一道数学奥林匹克竞赛试题的简证

题 (2007女子数学奥林匹克)已知a,b,c≥0,且a+b+c=1.求证:a+14(b-c)2+b+c≤3.……     

均值不等式的四个使用技巧

均值不等式的使用是一个学习难点 ,这里介绍 4个小技巧 ,帮助同学们熟悉并掌握其简单使用 .均值不等式中最常用的是a+b2 ≥ab(a ,b∈R+ ) ,下面以此不等式的应用为例说明 .1　简单累加累乘无需分组 ,对原有各组分别使用均值不等式 ,再做累加累乘即可 ,这应是优先考虑的情况 .例 1　已知a ,b,c >0 ,则a(b2 +c2 ) +b(c2 +a2 ) +c(a2 +b2 )≥ 6abc .解　左边≥a·2bc +b·2ca +c·2ab =6abc.其中等号成立当且仅当a =b =c时成立 .(下面各例等号成立均为a =b =c,为简便计 ,均省略 )例 2　已知a ,b >0 ,则　　 1a+1b1a2 +1b2 (a3+b3)≥ 8.解　左…     

不等式证明的几种方法

不等式是初等数学的重要内容 ,是研究方程和函数的重要工具 .不等式的证明题型多变 ,方法多样 ,技巧性强 ,无固定程序可循 .常用的不等式证明方法有比较法、综合法、分析法、函数法、放缩法、代换法、反证法、数学归纳法等等 .一、比较法 :比较法主要有作差比较法和作商比较法两种 .1.作差比较法 (简称比差法 ) :a、b、c≥ 0 ,求证 :a3 +b3 +c3 ≥ 3abc .证明 :a3 +b3 +c3 - 3abc=(a +b) 3 - 3ab(a +b) +c3 - 3abc=(a +b +c) 3 - 3(a +b)·c (a +b) +c -3ab(a +b +c)=(a +b +c) (a2 +b2 +c2 -ab -bc -ca)=12 (a +b +c)· (a -b) 2 + (b -c) …     

一个不等式的演变

高中数学新教材第二册 (上 )P1 1练习题 1是 :已知a、b、c都是正数 ,求证 (a +b) (b+c) (c+a)≥ 8abc .①这个不等式看似简单 ,但实际上隐含着极其丰富的内涵 ,许多数学竞赛题和数学问题 ,就是以它为源头 ,通过变换逐步演绎深化而成 ,真可谓一线串球 ,异彩纷呈 .对①式作变换 (a ,b ,c) → (b +c-a ,c+a-b ,a +b-c) ,可得 1 983年瑞士数学奥林匹克试题 :设a、b、c>0 ,则 (a+b -c) (b+c-a) (c+a-b) ≤abc.② (②式的条件可放宽为a、b、c≥ 0 )由上述变换可知 ,②式左边的三个因式均为正 ,即a、b、c可满足两边和大于第三边 ,于是把②式变形整…     

含向量的方程

在高三的一本数学复习资料中,有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题.下面在该题求解的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程.　　题目　已知a,b,c为非零向量且a⊥b,x∈R,x1,x2 是方程ax2 + bx + c=0的两实根,求证:x1=x2 .1　解法探讨错解　因为a⊥b则a·b=0 .b·(ax2 + bx+ c) =0 ,(b·a) x2 + b2 x+ b·c=0 ,∴　x=- b·cb2 .故,原方程只有唯一解,所以x1=x2 .错因分析　“将原方程两边同点乘b”,不是同解变形.b·(ax2 + b·x+ c) =0成立时,除了ax2 + bx+ c=0外,还有可能是b⊥(ax2 + bx+ c) .所以- (b·c) / b2不一定是原方程的解.…     

向量的数量积与数的乘法的若干区别

1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则…     

一道课本题的推广

新教材第二册上P30复习参考题第 8题 :已知a >b >c ,求证 :1a -b+ 1b -c+ 1c -a>0 .现对该题进行如下推广 .推广 1　若a >b >c ,m ,n均为正数 ,则 ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c-a ≥ 0 .证　∵ (a -c ) ( ma -b + nb -c) =m(a -b +b -c)a -b + n(a -b +b -c)b -c =m +n + [m·b -ca -b+n·a -bb -c]≥m +n + 2mn =(m +n) 2 ,故 :ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c -a ≥ 0 .推广 2　若a1>a2 >a3 >… >an >an + 1,则1a1-a2+ 1a2 -a3+… + 1an-an + 1+ n2an + 1-a1≥ 0证　利用柯西不等式 .∵ (an -an + 1) ( 1a1-a2+ 1a2 -a3+… +1an-an + 1) =[(a1-a2 ) …     

一个数学命题的拓广

原命题　已知 :a ,b ,c∈R+,且 a1+a+ b1+b+c1+c=1,求证 :a +b +c≥ 32 .证略 .此命题可以从以下几方面进行拓广 .1　保持条件不变 ,将结论的结构形式拓广为积、倒数之和、平方之和、平方倒数之和 ,立方之和及立方倒数之和等 .拓广 1　由 a1+a+ b1+b+ c1+c=1,变形为 :11+ 1a+ 11+ 1b+ 11+ 1c=1,令x =11+ 1a,y =11+ 1b,z =11+ 1c,则x + y +z =1.由 1a =1x- 1,1b=1y- 1,1c=1z- 1得1abc=1-xx ·1- yy ·1-zz =y +zx ·x +zy ·x + yz≥2 yzx ·2xzy ·2xyz =2 3,即abc≤ 2 - 3.由此可得新命题 :命题 1　已知a ,b ,c∈R+,且a1+a+ b1+b+ c1+c=1,…     

解向量问题时的几种典型错误

向量是一个重要的数学概念. 向量不同于数量,它有其自身的一套运算体系,但不少初学者由于对所学知识理解不深,从而导致在解答有关向量问题时,常常出现一些错误. 现分类例析如下,供大家参考.1. 混淆实数 0与零向量0→例 1　有四个式子: (1) 0→·a→ =0→; (2)O·a→ =0; ( 3 ) 0→ -MN=NM; ( 4 )AB+BC+CD+DA=0. 其中正确的个数是A. 3个　B. 1个　C. 2个　D. 4个错解: (1 )、( 2 )、( 3 )、( 4 )中式子全部正确,选D.剖析:考虑 (1)中,0→·a→表示零向量与任意向量a→的数量积,数量积是一个数,而不是向量0→; (2)中, 0·a→表…     

一位名师一道题

问题 :实数a ,b,c满足 (a +c) (a+b+c) <0 .求证 :(b -c) 2 >4a(a +b+c) .分析与解　要证的式子与二次方程的判别式形式相似 .故可构造辅助函数y=ax2 + (b-c)x + (a+b +c) .当a≠ 0时 ,二次函数过点P1( 0 ,a+b+c)及P2 ( -1 ,2 (a+c) ) .显见 ,y1y2 =2 (a+b +c) (a +c) <0 (已知条件 ) .即P1、P2 中有一点在x轴上方 ,另一点在x轴下方 .为此二次函数的图像与x轴相交 .所以　Δ =(b -c) 2 -4a(a +b +c) >0 .即得　 (b-c) 2 >4a(a+b+c) .当a=0时 ,由已知条件得c(b+c) <0 ,即b≠c,(b -c) 2 >0 ,结论也成立 .原命题得证 .构造二次函数来解题是一…     

一道2013年联赛题的另解

<正>题目(2013年全国初中数学联赛试题)已知实数a,b,c,d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.本刊5月下的参考答案同时采用了换元法和夹逼法,意境高,技巧性强.下面提供另两种常规解答,供学习参考.解法1由条件得(2a2+3c2)(2b2+3d2)=36,即4a2b2+6a2 d2+6b2c2+9c2 d2=36.由条件(ad-bc)2=6得a2 d2+b2c2-2abcd=6,∴6a2 d2+6b2c2=36+12abcd.∴4a2b2+12abcd+9c2 d2=0,∴(2ab+3cd)2=0,∴2ab=-3cd.再由条件得2(a2-b2)=-3(c2-d2),上面两式相乘得cd(a2-b2)=ab(c2-d2),     

一道数学竞赛题的简单证法

<正>在2007年女子数学奥林匹克竞赛试题中,有这样一道不等式赛题:题目已知a,b,c≥0,且a+b+c=1,求证:     

交换分配半环上的最小分配格同余

§ 1 .　Introduction　　AsemiringSisanalgebraicstructure(S ,+,·)consistingofanon emptysetStogetherwithtwobinaryoperations +and·onSsuchthat(S ,+)and(S ,·)aresemigroupsconnectedbyring likedistributivity[1 ] .AsemiringSiscalledacommutativesemiringif (S ,+)and(S ,·)arebothcommutative.AcommutativesemiringiscalledacommutativedistributivityifinStheadditionisdistributiveaboutmultiplication ,i.e.,ab +c =(a+c) (b+c) ,a +bc=(a +b) (a+c) holdsforalla ,b,c∈S[2 ] .Anequivalentrelationρonasemiring…     

分配半环上的可除半环同余

§ 1.　Introduction　　AsemiringSisanalgebraicsystem (S ,+ ,·)consistingofanon_emptysetStogetherwithtwobinaryoperations +and·onSsuchthat (S ,+ )and (S ,·)aresemigrolupscon nectedbyring_likedistributivity .AsemiringSiscalleddistributiveifinStheadditionisdis tributiveaboutmultiplication ,i.e .ab+c=(a+c) (b +c)anda+bc=(a +b) (a+c)holdforalla ,b ,c∈S .AsemiringSiscalleddivisibleif(S ,·)isagroup .AnequivalencerelationρonasemiringSiscalledacongruenceonS ,iffρisacongruenceon (S ,+ )and (…     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

课外练习

初一年级1.已知a +b =1a+ 1b≠ 0 ,试求出 (ab) 2 0 0 3 的值 .( )2 .设A△B =AB +A +B ,如 2△ 3 =2× 3 + 2+ 3 =11.(1)求 [(1△ 9)△ 9]△ 9;(2 )求 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9)3 .观察下列图形 :根据①、②、③图的规律 ,图④中三角形的个数是多少 ?初二年级1.已知a,b ,c为整数 ,且满足a2 +b2 +c2 =1,a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b) =-3 ,求a+b +c的值2 .如图 ,八个点处各写一个数字 ,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数 ,则代数式a +b +c +d -12 (e + f +g +h)a +b +c +d -13 (e + f +g +h)的值…     

第1714题的正确解答

数学通报等1714题:[1] 已知a,b,c∈R 且a b c=1,求征: a/b c2 b/c a2 c/a b2≥9/4.     

一道波罗的海竞赛题的简捷证法

问题1已知a,b,c>0,且abc=1,求证:a/(a2+2)+b/(b2+2)+c/(c2+2)≤1.文[1]给出了如上波罗的海数学竞赛试题的一种简单证明,只是不够简单明了,请看笔者提供的简捷证法:     

QUASI-FIELD AND SYSTEMS THEORY OVER QUASI-FIELD

Definition 1.Suppose that S is a set,(S,+,0)in a additive commutativemonoid,(S\O,·,1,-1)is a multiplication commutative group、 a∈S,o ·a=a·o=0and a,b,c∈S,a(b+c)=ab+ac.We call S a quasi-field. Theorem 1. Quasi—fields have only three kinds: