巧用三角形中一个平面向量定理解题

在三角形中,有这样一个用面积表示的向量定理： 设O为△ABC内任意一点,记△BOC,△COA,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SAOA→＋SBOB→＋Sc→OC=0．     

向量命题的两种推广

文[1]用两种方法证明了向量命题：命题若P是△ABC内部一点,且λ1PA→＋λ2PB→＋λ3PC→=0→（λ1,λ2,λ3〉0）,记S△PBC=SA,S△PAC=SB,S△PAB=SC,则SA∶SB∶SC=λ1∶λ2∶λ3.     

巧用三角形中一个平面向量定理解题

在三角形中,有这样一个用面积表示的向量定理:设O为△ABC内任意一点,记△BOC,△COA,△AOB的面积分别为SA,SB,SC,则有SAOA→+SBOB→+SCO→C=0.     

三角形两个统一的向量性质

文[1]给出了三角形重心的两个性质,文[2]给出了三角形旁心的两个性质,文[3]给出了三角形外心的两个性质.读后深受启发,笔者对文[1][2][3]做了进一步的研究,得到了三角形两个统一的向量性质.性质1 经过△ABC所在平面上的一点O(不在顶点A上),任作一直线l,分别交边AB,AC所在直线于M,N两点,且→=m→(AB),→(AN)=n→(AC),用SA、SB、Sc、S分别表示△OBC、△OAC、△OAB,△ABC的面积(下文同),则(1)当点O落在区域①②时,有SB/m+SC/n=S.(2)当点O落在区域③时,有SB/m+SC/n=－S.(3)当点O落在区域④⑦时,有SB/m－SC/n=－S.(4)当点O落在区域⑤⑥时,有SB/m－SC/n=S.     

正三角形的面积与费尔马问题解

1问题的提出1．1对于给定的等边△PQR，已知其内一点O到三顶点的距离OP=α、OQ=b、OR=c，求等边△PQR的面积S．1．2以a、b、c为边构造一个三角形△ABC在平面上求一点S，使SA＋SB＋SC的值最小．（即费尔马最短距离（l）问题）2问题的解决2．1如图1所示，设正△PQR的边长为x，由余弦定理可知：2．2以a、b、c为边构造三角形△ABC如图2所示，费尔马提出如下问题：在平面上求一点S，使l=SA＋SB＋SC达到最小，即费尔马最短距离l．下面应用力学模拟方法解决此问题，如图3，在A、B、C处各打一小孔，取三条线绳扎结于S，然后穿孔各…     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

“三角形中的定理在四面体中的类比”一文的补充

文 [1]介绍了三角形中一些重要定理在四面体中的类比 .读后深受启发 ,但文 [1]还缺一些三角形性质的类比 ,作为该文的补充 ,笔者也介绍 3条类比性质 .1　中位线定理三角形的中位线平行于第三边 ,并且等于第三边的一半 .定理 1′　在四面体S ABC中 ,D ,E ,F分别是SA ,SB ,SC的中点 ,则平面DEF∥平面ABC ,并且△DEF的周长等于△ABC周长的一半 ,△DEF的面积等于△ABC面积的四分之一 .2　射影定理直角三角形一直角边的平方 ,等于它在斜边上的射影与斜边的乘积 .定理 2′　如图 1,在四面体S ABC中 ,SA ,SB ,SC两两垂直 ,S在平面…     

多边形的"向量重心"及其求作方法

人教A版必修4在《向量》一章中介绍了三角形重心的性质:若G是△ABC的重心,则→GA+→GB+→GC=→0,反之亦然. 　　因此我们可以认为△ABC的重心是这样定义的:若△ABC所在平面内一点G满足→GA+→GB+→GC=→0,则称点G为△ABC的重心.……     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…     

关于一个向量命题的否定与肯定

命题1 已知P是△ABC所在平面内一点,满足PA^→·PB^→＋PB^→·PC^→＋PC^→·PA^→=0,那么点P为△ABC的垂心．     

“重心”在手中 “五心”皆成功——三角形“五心”的向量统一表示

众所周知,点P是△ABC重心的充要条件是→(PA)+→(PB)+→(PC)=0.下面本文将从三角形重心出发,推出三角形“五心”的向量的两种统一表示方法[1].1 问题提出先请看下列经常出现在高考和竞赛中的向量问题:问题1 设△ABC内一点P满足m→(PA)+n→(PB)+l→(PC)=0(m,n,l为正常数),分别用Sa、Sb、Sc表示△BPC、△CPA、△APB的面积(下同),求Sa∶Sb∶Sc.分析 所给的向量等式与三角形的重心向量等式很相似,是否可以将它转化为三角形的重心呢?     

直线的向量参数方程的推广及应用

新人教必修4第二章平面向量：已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=（1-t）O→A＋tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA＋B→μO,当λ＋μ=1时,点P在直线L上,当λ＋μ≠1时,点P在哪？就这个问题做一下探讨,供参考.     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

用常见的面积关系解竞赛题

本文将一些常见图形中的面积关系进行归纳，将其用来解有关的数学竞赛题．先介绍有关的基本定理：1．三角形的三条中线将该三角形分成面积相等的六个三角形，其中三条中线的交点是该三角形的重心（如图1）．2．平行四边形两条对角线将该平行四边形分成面积相等的四个三角形（如图2）．3．平行四边形的边上任一点和对边两端点的连线将该平行四边形分成面积相等的两部分．Rll图3中的S。一sl＋sZ一会见。·I。·4．平行四边形内任一点与四个顶点的连线将其分成四个三角形，则对顶的两三角形面积之和相等．即图4中SI＋SZ-S3＋S4．5．任意四…     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…     

三角形中的一个共点性质

本文给出三角形中的一个共点性质,并兼证三角形重心的一个向量性质与三角形内心的一个向量性质． 性质 点M是△ABC内一点,直线BM交边AC于点E,直线CM交边AB于点F,过点M的直线分别交AB、AC于点P、Q,AF^→=mAB,AE^→=nAC^→,AP^→=xAB^→,AQ^→=yAC^→,则1-m/my＋1-n/nx=1-mn/mn.     

也谈重心向量形式的应用

文 [1]利用O是△ABC重心的充要条件是OA+OB +OC =0推出了如下有趣结论 .即文 [1]例 1.在△ABC中任取一点O ,用SA,SB,SC 分别表示△BOC ,△COA ,△AOB的面积 ,则SA·OA +SB·OB +SC·OC =0本文将对该问题作进一步分析 ,并推广到四面体 .为此 ,必须修正文 [1]给出的“定理 2” .即O是△ABC的重心的充要条件是S△AOB=S△BOC=S△COA.文 [1]把上述结论看成是显然成立而未给出证明 .事实上 ,其充分性不成立 .图 1　三角形如图 1,过△ABC各顶点分别作对边的平行线形成△A′B′C′ ,显然有S△AA′B=S△AA′C=S△BA′C…     

内接三角形的面积公式及其推广

若D,E,F各是△ABC三边BC,CA,AB上的点,则称△DEF为△ABC的内接三角形.如图1. 给定三角形的一个内接三角形,它的面积如何确定.笔者就此作了较为深入的探讨,得出了如下结论.