排列、组合和二项式定理

分类计数原理和分步计数原理是排列组合的核心内容，它既是推导排列数、组合数公式的基础．也是解决排列组合问题的重要方法．分类是把复杂的问题分解成互相排斥的几类，然后逐类解决，分步是把解决问题的方法分解成几个相互联系且相互独立的步骤，较复杂的排列组合问题的解决常先分类再分步．解决带有附加条件的排列组合问题的方法主要有：（1）特殊元素分析法：优先安排特殊元素，再安排其它元素；（2）特殊位置分析法：优先安排特殊位置，再安排其它位置；（3）去杂法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数；（4）插空法：对于要求某些元素不相邻的问题，可以先排好没有限制条件的元素，然后将要求不相邻的元素插入到排好的元素所产生的空档之中；（5）捆绑法：对于要求某些元素必须排在一起的问题，可以将要求相邻的元素合并为一个大元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也要作排列；（6）先分组后分配即先选后排；（7）隔板法；（8）去序法；（9）列举法，特别要注意利用“树形图”不漏不重地列举；（10）集合法．     

排列与组合诗一首

排列组合两大法 ,日常生活用处大 .美丽图案巧组合 ,中文英文排列法 .顺序有关属排列 ,顺序无关组合法 .分类分步细分辨 ,加法乘法计算它 .特殊元素和位置 ,首先就要考虑它 .“大于”“小于”排列题 ,从高到低若干类 .“含”与“不含”属一类 ,直接间接方法明 .“在”与“不在”“邻”“非邻” ,错位排列逆思法 .重复排列乘法算 ,穿插捆绑排列法 .分堆均分有区别 ,后面除以全排列 .隔板原理方法巧 ,组合问题不可少 .排列组合综合题 ,先组后排加乘算 .整体减去部分差 ,间接思考单记它 .世界美丽又奇妙 ,排列组合显奇效 .排列与组合诗一首$湖…     

浅析隔板法的应用

众所周知，隔板法可以解决如下问题：求将n个相同元素分给m个不同对象（n≥m），每个对象至少有一个元素的方法数．此类问题可以视作在行-1个空中插入m-1块板，共有Cm-1n-1种方法．     

全错位排列的一种新解

回自同空四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，地四张贺年卡不同的分配方式有（A）6秆（B）9科（C）11种（D）23种（1993年全国高考题）以上题目属全价位排列问题，其解法甚多，本文利用“分类”的方法给出一种新颖的解法．解四个元素全排列可分成以下四类：4个元素全措位排列；恰有3个元素全错位排fo；恰有2个元素全错位排列；没有元素错位排列．于是有：引一at十q·a3十q·3：＋1（。）其中a；（2＜i＜4）表示i个元素全错位排列数，易有a：一1，as—2，故由（。）式有：a．＝41－q·a。－－q·a。－1…     

一道初中数学竞赛题的推广

1998年平江初中数学竞赛中有这样一道题：“48根火柴分成三堆，从第一堆中取出与第二堆一样多的火柴放入第二堆；再从第二堆中取出与第三堆一样多的火柴放入第三堆；又从第三堆火柴中取出与此时的第一堆一样多的火柴放入第一堆，这样，三堆火柴就变成一样多问原来三堆各有多少根火柴？”我们将这道问题推广为：‘有火柴若干根，分成若干堆（至少两堆），从第一堆中取出与第二堆一样多的火柴放入第二堆；再从第二堆火柴中取出与第三堆一样多的火柴放入第三堆，如此继续，直到从最后一堆中取出与此时的第一堆一样多的火柴放入第一堆，这样，各…     

拣石子游戏的策略及其应用

拣石子游戏是我国民间流传已久的一种博奕，在国外亦称Ｎｉｍ游戏．游戏Ⅰ有若干堆任意数目的小石子｛ａ１，ａ２，…，ａｍ｝（ｍ≥１），两人轮流取石子，每人每次可以从其中任意一堆中取，每次可以取１、２、３、……或ｋ（１≤ｋ≤ｍｉｎ｛ａ１，ａ２，…，ａｍ｝）颗...     

关于三角形边长的几个不等式

涉及三角形常见几何元素的不等式,一般都可化为关于边长ａ、ｂ、ｃ的不等式　ｆ（ａ,ｂ,ｃ）≥０．（）关于三角形边长的不等式是三角形不等式中最基本、最常见的．本文将建立仅含三角形边长的若干不等式．以“∑”表示循环和,以ｆ（１,１,１）、ｆ（０,１,１）及ｆ（２,１,１）分别表示正三角形及两种退化三角形．另外文中省略诸不等式等号成立条件的讨论．以下的证明均采用比较法．文［１］中,我们证明了在锐角三角形中有　　∑１（ｂ＋ｃ）（ｂ２＋ｃ２）≤３４ａｂｃ．（１）从文［１］中的证明过程中可看出,三角形中的最…     

正三角形的“魔方”──介绍一组掘进型题组

正三角形的“魔方”──介绍一组掘进型题组林飞赞（浙江省玉环县玉城中学３１７６００）所谓掘进型题组，是指根据具体的教学要求和目的把若干个条件或结论基本相仿的题目按一定的逻辑体系排列在一起的专门题组．它具有以下几个特征：第一，阶梯性，这类题组往往从一个基...     

排列组合解题二三法

排列组合解题二三法陈宗洵（福建师范大学数学系３５０００７）排列组合的题目疑多乖戾，似无常法，暑假“陪读”偶有所得，整理成文敬飨读者，谨供参考．ＩＮ度法排列组合问题可视为按某种规则抽取元素的试验，确定试验所有不同结果的数目，我们可以把这种试验的若干结果...     

预测气吹精密播种机排种质量的一种简易方法

通过对气吹式精密播种机田间试验资料的相关分析，发现合格指数Ａ与｜Ｄ－Ｍ｜（重播指数与漏播指数之差的绝对值）之间里极显著负相关（ｒ＝－０．９３１２）。在对数据作进一步回归分析的基础上，本文建立了一套“由排种粒数预测排种质量”的方法。     

分鱼问题

中国是数学的故乡.类似“五猴分桃”的“分鱼问题”,在我国民间早就广泛流传.原题是:“三个人在湖里打鱼,共打鱼若干条,然后在湖边休息睡觉.甲醒来后,把鱼分成三堆,每堆一样多,剩下一条,他拿走了其中的一堆,把剩下的一条扔在另外两堆内.乙醒来后,也照样把鱼分成三堆,剩下两条,他拿走了一堆,把所剩下两条扔在另外两堆内.丙醒后,照样把鱼分     

简化 联想 溯源——兼谈“伴侣点线”

“中学数学研究”（广州）2008年第4期（P15-P16）登载一文“再谈圆锥曲线的一组统一性质”．此文对圆锥曲线中焦点与相应准线有关的性质作出更一般化的推广．读后确有启发．但略感不足的有如下两点：第一是文中主要定理（定理1）的论证过程略显繁琐,也欠自然流畅．     

“老农卖瓜”趣题延续

《上海少年报》曾刊出“老农卖瓜”趣题，大意如下： 一位老农把卖剩的24个瓜分成六堆，摆在形如一个三角形的顶点及中点上，看上去每边上瓜之和都为9（如图1）．     

一个游戏栏目中的概率问题

中央电视台第二频道有一个游戏栏目叫“购物街”,其中一个环节是若干人通过转一个“圆盘”决定胜负．把一个直径大约2米的大圆盘等分为20份,在每一份上分别标有5,10,15,……,95,100等分数（每个分数都是5的倍数）,如图．     

软代数（Fuzzy格）的中理想及同余关系

本文主要研究软代数（Ｆｕｚｚｙ格）的内部构造．本文首次引入了反映软代数（Ｆｕｚｚｙ格）基本特性的所谓理想（Ｍ－理想）的概念．证明了任一软代数的全体中理想组成一分配格．其次讨论了软代数（Ｆｕｚｚｙ格）的同余关系，证明了全体同余关系组成一具有０，１元素的完备分配格和Ｂｒｏｕｗｅｒ格．给出了极大同余关系的存在性，讨论了软代数中“理想”跟“同余”的关系．证明了每个理想及每个元素、每个中理想都以一种确定的方式定义一同余关系．文中有趣地发现跟一般格论显著不同，在软代数（Ｆｕｚｚｙ格）里，一个理想产生的同余关系在自然映射之下，其核一般不再等于原来的理想．文中给出了使之等于原理想的充分必要条件．从而为探索同余理想（即与核相等的理想），开避了道路．本文在我们软代数讨论班上散发之后，已有四、五名学者在此基础上写出了新的论文．     

例说构造几何图形解代数题

在解题过程中,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素（它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等）,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,达到思维的创新．华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观,形离数时难入微．”利用数形结合的思想,可沟通代数、几何的关系,实现难题巧解。     

Fuzzy幂群的基数定理

文（１）提出了幂群的概念，给出了幂群中各元素是等势的基数定理，文（２）提出了Ｆｕｚｚｙ幂群的概念，但没研究其中各元素的基数问题，本文深入研究这一问题，得到了由Ｄ．Ｄｕｂｏｉｓ等在文（３）中提出的和由李洪兴等在文（４）中提出的两种Ｆｕｚｚｙ集基数形式下的Ｆｕｚｚｙ幂群的基数定理，并给出了Ｆｕｚｚｙ幂群中与基数有关的若干结果。     

奖卡收集问题

奖卡收集问题李裕奇（西南交通大学应用数学系成都６１００８１）李裕奇．奖卡收集问题，数理统计与管理，１９９７，１６（３），４５～４６．在某种小食品袋中，往往装有一张精致的小卡片，以吸引孩童踊跃购买，谓之“有得吃，有得玩”，且若干张小卡片可拼成一张完整...     

可用归纳法来解的两则游戏趣题

题1甲乙两人玩下面的游戏：甲先将一堆以个石子分成三堆,每堆至少一个石子,且有一堆石子的数目大于另外两堆中每一堆石子的数目,然后,乙用同样的方法分石子数目最多的一堆．甲乙交换进行,谁分最后一次谁就获胜．对于形如n=a^b（正整数a、b〉1）的数,哪些使得乙有获胜策略？     

排列、組合的教学

1.前言排列、组合是高中代数教学中比較难讲的一个課題,“怎样分辨排列問題和組合問題?”,“怎样正确地审查題意并列出簡捷的算式?”,“在一个問題里所获得的若干个数字,应当相乘,还是应当相加?”这一連串的問題都是不易使学生搞清的。但是,这一单元不仅和下一单元二項式定理密切相关,还是将来学习具有广泛应用的概率論的重要工具,因此还是必須教好学好的。現仅提出我在教学中的一些体会,供大家研究。 2.概念从m个元素里,每次取出n个元素,按照一定的順序摆在一排,叫做从m个元素里每次取出n个元素的排列;从m个元素里,每次取出n个元素,不管怎样的顺序并成一組,叫做从m个元素里每次取出n个元素的組合。