利用等差中项巧解数列问题

请先看下面的问题: 设有二等差数列{αn}、{bn},其前n项和Sn与Sn’之比为了5n 3/2n 7,求α9/b9的值. 在对此题的分析和研究中,我们发现等差数列的等差中项有一个简单性质,它可以加以推广应用.请看: 设{αn}是一个等差数列,Sn是其前n项和,则有: S3=3α2,S5=5α3,S7=7α4,…… 一般地有: S2n-1=(2n-1)αn,其中n是自然数. 要证明此结论很简单.根据等差数列的前n项和公式及通项公式得:     

对一类本原Evans三角形的探究

给出一类三角形是本原Evans三角形的一个充分条件,构造出Evans三角形问题的两组新解,得到其高与底边之比分别为4n(n+1)和2n(n2-1)(n2-2)(n2-3)型的整数.     

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列是两种最基本、最常见的数列，它不仅是历年高考的重点内容，而且也是各种竞赛的常见考点．在等差数列与等比数列中。各涉及五个基本量（首项a1、公差d或公比q、项数n、通项an。、前n项和Sn），两个关系式（通项公式和前n项和公式），知道任意三个量可求其余两个量.     

真分数的两项分拆方法

将真分数m/n(mn,(m,n)=1)化成两个单位分数的和叫两项分拆.目前已有的分拆方法或计算量大或易产生漏解.本文在介绍搜索法和平方因数法两种典型计算单位分数1/n的两项分拆的缺点基础上,给出了一种创造性新方法-互素因数法,并给出了计算1/n的分拆组数Ω(1/n)的初等公式以及计算真分数的两项分拆的方法,从而能有效的防止出现遗漏现象.     

想一想 推一推 用一用

以下是初三代数课本第76页的一道习题: 如果一元二次方程 ax2 bx c=0二根之比是2:3,求证:6b2-25ac. 思考一如果将2:3改为m:n,结果会怎样呢? 分析设两根mt,nt得①②消去t,得: 这样我们便有: 结论一如果ax2 bx c=0二根之比是m:n,则mnb2=(m n)2ac;     

等差数列一个性质的应用

根据等差数列的性质，对等差数列{αn}，除了有前n项和公式外，还有S2n＋1=（2n＋1）αn＋1，S2n=n（αn＋αn＋1）。利用这两个关系式，有时可将有关等差数列前&;#183;n项和的问题避繁就简地解决，收到事半功倍的效果。     

数学课堂教学应因生成而精彩

1两个遗憾的生成案例1近日,我市某省示范高中举行公开教学周活动,在学校推荐的展示课上,出现了一个意外的生成,令听课教师掩卷长思.本节课题是《等差数列的前n项和》的习题课,执教者首先复习了等差数列的通项公式、前n项和公式及其有关性质,强调了通项公式a_n,前n项和公式S_n     

数学课是这样“备”出来的

2006年4月4日,笔者参加了上海市青年教师教学优质课评比,获得一等奖.上课内容为“等差数列的前n项和公式(一)”.本文围绕着这节课的设计、试教及修改的全过程,谈谈本人在二期课改背景下对课堂教学设计的一点体会.等差数列是高中数学研究的两个基本数列之一.等差数列的前n项和公式则是等差数列中的一个重要公式.它前承等差数列的定义、通项公式,后启等比数列的前n项和公式.本节课是数列求和的第一课,同时也是“倒序相加法”这一重要求和方法的典型载体.本课的教学重点是两个:(1)探究并获得等差数列的前n项和公式;(2)等差数列前n项和公式的初…     

用组合数解数列求和问题

数列求和是数列中很重要的一项内容,求和的方法也是多种多样．现谈一下用组合数求数列和的一类问题,先看两个例题．例1 已知数列{an}通项为an=n(n 1), 求前n项和Sn．分析我们一般习惯应用错位相减法,但对于这种求和也可以应用组合数．     

Morgan定理的推广

1　前言美国的《数学教师》期刊上多篇文章涉及三角形内某一几何图形面积与原三角形面积之比为定值 ,如文 [1]的 Marion定理 :如图1,对于任一三角形 ,将每边三等分 ,则等分点与顶点联线得到的六边形面积与原三角形面积之比为 110 .文[2 ]利用几何软件将该结论推广得到 Morgan定理 :如图 2 ,对于任一三角形 ,将每边 n等分 ( n为大于或等于3的奇数 ) ,则边上第 n-12 、n 12 个等分点与顶点联线得到的六边形面积与原三角形面积之比为89n2 -1.为了便于推广 ,将 Morgan定理叙述为 :如图 2 ,在△ ABC中 ,A1 、B1 、C1 分别为边 BC、CA、AB的…     

一类本原Evans三角形

构造一类本原Evans三角形,其高与底边之比为2n(n2-2)型的整数.     

两个函数之比单调性判别法注记

利用左、右导数,研究弱化条件下两个函数之比的单调性判别法。给出两个函数之比的单调性判别法的一种推广形式。     

再谈n阶矩阵m次方幂的通项公式

文[1]曾给出一类n阶矩阵的方幂的通项公式,但只限于矩阵A(或A~k)全部特征根相等的情形。本文给出另一类n阶矩阵即A(或a~k)全部不同特征根为两个的分解定理,并在分解定理的基础上给出这类n阶矩阵的方幂的通项     

两个周期函数的和的周期性

显然如果两个周期函数的的周期之比为有理数,则它们的和仍然是周期函数.反之,如果已知两个周期函数的和是周期函数,则这两个周期函数周期之比是否一定是有理数?若这两个函数之一是连续函数,给予上述问题肯定的回答.     

大型群体决策问题中的简单多数规则（3个评选对象场合）

一个群体决策问题取决于两个因素,一个是群体决策的规则,另一个是投票。当选定群体决策规则时,一个群体决策问题由投票完全决定,此时,群体决策问题与投票之间一一对应。简单多数规则是个简单且被广泛采用的群体决策规则,但它有缺陷,我们可举出些群体决策问题使用简单多数规则没法从投票得到最后群体决策的结果。这里我们将给出一个简单多数规则的有趣性质,即在3个评选对象场合,使用简单多数规则没法从投票得到最后群体决策结果的n个评选人的群体决策问题的个数与所有n个评选人的群体决策问题的个数之比当评选人个数n趋向无穷时趋于零,这说明3个评选对象的大型群体决策场合,简单多数规则的缺陷不严重。     

等差数列的Nesbitt型不等式

本文主要证明了等差数列的通项和前n项和的两个Nesbitt型不等式,对于等比数列也做了初步探讨.     

高阶等差数列前n项和的注记

通过对数列应用逐差法原理,首先给出了数列的n阶差定理.由此出发对数学手册中的高阶等差数列的通项公式及前n项求和公式进行了系统的完整的证明.从而使得利用两个公式研究高阶等差数列时显得更为简便科学.     

2n阶两点边值问题的多重非平凡解

本文主要研究2n阶两点边值问题的多重非平凡解的存在性．利用不动点指数理论和Leray-schauder度,在一般的非线性条件下,证明了2n阶两点边值问题至少有六个非平凡解的存在性．而且,如果非线性项是奇函数,则至少有八个非平凡解的存在．     

Wallis公式与Stirling公式的推广

Wallis公式和Stirling公式是高等数学中两个重要的公式.本文将Wallis公式和Stirling公式中的通项序数n推广为实数n+α,得到广义Wallis公式和广义Stirling公式,并讨论二者之间的内在联系.     

从一道复数题所想到的

高中代数甲种本第二册P.239,19题是“已知复平面内一个正方形的两个相邻顶点分别表示复数1 2i,3-5i,求与另外两个顶点对应的复数”。教参中用正方形各边相等的条件转化为二元二次方程组求解。本文再给一种解法,并导出求正n边形顶点对应复数的通项公式,由通项公式推出正n边形的一个充要条