初等证法及变式

在文[1]中提出一个非常有趣的不等式： 已知x，y，z∈R^＋且x＋y＋z=1，     

例谈柯西不等式一个最简单变式的应用

柯西不等式在新课标中闪亮登场,为解决不等式的问题提供了一种新的方法和手段．恰当运用柯西不等式,对一些较高难度的不等式证明,尤其是奥赛试题立竿见影．笔者本文试图通过实例说明柯西不等式一个最简单的变式应用．     

谈一个优美不等式的“姊妹”式

文[1]给出了如下一个优美不等式若0<α<β<2π,则sinβ/sinα<β/α相似文献   

一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式： 设n，b，c〉0，n＋b＋c=1，则a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2.     

一个不等式的证明

文[1]中提出了下述的不等式，即（符号说明见正文）AP＋PQ＋QB≤max{AP PQ′ Q′B,AP′ P′Q QB}。文中说：不难验证此不等式成立，但我们发现，要对此不等式给出一个详细的证明是相当困难的。由于此不等式对该文是相当重要的，本文即对之给出一个详细的证明。     

一个不等式的再改进及证明

文[1]给出了如下定理及其证明： 定理 设a1,a2,…,an∈R^＋,且a1＋a2＋…＋an=s,k∈N,k≥2，则有     

从一道高考题的变式透视条件不等式的证法

通过对一道2019年高考题的研究,依托不同形式的变式提炼指出"代换公式累加法","减元作差讨论法","套用公式代值法"以及"换元讨论公式累乘法",揭示了高考试题在综合考查基础知识的同时,需要综合运用多种方法.     

一个不等式猜想的证明

本刊 2 0 0 1年第 1期一篇文章的猜想引来了很多读者的来稿 ,旨在证明这个猜想 ,其中有湖南读者　 张永红 ,周烈 ,胡如松 ,陈世明 湖北读者　 高　峰山东读者　 孔令恩 ,许静 ,赵勤如 ,徐彦明 河北读者　 胡洪池贵州读者　 邓　波 广州读者　 金楚华     

一个不等式的证明

文[1]给出了问题：设a0,a1,a2,…满足a0=1/2,ak+1=ak+1/nak^2(k=0,1,2,……）,其中n是某个固定的正整数，求证：1-1/n&;lt;an&;lt;1。     

一个不等式及其推广和变式研究

首先介绍一个不等式,它能把一类不易求和的分式放缩为容易求和的分式,用它简捷地证明了《数学通报》问题2587及其推广,并探究给出这个不等式的一个变式及其推广.     

一个无理不等式的证明

文[1]给出了猜想：设α，b〉0，n≥2且，n∈N，0〈λ≤n则 n√α/α＋λb＋n√b/λb＋α≤2/√1＋λ本文给予证明。     

一个不等式的证明及推广

笔者研究一个无理分式不等式并对原不等式进行推广,得到三个结论并依次给出证明,接着在推广3的基础上作进一步推广,利用Jensen不等式对其进行证明.     

一个不等式的证明及推广

1 问题的提出 数学第二册（上）有这样一道习题；已知a〉b〉c求证：1/a-b＋1/b-c＋1/c-a〉0．     

活跃在不等式证明中的一个常用不等式

本文由一个恒等式得到一个常用的不等式,并举例说明其在证明不等式中的应用.设a,b,c为正实数,则有(a+b)(b+c)(c+a)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca).①证明因为(a+b+c)(ab+b十ca)≥9abc,所以(a+b)(b+c)(c+a).=(a+b+c)(ab+be+ca)-abc.≥(a+b+c)(ab+bc+ca)-1/9(a+b+c)(ab +bc+ca)=8/9(a+6+c)(ab+b+ca).     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…