组合几何(一) 计数

计数是组合数学的基本组成部分之一,它是组合数学的基础,其基本内容包括数学归纳法、排列组合、迭代与归纳、映射与反演、容斥原理等,还有其他计数技巧.计数表现在组合几何上大致有两个方面:一是对某些几何元素或几何量直接计算它的数目;二是研究当由几何元素或几何量构成的集合的元素达到某     

排列、组合应用问题

排列与组合是解决计数问题的一种强有力的工具．由于组合数学逐渐受到人们的青睐，因此，排列、组合的应用越来越广泛． 对于排列、组合应用问题，首先要分清元素与位置的关系，特殊元素和特殊位置要优先考虑．对于含有多个约束条件的排列、组合应用问题，往往以一个约束条件为主进行讨论．     

一类无穷维Hamilton算子谱的刻画

本文讨论了一类无穷维Hamilton算子谱问题,由于无穷维Hamilton算子是非自伴的算子矩阵,对它的谱的讨论比较困难,我们利用无穷维Hamilton算子的特殊结构,将无穷维Hamilton算子的谱问题转化为它的元素算子的某种组合的谱问题,得到了一个充分必要条件,在一定程度上简化了该类无穷维Hamilton算子谱的计算.     

函数几何综合题解析

函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型.这类试题,将几何问题与函数知识有机地结合起来,重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何的有关知识,通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力.下面以中考试题为例,对此作一归类解析,供参考. 一、几何元素间的函数关系问题 这类问题以几何图形为依托,研究几何元素间的函数关系问题.它的求解步骤一般是:     

组合几何(三) 运动问题

几何的本质就是运动.通常所说的所谓几何性质,其实质就是某个运动群的不变量.所以,利用运动——平移、旋转、反射等来解决几何问题,应该是本质的常用的方法.组合几何中的问题当然也不例外点的运动,生成点的轨迹(或者说是具有某种性质的点的集合),这是运动的结果.利用点运动做结果——点的轨迹(几何曲线、曲面)——作为工具解几何问题,也是我们处理组合几何问题的常用方法.运动事实上就是一个映射,例如平面上的运动就     

动态几何题中的函数关系式

求动态几何题中的函数关系式是近年来中考数学命题的一个热点,这类试题重点考查运用函数和几何知识来解决问题的能力.解这类问题的关键在于找出以几何元素为载体的两个变量之间的等量关系.常用方法为视“动”为“静”。以“静”求“动”,即选取图形在运动的某一状态下进行讨论,用静止图形的性质来反映动态规律.现将这类问题的几种基本类型简介如下,供参考.     

从二元序列到组合设计

组合数学引人入胜的一个特色,是各项貌似不同的课题之间的密切关连。本文试图以二元序列的自相关函数作贯穿主题,引入几种重要的组合结构,虽不能算是全面的综合介绍,也算勾划了这张绚丽图画的一角。 本文先介绍何谓随机序列与伪随机序列,从而带出自相关函数的意义,并考虑四种不同的自相关函数。在通讯科学与电机电子工程的应用上,需要构作具备“良好”性质的自相关函数二元序列。讨论这类问题,自然地引入了各种重要的组合结构,如差集、t-设计、有限几何、阿达玛矩阵、优美图等。本文除了指出这些课题之间的关连,还列举了一些猜想。与此类     

缩并方法在电除尘器优化设计中的应用

本文研究一类结构几何可调及拓朴可调优化设计问题,它充分利用结构问题的特性,把[1]中的QFD方法与缩并方法结合,把原问题归结为求解线性规划问题。应用此方法成功地解决了电除尘器进出烟箱的优化设计问题。一、结构优化设计问题及结构的性质在由杆、钣、梁所构成的组合结构中,遇到如下的结构优化设计问题:     

几何代数基础新视角下的初步探讨

提出有关几何代数基础的一个问题:在给定了变换群的几何上,可能建立哪些代数结构?首先证明,不可能在欧氏平面上的点之间定义一种在保距变换下不变的运算,使之在此运算下形成阿贝尔群.进一步的讨论证明,只有将欧氏几何扩大为质点几何,才能在其上建立在保距变换下不变的可交换可结合的运算,而且这种运算只能是质点几何中的加法.如果希望在此运算下构成阿贝尔群,就必须引入向量.最后讨论了所获结果的意义,并提出若干问题.     

关于 Gauss 二项式系数的行列式计算

上述各类系数经常出现在各种组合结构的枚举问题中,对于以其作为元素的行列式计算是组合数学中很有意义而又非常困难的问题.作者在本文中研究上述类型行列式的计算问题,得到三组有关的简化计算命题.这些结果将在平面分拆枚举函数的计算问题中起着基本而重要的作用.     

用几何画板的轨迹功能探讨数学问题的解法

几何画板是数形结合的一个特殊工具,在未明确数学问题函数关系的情况下,利用它的轨迹功能,可以将量与量之间的变化曲线定量地描画出来.反过来,量的直观变化过程中图像上各个点,对应着数学问题元素之间的关系.几何画板实现了联动,拖动数学问题的元素,     

数学形态学中结构元素的分解

本文讨论了数学形态学中结构元素的分解问题(B=B_1⊕…⊕B_n)并给出了一系列结果。本文的重点是二维结构元素的1-D分解和点对分解。且相应的可分解必要条件和分解算法被提出。我们的算法是高效的,它们的时间复杂度均为o(n~2),这里n是被分解结构元素中点的个数。     

以结构思想为切入点把握向量的教学

向量是研究几何的一种基本工具 ,这种工具把几何结构转化为代数结构 ,实现几何代数化 .因此 ,在向量教学中 ,要让学生知道向量工具如何把几何结构转化为代数结构 ,利用结构思想分析问题、解决问题成为我们教学的关键问题 .为此 ,对这两方面作如下探讨 .1　几何结构转为代数结构 ,实现几何代数化几何历史的发展 ,大概经历了实验几何、综合推理几何、三角学和解析几何等四个阶段 .要使几何学实现根本转变 ,出路在于代数化 .综合几何发展到解析几何的过程 ,找到了几何问题解决通法 ,真正实现几何代数化 .用代数方法去研究几何问题是数学史上一…     

几何问题三角证法例谈

这里的三角证法是指运用三角知识(和部分代数知识)转化、进而解决几何问题的方法,它是一种典型的以形寻数、数形结合的方法。用三角法解几何问题的基本思路是,利用三角函数的有关知识,将有关几何元素的关系式转化为三角函数关系式,即,将几何问题三角化,借助于三角变形和一些代数变形最终解决给定问题。     

看图筛选 多退少补——例谈构造集合求解排列组合问题

从集合的角度看,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列（组合）,可以组成一个集合,其中每一个排列（组合）是它的一个元素,其排列数（组合数）就是这个集合中的元素的个数．因此在许多排列组合问题中适当构造集合,将问题中的条件关系转化为可用集合图形表示出来的集合间的运算关系,运用看图筛选,多退少补的方法求出符合条件的集合中的元素个数,     

含切口的压电准晶组合结构界面断裂分析的辛-等几何耦合方法

发展了一种适用于含有切口的压电准晶/压电晶体/弹性体三材料组合结构界面断裂问题的高精度的半数值半解析方法.首先,通过引入Hamilton体系建立了三材料组合结构的Hamilton对偶方程,将原问题在传统Lagrange体系下的高阶偏微分控制方程转化为低阶常微分方程组.其次,通过分离变量法求解问题对应的辛本征值和本征解,将各物理场变量利用辛级数展开形式表示.最后,将辛级数与等几何分析方法相结合,获得了辛-等几何耦合列式,直接求得切口尖端附近奇异物理场及其强度因子的解析表达式.     

以凸包为工具求解组合几何题

组合几何诞生于20世纪中叶．是用组合数学的成果来解决几何学中的问题．主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里德性质．组合几何以其内容丰富．题目新颖，难度有层次而在竞赛数学中异军突起．分类是一种重要的数学思想方法，它分化了问题的难度．对每一子问题而言，原来问题中的不确定因素变成了确定因素(因为附加了已知条件)，     

一类机器人系统的最优控制

本文通过把结构阻尼系数当作控制变量来讨论一类弹性机器人系统的最优控制问题 ,并利用Banach空间几何性质证明了最优控制元的存在唯一性     

平面区域面积的线性表示

将平面区域面积之间的加减组合,用线性表示的方式进行描述,讨论了初等几何中计算平面区域阴影部分面积的一种新方法.     

高等数学教学中应重视几何直观的作用

在高等数学中几何方法与分析方法是密不可分的,分析法使问题严谨而富有哲理性,几何方法使问题形象直观,所讨论问题的几何意义对寻求问题的解具有启发性和指导意义.本文通过具体实例阐明了这一点.