利用判别式证明不等式的几种方法

关于不等式的证明方法较多,这在很多书刊中都作过较详细的讨论。本文就用判别式来证明不等式探求几种思考方法,供大家在教学时参考。第一种方法:一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有实根的充要条件是判别式△≥0。用这个结论来证明不等式,其关键是根据已知条件来构造一个实系数二次方程,再利用二次方程有实根的条件判别式△≥0推出所要证的不等式。例1 已知x、y、z是实数,且满足等式     

慎用二次方程根的判别式

在求直线和圆锥曲线的交点时,二次方程根的判别式有着十分重要的作用.根据判别式△的符号,我们可以判定直线和圆锥曲线交点的个数,进而可以判定直线和二次曲线的位置     

剖析直线与双曲线位置关系的解题误区

直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们组成的方程是否有实数解和实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．在用代数法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,通常将直线方程和曲线方程联立,根据判别式△研究二次方程解的个数,但是在研究直线与双曲线的位置关系时存在以下常见误区．     

慎用二次方程根的判别式

在求直线和圆锥曲线的交点时，二次方程根的判别式有着十分重要的作用．根据判别式△的符号，我们可以判定直线和圆锥曲线交点的个数，进而可以判定直线和二次曲线的位置关系．有些同学便将这种方法迁移到求圆锥曲线和圆锥曲线的交点，并试图运用它来判定曲线之间的一些特殊关系．下面是一位同学给出的一道习题的解答．     

关于圆锥曲线的简易判别

现行高中课本《解析几何(平面)》§3.6一般二元二次方程的讨论指出:B~2-4AC叫做一般二元二次方程的判别式。根据判别式,不需要化简方程就能够判别一般二元二次方程的类型:     

构造二次函数巧证一道国际竞赛题

进入初三年级,我们学习了二次方程ax^2＋bx＋c=0根的判别式△=b^2-4ac,学习了二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c与x轴有无交点的判别方法,将二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c化简变形得到f（x）=a[（x＋b/2a）^2-△/4a^2],当a〉0,△=b^2-4ac≤0时,有f（x）≥0．     

判别式有用须会用

<正>在解一元二次方程的有关问题时,常用到判别式.在具体应用时,必须正确使用,否则,将出现不易觉察的错误.一、应用判别式的前提是二次项系数不为零例1 k为何值时,关于x的二次方程k²x2x²+2(k-1)x+1=0有两个实根?错解∵上述二次方程有两个实数根,     

题海拾贝，“判别式”妙用

在高中数学解题中,往往会遇到有关一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（n、b、c∈R,a≠0）的问题,而利用判别式△=b^2—4ac解题,却能使问题化繁为简、化难为易,收到事半功倍的效果．所以,如果已知条件中含有二次方程或二次函数,则可考虑直接应用判别式,点击思维,灵活运用．     

例析判别式"⊿"的妙用

判别式是二次函数、二次方程和二次不等式中经常涉及到的一个基本量,其基本结构⊿=b2-4ac,在解函数、方程、不等式等问题时,有时可从形似到神似,联想构造二次函数,妙用判别式,现举例说明.……     

二次方程根的判别定理的可逆性

初中代数介绍了一元二次方程实根个数的判定定理: 一元二次方程ax~2+bx+c=0,称△=b~2-4ac为根的判别式,当△>0时,方程有两个不等的实根; △=0时,方程有两个相等的实根; △<0时,方程没有实数根。这个定理是个分断式命题,三个分支中的条件和结论是极为显见的,即由判别式的符号来判定实根的个数,然而教材中的习题却用到由实根的个数来确定判别式的符号。     

一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用一 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根的判别式为△ =ｂ2 - 4ａｃ,它与这个方程的根有着十分密切的关系 :( 1)△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 .( 3)△ <0 方程…     

浅谈一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用 1 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的根的判别式为△ =b2 -4ac,它与这个方程的根有着十分紧密的关系 .具体如下 :( 1 )△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3 )△ <0 方程没…     

三次方程的判别式

三次方程的判别式４３００６２湖北大学数学系曹钟壁大家都熟知实采数二次方程判别式是否。利用它可以判别二次方程有两相等实根，有两不等实根及有两共轭虚根三种情况．本文将介绍三次方程的判别式，以供学生课外阅读．设一个实系数三亥方程三个根为ｘ１、ｘ２、ｘ３，我...     

方程讨论中的条件运用

代数二次方程讨论的基本理论是判别式定理与韦达定理,定理所叙述的条件对于方程的根来说都是充分而又必要的。但由于方程讨论时缺乏几何证明中的那种严谨性,所以有时常常忽略了条件的正确运用,有时又混淆了条件的必要性与充分性,而导致谬误。下面举例说明解法中常见到的一些错误。 例1.k为何值时,x的二次方程     

区间内二次方程根的判别式及其应用

二次方程根的判别式已有广泛的应用。本文讨论二次方程在指定区间内有根的条件。这样的判别式有一些巧妙的应用,如判断二次曲线的相互关系、证明一些不等式、求一些函数的值域等。 二次方程f(x)=ax~2+bx十c=0(a≠0)在区间[α,β]内有根的充要条件,可先按根的各类情祝,讨论如下:     

复系数一元二次方程的根的判别

实系数一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的根的情况可以通过判别式△=b~2-4ac的符号来确定: 当△>0时,方程有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程有两个相等的实数根; 当△<0时,方程有两个共轭虚根。 进一步,如果方程的系数可以是虚数,那么根的判别式还能不能用?如不能用,应该怎样判别?     

用判别式法求值域的注意事项

在求函数y=(x~2 3x 2)/(-2x~2 x 3)的值域时,同学们大都将函数转化为关于x的二次方程,用判别式法求函数的值域．解答如下:     

判定直线与椭圆的公共点的误区

我们知道当直线与椭圆相交时，公共点的个数判定，可回归到联立它们的方程整理所得的一元（含x或Y）二次方程的根的个数问题，即用判别式的代数法进行研究。     

再从“一类三角式的数值求法”谈起

本刊刊登的文〔1〕、〔2〕、〔3〕阅来颇有收益,深受启发,联想到我们在求y=P(x)/Q(x)(P(x)、Q(x)的次数不超过2)的值域时,经常采用的判别式法,笔者依法炮制出一个与之类似的三角判别式法,现简介如下。定理:设方程asinx+bcosx+c=0(a、b不同时为零,x_0≤x0时,方程(*)有相异二实根 (2)当△=0时,方程(*)有相等二实根 (3)当△<0时,方程(*)没有实数根。     

试论坐标变换在解析几何中的地位和作用——对中学《平面解析几何》课本的一点意见

现行中学课本《平面解析几何》在直线和圆锥曲线之后。安排了一章,坐标变换。先介绍平移变换,并利用移轴化简缺,xy项的二元二次方程。作为选学内容,介绍旋转变换。利用移轴和转轴化简一般二元二次方程,并总结出利用判别式B~2—4AC判别方程类型的一种方法。课本在该章小结中指出,“坐标变换是解析几何的一种重要工具”,从课本内容安排上可以看出,讲坐标变换完全是为了化简二元二次方程,或