高中数学综合训练题(5)

1选择题（1）下列命题中，正确的是（）（A）任何集合M必有两个子集（B）任何一个集合M必有一个真子集（C）若集合AB，则A、B至少有一个空集（D）若集合AB=I，则A、B都是全集I（2）若a是第三象限角且cos＜0则（）（5）若a、b是两条界面直线，则（1）有且仅有一条直线与a、b都垂直；（2）过直线a有且仅有一个平面与b平行；（3）过直线a有一个平面与b垂直，以上三个命题中，正确的有（）（A）0个（B）l个（C）2个（D）3个（6）（理）已知锐角a满足cosa一手，cos（a十月）—一六，则p所在的象限是（）（A）I或回或1（B）I（C）互或回…     

例谈“正难则反”策略的应用

<正>数学中的很多问题,若从正面入手,则较为繁琐或困难较大,往往从其反面进行思考,即所谓"正难则反".下面谈谈"正难则反"的一些策略.例1设集合A、B是非空集合M的两个不同的子集,满足:A不是B的子集,B不是A的子集.(1)若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,an},求所有不     

一道“华约”自主招生模拟试题的探究

清华大学等高校(简称华约)自主招生联合考试有一道模拟试题:设n∈N+,n≥15,集合A,B都是I={1,2,…,n}的真子集,A∩B=Φ,A∪B=I.证明:集合A或B中,必有两个不同的数,它们的和为完全平     

对一道2014年江苏预赛试题的推广

题（2014年江苏预赛第9题）设集合S={1,2,…,8｜,A,B是S的两个非空子集,且A中的最大数小于B中的最小数,则这样的集合对（A,B）的个数是．解当A中最大数为1时,A有2^0个,B可以是集合（2,3,…,8}任意非空子集,有2^7-1个;当A中最大数为2时,集合{1}的子集有2^1个,所以A有2^1个,B可以是集合{3,4,…,8}的任意非空子集,有2^6-1个。     

用计数原理研究集合的个数

关于集合个数的问题，有以下几个常用的结论． 结论1 集合A={a1，a2，…，an）的子集有2^n个，非空子集有2^n-1个，真子集有2^n一1个，非空真子集有2^n-2个．     

谈集合间的关系

本刊争鸣栏问题 5 8是 :集合间的关系有几种 ?要回答这个问题 ,我们从数学中的“关系”谈起 .在抽象代数中 ,规定集合A的元素间的一种关系R是A×A ={ (x ,y) |x∈A ,y∈A}的一个子集R .即A×A的任一个子集均确定集合A的元素间的一种关系 .判断R是否成为集合A的元素间的一种关系常按如下方法进行 :若对于任意的a ,b∈A ,要么a与b满足关系R ,要么a与b不满足关系R ,二者必居其一 ,这时我们就说R是集合A的元素间的一种关系 .否则R就不是A的元素间的一种关系 .依据上面关于“关系”的判定方法 ,我们说集合间关系在高中教材中只介绍了两种…     

关于组合的两类问题

设有自然数集合A={1、2、…,n},从中任意取出k个来(k相似文献   

n元集合的子集有多少个？

<正>大数据时代,计数问题在学习和生活中处处可见.本文讨论一个计数问题,源自于高中数学《选修》2-3第一章,探究与发现.问题n元集合的A={a_1,a_2,…,a}子集有多少个?1利用乘法原理探究一要得到集合A的一个子集T,可以分个步骤:第1步,考察a_1是否属于T,由集合元素     

有限集合的子集族问题分类解析

将有限集合中符合某一特性的所有子集合,称之为有限集合的子集族.在各类集合问题中,与子集族相关的问题是其中极为重要的一类.这类问题题型新颖,解答灵活,给同学们的学习造成了一定的困难.本文拟对这类问题分类进行解析.1.求有限定条件的子集个数例1(03希望杯高一竞赛题)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1A,且x 1A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4元子集族中子集的个数是.解4个元素为连续自然数的子集有{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6},共3个,不都连续的子集有{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,5,6},共…     

判断两集合相等的常用方法

两集合相等是用子集的概念来定义的,即“若A B,且B A,则A=B”.因此要证明两集合相等,就是要证明两集合互为子集.关于两集合相等的证明,我国高中数学教学大纲没有提出明确的要求,于是就有人认为两集合相等的概念可以淡化.笔者认为,这种理解是片面的.其实,集合的化简过程就是不断     

能证明空集是任何集合的子集吗?

六年制中学高中数学课本的集合部分中规定:“空集是任何集合的子集。”但有人对这一结论给出了证明,其证法如下: “若x∈A,则x∈B (1)就称集合A是集合B的子集”。“命题(1)和它的逆否命题若xB,则xA (2)     

一道2019年斯坦福大学数学竞赛题的多解及推广

<正>题目已知集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},A,B均为集合S的子集.试问共有多少个不同的集合对(A,B),使得A是B的真子集?本题难度不大,但讨以从多个角度进行思考,进而推广到更一般的情况.解法1设集合A有k个元素(k=0,1,2,3,4,5,6,7),则集合B的个数为2~(8-k)-1.因此,满足题目条件的集合对(A,B)的个数为:     

集合关系中蕴涵的辨证关系及其对我们的启迪

集合是近代数学的一个重要概念 ,集合元素的任意性使得集合有着深刻的内涵 ,从而使集合的思想能渗透到数学的方方面面 .高中数学主要介绍了集合的五种关系“子集、相等、交集、并集、补集” .这些关系对于解决数学问题时有一定的启迪 .在此基础上进一步深化 ,还能发现其包含着丰富的数学思想和深刻的哲学原理 .1　子集关系中的特殊和一般集合中若A B 任意x∈A都有x∈B .所以探求具有A的性质的问题 ,可以利用子集的关系在B中加以讨论 .从哲学的观点来看 ,一般中包含着特殊 ,解决了一般的问题 ,特殊问题就迎刃而解 .这是数学解题的一种重…     

明确概念准确分类——例析一类与映射有关的计数问题

映射概念解析：映射是一类特殊的对应，即单值对应．具体来说。设A，B是两个集合，如果满足：①集合A中的每个元素a在集合B中都有元素b与之对应；②集合B中与a对应的元素b是唯一的，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B．     

双反对称矩阵反问题的最小二乘解

1 引 言Rn×m表示所有n×m阶实矩阵集合,Rrn×m表示Rn×m中秩为r的子集;ORn×m表示所有n阶正交阵的集合;A+表示A的Moore-Penrose广义逆;Iκ表示κ阶单位阵;||·||表示Frobenius范数;ASRn×m表示n阶实反对称阵的全体;A＊B表示A与B的Hadamard乘     

探究式教学的一个案例

已知集合A={a1，a2，a3，a4}，B={b1，b2，b3}，可建立从集合A到集合B的不同映射的个数是_．     

争鸣

问题103已知条件p:x2 ax 1≤0,条件q:x2-3x 2≤0.若条件p是条件q的充分但不必要条件,求实数a的取值范围.令A={x|x2 ax 1≤0},B={x|x2-3x 2≤0}.根据条件p是条件q的充分但不必要条件可知,集合A是集合B的一个真子集.观点1认为A B且A可以等于空集.据此解得实数a的取值范围是-2≤a<     

有限集合的子集族问题分类解析

将有限集合中符合某一特性的所有子集合，称之为有限集合的子集族．在各类集合问题中，与子集族相关的问题是其中极为重要的一类．这类问题题型新颖，解答灵活，给同学们的学习造成了一定的困难．本文拟对这类问题分类进行解析．     

Banach空间中关于有界集的同时远达问题的适定性

本文研究Banach空间中关于有界集的同时远达问题的适定性,在集合的Hausdorff距离下,证明了：对自反局部一致凸Banach空间中的闭有界集K,使所有关于K的同时远达问题是适定的紧凸子集A全体在紧凸子集全体中是Gδ型集．     

集合背景下的计数问题

涉及集合的最常见的计数问题是，n元集合的子集个数为2^n，其中子集个数按照子集中的元素个数从少到多依次为Cn^0，Cn^1，Cn^2，…，Cn^n．