A note on the vorticity downstream of a curved shock

Zusammenfassung Es wird ein expliziter Ausdruck für die Wirbelst?rkeω hinter einem gekrümmten Verdichtungsstoss für den Fall der zweidimensionalen Str?mung eines idealen Gases in Termen der Geschwindigkeit der ungest?rten Str?mungV _∞, ihrer Mach-ZahlM _∞, des Stosswinkelsσ und des Krümmungsradiusr _s des Verdichtungsstosses im betrachteten Punkt aufgestellt. Die dimensionslose Wirbelst?rkeω r _s /V _∞ h?ngt nur vonM _∞ undσ ab. Bei festgehaltenemM _∞ treten bei einem Stosswinkel von 90° (senkrechter Verdichtungsstoss) und auch dann, wenn der Stosswinkel dem Mach-Winkel der ungest?rten Str?mung gleich ist (Verdichtungsstoss der Intensit?t Null), keine Wirbel auf. Für einen dazwischenliegenden Winkel, der von 68° fürM _∞=1,5 bis zu 36° fürM _∞=10 variiert, wird die Wirbelst?rke ein Maximum.      

Precise distribution properties of the van der Corput sequence and related sequences

The discrepancy is a quantitative measure for the irregularity of distribution of sequences in the unit interval. This article is devoted to the precise study of L_p–discrepancies of a special class of digital (0,1)–sequences containing especially the van der Corput sequence. We show that within this special class of digital (0,1)–sequences over ℤ₂ the van der Corput sequence is the worst distributed sequence with respect to L₂–discrepancy. Further we prove that the L_p–discrepancies of the van der Corput sequence satisfy a central limit theorem and we study the discrepancy function of (0,1)–sequences pointwise.     

Low Prandtl-number free convection

Zusammenfassung Eine Untersuchung der freien Konvektion wurde an einer senkrechten isothermen Platte bei Prandtlscher Zahl im Bereiche von 0,003–0,03 (das heisst flüssige Metalle) durchgeführt. Dabei wurden zahlenmässige Lösungen der laminaren Grenzschichtgleichungen erhalten. Für die örtlichen Wärmeübergänge bei diesem Bereiche der Prandtlschen Zahl lassen sich die Resultate alsNu _x =0,565 (Gr _x Pr ²)^1/4 darstellen.     

Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zusammenfassung Ein physikalischer Prozeß (die Änderung eines physikalischen Systems) heißt stochastisch-definit, wenn aus der Kenntnis des ZustandesX ₀ des Systems in einem gewissen Zeitmomentt ₀ die Kenntnis der Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeiten für die möglichen ZuständeX des Systems in einem Zeitmomentt>t ₀ folgt.Der verfasser betrachtet systematisch die einfachsten Fälle der stochastischdefiniten Prozesse und in erster Linie solche, die nach der Zeit stetig sind (darin besteht die wesentliche Neuheit der Methode: Bis jetzt betrachtete man gewöhnlich einen stochastischen Prozeß als eine Reihe von diskreten Ereignissen).Wenn die MengeU der möglichen verschiedenen Zustände des Systems endlich ist, so läßt sich der stochastisch-definite Prozeß durch gewöhnliche lineare Differentialgleichungen charakterisieren (Kap. II). Wenn der Zustand des Systems durch einen oder mehrere stetige Parameter definiert ist, so wird der analytische Apparat durch parabolische partielle Differentialgleichungen gegeben (Kap. IV). Man kommt dabei zu verschiedenen Verteilungsfunktionen, unter denen die Laplacesche Normalverteilung als natürlicher einfachster Fall erscheint.     

The theory of an oscillating cylinder viscometer

The theoretical details of periodic state of motion of a liquid (Newtonian) in a narrow annular gap between long vertical coaxial cylinders is given in a new way.If the inner cylinder is suspended by a delicate torsion wire while the outer cylinder undergoes forced harmonic oscillations about its axis, the amplitude of uniform oscillation attained by the inner cylinder can be calculated. Two equations are derived for this purpose; the first is neither simple nor direct with respect to (coefficient of viscosity of the liquid) and the other constants of the apparatus, but covers all liquids with various densities and viscosities, while the second is more simple and direct but covers only liquids of >1. The theory agrees well with experiment for all values of ₀/₀, where ₀ is the amplitude of deflection of the inner cylinder and ₀ is the amplitude of oscillations inexorably imposed on the outer cylinder. ₀/₀ andV _–d/0, whereV _–d is the velocity of the liquid in the neighbourhood of the curved surface of the inner cylinder, has been plotted as function of the frequency for different values of the constants of the liquid of an available apparatus. Also the effect of density of the liquid has been discussed, and the condition of resonance between the liquid and the inner cylinder is given.

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Zusammenfassung Die Arbeit gibt eine theoretische Behandlung der periodischen Bewegung einer Flüssigkeit in der Lücke zwischen zwei koaxialen Zylindern wieder. Ist der innere Zylinder an einem Torsionsdraht aufgehängt, wobei der äussere Zylinder eine erzwungene Schwingung ausführt, wird eine Berechnung der uniformen Schwingung des inneren Zylinders möglich. Die experimentellen Daten sind gut mit der Theorie vereinbar. Die Kurven, welche die Abhängigkeit von ₀/₀ undV _–d/₀ von der Schwingungszahl darstellen, sind für verschiedene Werte der Konstanten der Flüssigkeit und des Apparates gezeichnet, wobei ₀ die Schwingungsamplitude des inneren Zylinders, ₀ diejenige des äusseren Zylinders undV _–d die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der Nähe der krummen Oberfläche des inneren Zylinders bedeutet. Im weiteren wird der Einfluss der Dichte diskutiert; schliesslich werden die Resonanzbedingungen zwischen der Flüssigkeit und dem inneren Zylinder aufgestellt.

     

The behaviour of populations in a partially ionized flat plate boundary layer

Summary The behaviour of populations of the argon atoms in a partially ionized flat plate boundary layer has been investigated for the freestream conditionsT _e =3000 K,T _a =1000 K,N _e =10¹³ cm^–3,N _a =10¹⁶ cm^–3. The populations have been calculated from steady state conditions, and the net production rate of electron-ion and the electron energy transfer rate due to inelastic collisions have been expressed in terms of populations and rate constants for excitation-deexcitation and ionization-recombination. The result shows that the contributions of excitation-deexcitation to the electron energy transfer is quite large rather than those of ionization-recombination.

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Zusammenfassung Das Verhalten der Besetzungsdichten von Argon-Atomen in einer teilionisierten Grenzschicht längs einer flachen Platte ist für die folgenden Anströmbedingungen vonT _e =3000 K,T _a =1000 K,N _e =10¹³ cm^–3 undN _a =10¹⁶ cm^–3 untersucht worden. Die Besetzungsdichten sind unter der Annahme eines stationären Zustands berechnet worden; und die Nettoproduktionsrate von Elektron-Ion-Paaren und die Rate der auf unelastischen Stößen beruhenden Elektronenenergieübertragung ist mit Besetzungsdichten und Ratenkonstanten von Exzitations-Deexzitations- und Ionisations-Rekombinations-Prozessen ausgedrückt worden. Das Ergebnis zeigt, daß die Beiträge der Exzitations-Deexzitations-Prozesse zur Elektronenenergieübertragung viel größer sind als diejenigen von Ionisations-Rekombinations-Reaktionen.

     

Lokalisation bei absoluter Cesàro-Summierbarkeit von Potenzreihen und trigonometrischen Reihen. II

Ohne ZusammenfassungDer erste Teil dieser Arbeit — fortan als I zitiert — erschien in Math. Z.60, 255–270 (1954). Die Numerierung der Sätze, Formeln und Fußnoten erfolgt hier im Anschluß an den ersten Teil, auf den auch bezüglich der Bezeichnungen grundsätzlich verwiesen sei. [Zum Beispiel bedeutetx _n =a(y _n ), daß von einer Stelle abx _n =a _n y _n ist mit |a _n -a _n–1|<.] Das Literaturverzeichnis für den zweiten Teil befindet sich am Schluß der vorliegenden Note.     

Étude expérimentale du phénomène de dégradation dans des petites bobines supraconductrices de Nb-25% Zr

Zusammenfassung Das Modell eines thermisch isolierten Supraleiters III. Art gestattet eine einfache Erklärung für den in (kleinen) drahtgewickelten Spulen von Nb-25% Zr festgestellten Übergang in den normal leitenden Zustand, der schon für einen Spulenstromi auftritt, der unterhalb dem an freien Nb-25% Zr-Proben gemessenen kritischen Werti _c erfolgt. Es wird mit dem Begriff einer lokalisierten Temperaturerhöhung T _l operiert, die durch die Verlustleistung infolge endlicher räumlicher Verschiebung der Flux-Linien im supraleitenden Material hervorgerufen wird. Die experimentellen Resultate lassen sich auch auf ein System koaxialer Spulen übertragen.

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Cette étude a été financée par le Laboratoire de Recherche N.V. Philips' Gloeilampenfabrieken, Eindhoven.     

Über Multiplikationen imn-dimensionalen Torus

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit beweisen wir, dass alle Multiplikationen mit Identit?t im n-dimensionalen Torus homotop sind. Zu diesem Zwecke werden wir eine Funktion α_f: Tⁿ×Tⁿ→Rⁿ konstruieren, welche die Abweichung einer Multiplikation f von der komplexen Multiplikation p der Komponenten ausdrückt. Mit Hilfe dieser Funktion k?nnen wir eine Homotopie zwischen f und p definieren.     

Nichtbeweisbarkeit von gewissen kombinatorischen Eigenschaften endlicher Bäume

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit stellen wir gewisse bis jetzt nicht veröffentlichte Forschungsergebnisse von Harvey Friedman vor. Diese Ergebnisse liefern die eindrucksvollsten bis jetzt gefundenen Beispiele von mathematisch bedeutsamen Sätzen der endlichen Kombinatorik, die in gewissen logischen Systemen nicht beweisbar sind. Die betroffenen logischen SystemeATR ₀ und ₁ ¹ —CA ₀ sind als verhältnismäßig starke Teilsysteme der Arithmetik der zweiten Stufe bekannt. Die nicht beweisbaren kombinatorischen Sätze haben mit Einbettbarkeitseigenschaften endlicher Bäume zu tun. Friedmans Methode gründet sich zum Teil auf eine enge Verbindung zwischen endlichen Bäumen einerseits und den Ordinalzahlbezeichnungssystemen andererseits, die in der an Gentzen anknüpfenden Beweistheorie vorkommen.

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Unprovability of certain combinatorial properties of finite trees

In this paper we exposit some as yet unpublished results of Harvey Friedman. These results provide the most dramatic examples so far known of mathematically meaningful theorems of finite combinatorics which are unprovable in certain logical systems. The relevant logical systems,ATR ₀ and ₁ ¹ —CA ₀, are well known as relatively strong fragments of second order arithmetic. The unprovable combinatorial theorems are concerned with embeddability properties of finite trees. Friedman's method is based in part of the existence of a close relationship between finite trees on the one hand, and systems of ordinal notations which occur in Gentzen-style proof theory on the other.

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Partially supported by NSF grant MCS 8107867. Also partially supported by a grant from the Deutsche Forschungsgemeinschaft, while on sabbatical leave at the University of Munich.     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

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This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

Randbemerkungen zur historischen Entwicklung des Tangentenbegriffs

Zusammenfassung Die griechische Tangentendefinition verlangte, da? die Kurve ganz auf einer Seite der berührenden Geraden liegt. Eine allgemeine Methode, die Tangenten an eine beliebige Kurve zu finden, gab es nicht. Es wurden spezielle Konstruktionen (erraten und) angegeben und nachtr?glich bewiesen, da? sie Tangenten lieferten. Roberval und Torricelli leiteten auf Grund der Erzeugung mancher Kurven durch zwei Bewegungen Tangentenkonstruktionen aus dem Parallelogramm der Geschwindigkeiten ab. Barrow bemerkte, da? man jede Kurve durch zwei Bewegungen erzeugen kann: die Koordinaten werden als Funktionen der Zeit aufgefa?t —x(t), y(t). Fermat und Descartes fanden eine neue Methode zur Berechnung der Tangenten an algebraische Kurven. Sie beruht darauf, da? eine Gerade zwei zusammenfallende Punkte mit der Kurve gemeinsam hat, und da? dies einen quadratischen Faktor [(y−y ₀)² odere ²] in der Gleichung für die Schnittpunkte verlangt. Diese Methode enth?lt eine neue Definition der Tangente, die auch in Wendepunkten gilt. Die Methode wurde auch — etwas leichtfertig — auf transzendente Kurven übertragen, und lieferte auch richtige Resultate. Die Rechtfertigung dafür erbrachte erst die Differentialrechnung, von der hier nicht mehr gesprochen wird.

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Herrn Professor Dr. Dr.h.c.mult. Otto Haupt mit den besten Wünschen zum 100. Geburtstag gewidmet     

Vibrationsrelaxation und Dissoziation zweiatomiger Moleküle mit Berücksichtigung von Mehrquantensprüngen und Gleichgewichtsrotation

Übersicht Es wird ein idealisiertes Stoßwellenexperiment betrachtet, bei dem eine Wärmebadmischung (X₂/Ar1) aus zweiatomigen Molekülen (X ₂H₂, O₂) und Argon plötzlich auf hohe Temperaturen gebracht wird. Durch numerische Lösung der sogenannten Mastergleichung wird der Zeitverlauf der Besetzungszahlen der Vibrationsenergieniveaus, der Dissoziationsrate und des Ratenkoeffizienten während des darauf folgenden Relaxationsprozesses bestimmt. Alle möglichen Übergänge zwischen den Energiezuständen der Vibration werden zugelassen, um den Einfluß von Mehrquantensprüngen im Gegensatz zu Einquantensprüngen aufzuzeigen. Außerdem wird eine Abschätzung durchgeführt, wie stark die Gleichgewichtsrotation der Moleküle die Dissoziation begünstigt.

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Summary An idealized shock wave experiment is considered in which a mixture of diatomic molecules (X ₂H₂, O₂) highly diluted in Ar (X ₂/Ar1) is heated instantaneously to high temperatures. The corresponding master equation is solved numerically to determine during the relaxation process the time dependence of the population in the vibrational levels, the dissociation rate, and the rate coefficient. All possible transitions are included to show the influence of multiple quantum transitions in contrast to single quantum transitions. In addition, an estimate is made of the influence of the equilibrium rotational energy on the reaction rate coefficient.

     

Optimal control of processes governed by partial differential equations part II: Vibrations

This paper is concerned with damping of vibrations of one-dimensional media by distributed or boundary control. Given an initial state of vibration at the timet=0, the problem is considered to find a control along the medium or on its boundary by which the initial state is transferred to the position of rest at some given timeT>0. At first the problem of null-controllability is studied where the control functions are taken fromL ₂ [0,T]. Then the problem of timeminimal null-controllability is investigated where null-controllability is tried to be achieved by norm-bounded controls inL ₂ [0,T] forT being as small as possible. The main result here is that time-minimal norm-bounded controls are controls with least norm on the minimum time interval which in addition equals the prescribed bound on the norm.The main tool for the treatment of these control problems is the theory of trigonometric moment problems.

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Zusammenfassung Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Dämpfung eindimensionaler Media durch verteilte Steuerung oder Randsteuerung. Zu vorgegebenem Anfangszustand der Schwingung zum Zeitpunktt=0 wird das Problem betrachtet, eine Steuerung entlang dem Medium oder auf seinem Rande zu finden, die den Anfangszustand in die Ruhelage zu irgendeiner gegebenen ZeitT>0 überführt. Zunächst wird das Problem der Null-Steuerbarkeit behandelt, bei dem die Steuerungsfunktionen demL ₂ [0,T] entnommen werden. Sodann wird das Problem der zeit-minimalen Nullsteuerbarkeit untersucht, bei dem versucht wird, Nullsteuerbarkeit mit norm-beschränkten Steuerungen inL ₂ [0,T] für möglichst kleinesT zu erzielen. Das Hauptresultat besteht hier in der Aussage, daß zeit-minimale norm-beschränkte Steuerungen zugleich Steuerungen mit minimaler Norm auf dem minimalen Zeitintervall sind, die überdies mit der vorgegebenen Normschranke übereinstimmt.Das Haupthilfsmittel zur Behandlung dieser Steuerungsprobleme ist die Theorie der trigonometrischen Momentenprobleme.

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Invited Survey.     

The compressible gas-solid particle flow over a semi-infinite flat plate

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass die Grenzschicht-Approximation auf die Zwei-Phasen-Strömung über eine Halbebene anwendbar ist, wenn die Teilchendichte in der Grenzschicht von der Ordnung ist. Die Bedeutung eines neuen Parameters _m /x wird herausgestellt, wo _m die Länge ist, auf der die Teilchen ihre Geschwindigkeit ume ^–1 verringern, und der Abstand von der Vorderkante. Reihenentwicklungen in diesem Parameter werden benutzt, derart, dass eine Ähnlichkeitsgrösse für die Halbebene gefunden werden kann. Dies reduziert ein System partieller Differentialgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Letztere werden numerisch und wenn möglich analytisch gelöst, so dass Schubspannungskoeffizienten und Wärmeübergangskoeffizienten für begrenzte Teile der Wand berechnet werden können. Hierbei wird die Gasdichte nicht als konstant angenommen.     

Ein Kriterium für die periodischen Diagonalkettenbrüche

Zusammenfassung Periodische DIagonalkettenbrüche weisen — über die bekannte, in ihrer Definition begründete, Grundeigenschaft hinaus — bemerkenswerte Regelmäßigkeiten auf. IN dieser Arbeit ist aufgezeigt, daß der NäherungsbruchA _v–1 /B _v–1 der quadratischen Irrationalzahl :Q ₀ (normiert,Q ₀>0 angenommen),dann und nur dann auch Näherungsbruch der Diagonal-kettenbruchentwicklung von ₀ ist, wenn der NennerQ _v in dem vollständigen Quotienten :Q _v von ₀ kleiner ist als (Satz 4), ausgenommen höchstens den Fall, daß der Vorperiode oder der 1. Periode der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von ₀ angehört.Ist speziell die Quadratwurzel aus einer natürlichen nichtquadratischen Zahl, so gilt die Regelmäßigkeit für alle 1 (Satz 1). In Satz 4 ist näher erläutert, von welchem an die Formel im allgemeinen Fall notwendig gilt.Das gegebene Kriterium erleichtert sowohl die Bestimmung der Diagonalkettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen als auch die Lösung diophantischer Ungleichungen, wie es auch weitere, über den Rahmen dieser Arbeit hinausgehende, theoretische Schlußfolgerungen ermöglicht, auf die wir in anderem Zusammenhang eingehen werden.Herrn Prof.Nils Pipping, Helsingfors, zum 75. Geburtstag am 14. Mai 1965 gewidmet     

Flow due to a body spinning in rotating fluid at large hartmann numbers

Zusammenfassung Ein Rotationskörper und ein koaxialer Zylinder rotieren unabhängig und erzeugen eine stationäre MHD-Strömung in der zwischenliegenden Flüssigkeit, in einem gleichförmigen axialen magnetischen FeldB _o. Unter der Annahme, dass (die Hartmann-Zahl)M 1, dassM Re undM Rm findet man, dass die Flüssigkeit ausserhalb des Zylinders, der parallel zuB _o den Körper berührt und umhüllt, im wesentlichen mit dem äusseren Zylinder starr mitrotiert. Zonen mit Scherströmung parallel zuB _o beginnen an beiden Enden des Körpers vom Maximalkreis und gehen in einer Distanz der OrdnungM in parabolische Dellen über. In kleineren Distanzen rotiert die Flüssigkeit innerhalb der Scherschichten starr mit dem Mittelwert der Winkelgeschwindigkeit von Körper und Zylinder; zwischen dieser Flüssigkeit und dem Körper findet man eine Hartmann-Schicht.     

Nonlinear analysis of flow pulses and shock waves in arteries

Zusammenfassung Druck- und Strompulse mit grosser Amplitude erzeugt in der Aorta und in andern Hauptarterien des Hundes werden theoretisch berechnet für vorgeschriebene Ausströmungspulse von der linken Herzkammer und für gegebene physikalische und geometrische Eigenschaften des Kreislauf-systems. Der Blutausfluss durch die Äste und Verzweigungen der uns interessierenden arteriellen Leitung ist durch ein kontinuierlich verteiltes, von Druck und Ort abhängiges Ausflussmodell nachgeahmt. Am herzfernen Ende der Leitung ist als Randbedingung entweder der periphere Widerstand oder ein konstanter druck vorgeschrieben. Die Geometrie der Leitung ist durch ihren kreisförmingen Querschnitt und den mit Herzdistanz exponentiell abnehmenden Radius definiert. Die elastischen Eigenschaften der Gefässwand sind durch die von Ort und Druck abhängige Geschwindigkeit kleiner Druckwellen gegeben. Durch Integration der Beziehung zwischen Wellen-geschwindigkeit und Querschnittsdehnung ist damit auch der Querschnitt als Funktion des Druckes und der Herzdistanz vorgeschrieben. Die nichtlinearen Gleichungen für eindimensionale Strömung einer inkompressibler Flüssigkeit werden mit Hilfe der Charakteristikenmethode integriert für Kreislaufparameterwerte die einem hypothetischen Hund von 30 kg Gewicht entsprechen. Das verwendete mathematische Modell für die arterielle Leitung wiedergibt manche der bekannten Eigenschaften des vom Herzen erzeugten Pulses, einschliesslich die Klappenincisur, das Ansteigen und Abfallen der Höhe des systolischen Druckgipfels mit wachsender Entfernung vom Herzen. Während der Fortpflanzung der Pulswelle zeichnet sich eine zunehmende Steilheit der Wellenfront ab, die jedoch nicht merkbar ist wenn man die grundlegenden Gleichungen linearisiert. Die numerischen Ergebnisse weisen darauf hin, dass die sekundäre (dicrotic) Welle durch Reflexionen erzeugt wird, und als solche von der Verjüngung des Querschnittes und vom Blutausfluss abhängt.

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Notation A cross-sectional area of artery at the reference intraluminal pressurep ₀ - c local wave speed - c ₀,c ₁ parameters in wave speed expression - c _L local wave speed for linearized analysis - C, C designations for general curves inz, t plane - D ₀ diameter at aortic valve whenp=p ₀ - D _t diameter at distal end of artery whenp=p ₀ - E circumferential Young's modulus - f axial frictional force per unit mass of fluid - h wall thickness - L distance from aortic valve to distal end of artery - n parameter in wave speed expression - p intraluminal pressure - calculated mean pressure - p ₀ reference pressure - p _c capillary pressure - p _L pressure at distal end of artery - q S v=local volume flow rate - q ₀ q ₀(t)=volume flow rate ejected by heart - r radial coordinate - R _e Reynolds number for steady flow - R _L peripheral resistance - s curvilinear coordinate - S cross-sectional area of artery - S _L cross-sectional area for linearized analysis - t time - v axial fluid velocity averaged over cross section - z axial distance coordinate - z ^* distance from aortic valve to femoral artery - exponent in cross-sectional area expression - outflow parameter - undetermined multiplier - blood viscosity coefficient - blood density - outflow function simulating effect of side branches     

The elastic fields and interactions of point defects in isotropic and cubic media

Zusammenfassung Die Formel vonEshelby für die elastische Wechselwirkung zwischen Punktdefekten wird neu hergeleiter. Die elastischen Eigenschaften der Punktdefekte werden behandelt durch Anwendung der mathematischen Methoden der Quantenmechanik des Drehimpulses auf die Gleichungen der linearen Elastizitätslehre des Kontinuums. Für isotrope Medien werden die Multipole beliebiger Ordnung der elastischen Felder exakt berechnet, und für Medien kubischer Symmetrie wird eine Näherung für das elastische Dipolfeld gegeben. Die Wechselwirkungsenergie zweier elastischer Dipole wird für isotrope Medien exakt und für kubische Medien näherungsweise berechnet. Die Formel wird angewendet auf Paare vonO ₂ ^– Zentren und Paare vonOH ^– Zentren inKCl. Numerische Resultate sind gegeben.

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This work is part of a research program suported by the Swiss National Science Foundation under contract No. 4212.     

Combined effects of turbulence and roughness on transition

Zusammenfassung Eine Betrachtung der vorhandenen Messungen über die Wirkungen eines zylindrischen Rauhigkeitselementes auf die Umschlag-Reynolds-Zahl der Grenzschicht einer Platte in Str?mungen mit verschiedenem Turbulenzgrad weist darauf hin, dass die Wirkung eines solchen Rauhigkeitselementes mit gegebenem Verh?ltnis seiner H?he zur Verdr?ngungsdicke der Grenzschicht als ein ?gleichwertiger? Turbulenzgrad betrachtet werden kann. Auf empirische Weise wird festgestellt, dass der ?gleichwertige? Turbulenzgrad 4·4 (k/δ _k ^*)³% ist. Die physikalische Bedeutung dieses Verh?ltnisses wird er?rtert. Die zusammengesetzte Wirkung von Turbulenz und Rauhigkeit wird berechnet und mit ver?ffentlichten Versuchsergebnissen verglichen.