一道数学竞赛题证法的探究及推广

如图1,△ABC内接于⊙O,AC〉BC,点D为ACB的中点,求证：AD^2=AC·BC＋CD^2．     

一道竞赛题的证法探究

<正>沈文选教授主编的《初中数学竞赛中的几何问题》第17章习题中有这样一道题目:两个正三角形ABC,ADE有公共顶点A,点F,G,H分别是AD,BE,AC的中点,则△FGH是正三角形.在探索本题的证明时,由倍长中线的基本方法出发,意外发现容易构造△FGH的位似图形,图形中的线条关系明显清晰,题目顺利得证,真可谓山重水复疑无路,柳暗花明又一村.     

一道竞赛题的再证

题目：求证：在任意三角形ABC中,都有cosA/1-cosB·cosC＋cosB/1-cosA·cosC＋cosC/1-cosA·cosB≤2.文[1]用一个不等式和恒等式巧妙证明了这个不等式,但此方法不易想到,笔者经过探索,找到了一种直截了当的证法．     

一道陈省身杯数学奥林匹克竞赛题的多角度探究与推广

此题是2010年第一届陈省身杯全国高中数学奥林匹克第6题,文[1]已给出其三种证法,本文拟从不同的角度给出六种证法,并进行一般推广．     

一道竞赛题的朴素证法

由递推关系F_(n+2)=F_(n+1)+F_n(n∈N)和F_0=1, F_1=1所确定的数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…叫做裴波那契数列。裴波那契数列有很多性质,在这里只介绍两个下面要用到的(也是常用的)性质: (1)F_nF_(n+2)-F_(n+1)~2=(-1)~n; (2)F_(m+n)=F_mF_n+F_(m-1)F_(n-1)(m≥1,n≥1)。在现实生活中,很多现象与裴波那契数列有关;在数学竞赛中,考裴波那契数列的题目也不少,但对     

探究一道希望杯竞赛题

第二十三届希望杯全国数学邀请赛高一第一试试题中有这样一道最值题：     

一道竞赛题的证法集锦

一九八六年全国初中数学竞赛题第三题: “设P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQ,A为BC外一动点(如图)。当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?试证明你的结论”。这是一道源于教材、高于教材、难度适中、证法灵活、既考基础、又考能力的不可多得的好题;也是一道较好的综合训练的范例。本刊编辑部仅在十天之内就先后收到不少本题证法的来稿。现根据湖北洪湖县侯书清、湖南常德地区刘茂林、安徽宿州陈新昌、辽宁锦州张士贞、贵州普安石又栋、广西百色地区叶添蕃、湖北钟祥县贾双喜等同志的来稿综合成如下12种证法,供同行参考。首先不难猜想其为等腰三角形(此题实际上是由《几何》第一册P_(119)习题10演变而来),再看其证明:     

一道竞赛题的解法探究

解一道具有一定难度的数学题,刚开始也许会感到束手无策,但是,如果认真分析题设中所给出的条件,寻找条件与结论之间的内在联系,进行从已知到未知的沟通,就会找到解决问题的思路.下面以一道2011年江苏赛区初赛整除试题为例来探究它的解法.     

一道数学竞赛题的探究

2009年全国高中数学联赛一试第一项填空第7小题：一个由若干数字组成的数表,从第二行起每行中的每个数都等于其肩上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,     

一道竞赛题的探究

题目（2013年全国高中数学联赛湖北省预赛试题）设G为△ABC的重心,过点G作直线分别交边AB、AC于点M、N,已知AB=2,AC=槡3BC,求四边形MNCB的面积的最大值.     

一道竞赛题的证法再探

对如下一道竞赛题：已知a,b,c≥O,且a＋b＋c=1,求证：√a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3     

探究一道伊朗数学竞赛题

第20届伊朗数学奥林匹克中有这样一道吸引大家眼球的代数不等式竞赛试题：     

一道数学竞赛题的证法新探

<正>~~     

一道竞赛题的解法探究与变式

本文介绍一道竞赛题的多种解法,并进行变式探究．     

一道数学竞赛题的探究

题目（2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题）直角坐标系xOy中,设A、B、M是椭圆C：x^2/4＋y^2=1上的三点,     

一道数学竞赛题的探究

这是2009年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题,本文对这道试题作如下探究．     

一道二项式证明题的证法研究与改造

在二项式内容中曾做到这样一题:例题证明C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1(n∈N*).1例题的证法研究本题一般常见的证明方法有3种.证明1(数学归纳法)n=1时,左边=C11=1,右边=1·21-1=1,等式成立;假设n=k(k≥1)时等式也成立,即C1k 2C2k 3C3k … kCkk=k·2k-1,则n=k 1时,C1k 1 2C2k 1     

探究一道数列竞赛题

<正>题目（1979年加拿大竞赛题）设01=1+a,a_n+1=a+1/a_n（n∈N^*）,证明:对一切n∈N^*有a_n>1.此类数列常见诸竞赛题及高考题中,如:2005年普高招生全国统考福建卷压轴题     

一道竞赛题的解析证法

<正>2003年保加利亚国家数学奥林匹克(决赛)的第2题是:设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点,直线AH、BH分别交BC、AC于点M、N.(1)证明:∠NPC=∠MPC.(2)设O是MN与CP的交点,一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D、E两点.证明:∠EPC=∠DPC.此题的证明可见文[1],给出的是一种三角证法,本文这里再给出该题的另一种解析证法,供赏析参考.证明如图,建立平面直角坐标系,不妨     

一道竞赛题的解析证法

2003年保加利亚国家数学奥林匹克（决赛）的第2题是：设H是锐角△ABC的高线CP上的任一点,直线AH、BH分别交BC、AC于点M、N.（1）证明：∠NPC=∠MPC.（2）设O是MN与CP的交点,一条通过O的任意的直线交四边形CNHM的边于D、E两点.证明：∠EPC=∠DPC.此题的证明可见文[1],给出的是一种三角证法,本文这里再给出该题的另一种解析证法,供赏析参考.