一道希望杯培训题的错因探究

题目呈现 已知实数x，y适合2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（z＋y）＋3√3zy，则z的取值范围是（ ）     

Cauchy-Rassias Stability of Cauchy-Jensen Additive Mappings in Banach Spaces

Let X, Y be vector spaces. It is shown that if a mapping f ： X → Y satisfies f（（x＋y）/2＋z）＋f（（x-y）/2＋z=f（x）＋2f（z）,（0.1） f（（x＋y）/2＋z）-f（（x-y）/2＋z）f（y）,（0.2） or 2f（（x＋y）/2＋x）=f（x）＋f（y）＋2f（z）（0.3）for all x, y, z ∈ X, then the mapping f ： X →Y is Cauchy additive. Furthermore, we prove the Cauchy-Rassias stability of the functional equations （0.1）, （0.2） and （0.3） in Banach spaces. The results are applied to investigate isomorphisms between unital Banach algebras.     

一道数学竞赛最值问题及变式

题目 实数x,y,z满足x2＋y2＋z2=1,则√2xy＋yz的最大值为___．     

一个不等式问题的简证及其推广

问题设实数x，y，z，m满足不等式（x＋y＋z）^2≥2（x^2＋y^2＋z^2）＋4m，求证：     

主元法解一道北大自主招生试题

题目设x,y,z∈R＋且x2（1/2）＋y2＋z=1,求xy＋2xz的最大值.这是2010年北京大学自主招生试题,是一道含有三变元的条件最值问题,本题难度较大,很难找到解题入口,本文用主元法给出两种解法与大家分享.解法1依题意,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈（0,π2）,r∈（0,1）,则x2（1/2）＋y2＋z=1为r＋z=1,所以z=1-r.设w=xy＋2xz,则w=r2sinθcosθ＋2r（1-r）cosθ,     

一类平面方程的几何意义

根据点P（x0,y0,z0）与椭球面x^2/a^2＋y^2/b^2＋z^2/c^2=1的三种位置关系,给出平面方程x0x/a^2＋y0y/b^2＋y0y/b^2＋z0z/c^2=1的三种几何意义．     

六招破解一道世锦赛数学试题

题目（2011年世界数学锦标赛青年组个人赛第二轮第1题）已知实数x,y,z满足x2＋2y2＋5z2＋2xy＋4yz-2x＋2y＋2z＋11=0,求x＋2y＋3z的取值范围.本题考查的是多元函数在约束条件下的最值或值域问题,这类问题是近年来高考和各类数学竞赛的热点、重点,也是难点.它所体现的数学思想是消元与代换,常用的解题方法有均值不等式法、向量法、换元法、构造法等.     

某些循环不等式的直接证法

合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式，其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的（参考文献[2]）．本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法．例1设x、y、z＞0，求证：9（X y）（y＋z）（z＋x）≥8（x＋y＋z）（xy十yz＋zx）①证明左=18xyz十9x2y干9xy2＋9y2z 9yxz2十9x2x＋9xx2，右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz＋8yz2＋8xz2 8xyz，原不等式等价于x’y＋xv‘＋y’z十批十z‘x－zx’＞6ng．这用六元均值不等式易证．故原不等式成立．例2设Z、＊、Z＞0，求证：则原不等式等价于（…     

一道高考题的另一种解法

2013年是湖北省实行新课标考试的第二年,命题方式基本稳定,如填空题中的第13题与2012年湖北卷第6题,本质相同,且是由课本选修4-5第三讲第二部分例3原题改编.试题设x、y、z∈R,且满足：x2＋y2＋z2=1、x＋2y＋3z=14（1/2）,则x＋y＋z=.本题意在考察柯西不等式的性质,以考察考生的运算求解能力和逻辑推理能力.     

一个数学问题的源与流

文[1]提出并解答了问题： 设0〈x,y,z〈π/4,且sin^2x＋sin^2y＋sin^2z＋2sin.xsin.ysinz=1，求证：x＋y＋z=π/2. 经探索，我们发现：该问题的一个内在根源为如下应用广泛的恒等式：     

一道竞赛培训题的正解

第十九届“希望杯”高一培训题第29题为： 已知实数x，y适合：2x^2＋4xy＋2y^2＋3x^2y^2=9，又设z=√2（x＋y）＋3√3xy，则z的取值范围是（ ）     

用构造函数法证明不等式

一、构造二次函数，利用判别式证不等式例1已知A＋B＋C=π，x、y、z∈R，求证：x^2＋y^2＋z^2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC。分析此题直接证明有一定难度，不易看出x、y、z之间与A、B、C的关系，若视x为主元（y或z都行），构造二次函数，利用判别式去证，则显得简易可行。     

“顺便”出了个错儿

问题若x〉0,y〉0,z〉0,xyz=1,记A=1/1＋x＋1/1＋y＋1/1＋z,求证：1〈A〈2．     

分担多项式的亚纯函数的进一步结果(英文)

In this paper,we use the theory of value distribution and study the uniqueness of meromorphic functions.We will prove the following result：Let f（z）and g（z）be two transcendental meromorphic functions,p（z）a polynomial of degree k,n≥max{11,k＋1}a positive integer.If fn（z）f（z）and gn（z）g（z）share p（z）CM,then either f（z）=c1ec p（z）dz, g（z）=c2e ？c p（z）dz ,where c1,c2 and c are three constants satisfying（c1c2） n＋1 c2=-1 or f（z）≡tg（z）for a constant t such that tn＋1=1.     

SOME POLYNOMIAL INEQUALITIES IN THE COMPLEX DOMAIN

P（z）=∑v=0^n cvz^v
be a polynomial of degree n and let M（f, r） = max｜z｜=r ｜f（z） ｜ for an arbitrary entire function f（z）. If P（z） has no zeros in ｜z｜ 〈 1 with M（P,1） = 1, then for ｜α｜ 〈 1, it is proved by Jain[Glasnik Matematicki, 32（52） （1997）, 45-51] that
｜P（Rz）＋α（R＋1/2）^nP（z）｜≤1/2{｜1＋α（R＋1/2）^n｜＋｜R^n＋α（（R＋1/2）^n｜},R≥1,｜z｜=1.
In this paper, we shall first obtain a result concerning minimum modulus of polynomials and next improve the above inequality for polynomials with restricted zeros. Our result improves the well known inequality due to Ankeny and Rivlin and besides generalizes some well known polynomial inequalities proved by Aziz and Dawood.     

两道高考题的几何视角

2011年浙江省高考（文理）数学试卷中，有以下两道姊妹填空题： 1．（文科题）若实数z，y满足x^2＋y^2＋xy-1，则z＋y的最大值是＿＿＿     

赛题的简证、巧证及推广

（2008年全国高中联赛山东赛区预赛第17题）若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz＝1,求证：1〈1/1＋x ＋ 1/1＋y ＋ 1/1＋z〈2     

一类解析函数类的Hankel行列式的上界估计

本文对在单位圆盘U={z∈C：l│z│〈1}内解析且满足（1-λ）f（z）/z＋λf^1（z）〈1＋Az/1＋Bz（-1≤B＜A≤1;z∈U的函数f所对应的Hankel行列式│a2a4-a^23│,利用Toeplitz行列式的性质得到了其上界估计。     

一道赛题的又一简证

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第（17）． 题目若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证．1〈1/1＋x ＋ 1/1＋y ＋ 1/1＋z 〈2．     

Multiple Positive Solutions for Semilinear Elliptic Equations Involving Subcritical Nonlinearities in RN

In this paper, we study how the shape of the graph of a（z） affects on the number of positive solutions of -△v＋μb（z）v=a（z）vp-1＋λh（z）vq-1,inRN.（0.1） We prove for large enough λ,μ〉 0, there exist at least k＋ 1 positive solutions of the this semilinear elliptic equations where 1 ≤ q 〈 2 〈 p 〈 2＊ = 2N/（N-2） forN ≥ 3.