非线性有限元分析的非协调模式及存在的问题

利用非协调模式提高非线性有限元分析广泛采用的低阶单元的精度和性能,是国际计算力学界研究的热点和难点.阐述了国际上在非线性有限元分析中已广泛采用的增广假设应变法方法(the enhanced assumed strain, EAS)的基本原理,详细讨论了非协调模式用于非线性有限元分析保证收敛、稳定的条件及增广假设应变场插值函数的构造方法.介绍了国内学者关于几何非线性非协调模式的研究方法和研究成果: (1)从Hellinger-Reissner广义变分原理出发,提出了几何非线性非协调模式的收敛条件,并采用非线性计算的若干简化措施建立几何非线性非协调元的简化模型;(2)一类放松单元间协调要求的非线性广义变分原理,对几何非线性问题可以选择事先无协调约束的非协调函数建立非协调元,收敛性可以保证,并根据此非线性广义变分原理可建立C$^1$或C$^0$类几何非线性广义杂交元,C$^1$或C$^0$类精化杂交元和精化直接刚度法.指出了EAS方法用于非线性有限元分析存在的问题,即本构关系和求解方法的限制,并对非协调元应用于非线性有限元分析提出了展望.      

用广义变分原理和重调函数级数求解圆板的混合边值问题

1.前言弹性力学中的广义变分原理是一般性的变分原理.在这一原理中,自变函数可以任意选取,而自变函数问的相互关系(几何、物理、平衡三个方面)和边界条件由泛函的驻值来保证.这一变分原理广泛应用于有限元方法和弹性力学数值分析等问题中.利用广义变分原理求解弹性薄板弯曲问题的开创性工作可见文献[3].然而,在广义变分原理的具体应用方面,仍然存在着许多问题.例如,在弹性力学空间问题中,有位移,应变和应力等15个自变函数,人们还不太清楚怎样具体选择这些自变函数为好.又如,若选择的自变函数和受力物体的真实变形状态不适应时,此时广义变分原理不能导致近似解,有时甚至会得到错误的解答.     

对内爆炸荷载作用下地下竖井的动力响应一文的看法

《爆炸与冲击》杂志在1985年7月第5卷第3期发表了翟桐等的内爆炸荷载作用下地下竖井的动力响应一文（以后简称翟文）。文中提出了用无限元计及无限土体与结构相互作用的无限元法该单元的本质是在径向即Z轴（或）方向采用了e-n（n-1）),（n=1,2,）的函数组作为离散化形函数     

各向异性介质中的Green函数解

本文首先指出Ｗａｎｇ与Ａｃｈｅｎｂａｃｈ和Ｈａｎｙｇａ关于任意各向异性，不均匀（但性质渐变）的线弹性介质中的Ｇｒｅｅｎ函数解并非完备解，而是高频条件下的近似解，并以较简洁的步骤及三维Ｒａｄｏｎ变换，得到比文献（１），（２）更合理的Ｇｒｅｅｎ函数在高频近似下显示解。在此基础上具体讨论物均匀，横观各向同性介质中的Ｇｒｅｅｎ函数完备解。     

IMPOSING DISPLACEMENT BOUNDARY CONDITIONS WITH NITSCHE＇S METHOD IN ISOGEOMETRIC ANALYSIS

等几何分析使用 NURBS 基函数统一表示几何和分析模型, 消除了传统有限元的网格离散误差, 容易构造高阶连续的协调单元. 对于结构分析, 选择合适的几何参数可以得到光滑的应力解, 避免了后置处理的应力磨平. 但是由于 NURBS 基函数不具备插值性, 难以直接施加位移边界条件. 针对这一问题, 提出一种基于 Nitsche 变分原理的边界位移条件“弱”处理方法, 它具有一致稳定的弱形式, 不增加自由度, 方程组对称正定和不会产生病态矩阵等优点. 同时给出方法的稳定性条件, 并通过求解广义特征值问题计算稳定性系数. 最后, 数值算例表明 Nitsche 方法在h细化策略下能获得最优收敛率, 其结果要明显优于在控制顶点处直接施加位移约束.}     

等几何分析中采用Nitsche法施加位移边界条件

等几何分析使用NURBS基函数统一表示几何和分析模型,消除了传统有限元的网格离散误差,容易构造高阶连续的协调单元.对于结构分析,选择合适的几何参数可以得到光滑的应力解,避免了后置处理的应力磨平.但是由于NURBS基函数不具备插值性,难以直接施加位移边界条件.针对这一问题,提出一种基于Nitsche变分原理的边界位移条件"弱"处理方法,它具有一致稳定的弱形式,不增加自由度,方程组对称正定和不会产生病态矩阵等优点.同时给出方法的稳定性条件,并通过求解广义特征值问题计算稳定性系数.最后,数值算例表明Nitsche方法在h细化策略下能获得最优收敛率,其结果要明显优于在控制顶点处直接施加位移约束.     

一类Signorini问题的边界变分不等式

本文讨论了一类简化的Signorini问题。首先将原问题和一个边值问题建立联系，其次将原问题的解分解为不带不等边界条件的变分方程的解和一个变分不等式的解。然后利用边值问题的边界积分方程将变分不等式等价地化解为边界变分不等式。这样原求区域上的第一类椭圆变分不等式问题化解为求一个区域上的变分方程和一个边界变分不等式。最后说明了边界变分不等式解的存在唯一性。文末计算了柱面和半无限刚性基础的摩擦接触问题。结论表明文中方法具有较好的精度。     

弹性扁壳的广义变分原理及扁壳理论的某些问题

本文导出了一个以应力函数及挠度为变量函数的弹性扁壳的广义变分原理。在这个变分原理中,扁壳全部基本方程都是Euler方程,全部边界条件都是自然边界条件。 应用这个变分原理,我們討論了以下問題: 1.用应力函数及挠度表示几何边界条件的問題; 2.多連通扁壳的位移单位条件問題。 文内还导出了大挠度情形的广义变分原理。     

基于赫林格?赖斯纳变分原理的一致高效无网格本质边界条件施加方法

无网格法具有高阶连续光滑的形函数, 在结构分析中呈现出显著的精度优势. 但无网格形函数在节点处一般没有插值性, 导致伽辽金无网格法难以直接施加本质边界条件. 采用变分一致尼兹法施加边界条件的数值解具有良好的收敛性和稳定性, 因而得到了非常广泛的应用, 然而该方法仍然需要引入人工参数来保证算法的稳定性. 本文以赫林格?赖斯纳变分原理为基础, 建立了一种变分一致的本质边界条件施加方法. 该方法采用混合离散近似赫林格?赖斯纳变分原理弱形式中的位移和应力, 其中位移采用传统无网格形函数进行离散, 而应力则在背景积分单元中近似为相应阶次的多项式. 此时的无网格离散方程可视为一种新型的尼兹法施加本质边界条件, 其中修正变分项采用再生光滑梯度和无网格形函数进行混合离散, 稳定项则内嵌于赫林格?赖斯纳变分原理弱形式中, 无需额外增加稳定项, 消除了对人工参数的依赖性. 该方法无需计算复杂耗时的形函数导数, 并满足积分约束条件, 保证了数值求解的精度. 数值结果表明, 所提方法能够保证伽辽金无网格法的计算精度最优误差收敛率, 与传统的尼兹法相比明显提高了计算效率.      

薄板与圆柱薄壳大挠度计算的混合法

板壳几何非线性问题主要是从两个方面进行分析的:一是“微分方程法”,即求解非线性(对于薄板是指冯·卡门)微分方程组;二是“能量法”,即由总能量泛函的极值或驻值条件给出问题的解,也就是依据最小势能原理或最小余能原理来求解。本文提出一组介于“能量法”与“微分方程法”之间的混合方程:这就是,采用板、圆柱壳的中曲面势能泛函的极值方程以及挠曲平衡微分方程,共同作为分析其几何非线性问题的控制方程组。这组混合方程既有能量的概念又有平衡的概念——控制方程组中既有积分方程又有微分方程,这与传统的计算途径有所不同而具有一定的优越性。文中从变分原理证明了所提出的混合方程组的极值解即为该问题的真实解,并给出“中面自变函数u、v的泛函π的极值原理”。     

弹性接触问题线性互补法的摄动原理

为使弹性摩擦问题的线性互补法得到收敛性保证,提出一个摄动原理,证明了通过“摆脱摄动误差”可得到原离散模型的精确解。     

康托洛维奇-加权残数法

1.引言 弹性力学问题常可归结为求一未知的(列阵)函数u,使其在给定域内满足该问题的偏(或常)微分方程及边界条件,即 F(u)-f=0 (在Ω域内) P(u)-p=0 (在S界上)事实上,由于数学处理上的困难,可求出精确解的问题有限,因此各种数值分析方法相继发展。 康托洛维奇近似变分法是选用满足边界条件的函数系列及待定函数A_k(x_n),将变分问题的近似解写成:     

摩擦接触问题的比例边界等几何B可微方程组方法

摩擦接触问题是计算力学领域最具挑战性的问题之一,接触系统的泛函具有非线性、非光滑的特点,导致接触算法的收敛性与精确性难以保证.因此将比例边界等几何分析(scaled boundary isogeometric analysis,SBIGA)与B可微方程组(B dierential equation,BDE)相结合,提出了求解二维摩擦接触问题的比例边界等几何B可微方程组方法.在比例边界等几何坐标变换的基础上,通过虚功原理推导了关于边界控制点变量的接触平衡方程,表示成B可微方程组形式的接触条件可被严格满足,求解B可微方程组的算法的收敛性有理论保证.此比例边界等几何B可微方程组方法(SBIGA-BDE)只需在接触体边界进行等几何离散,使问题降低一维,能精确描述接触边界,并可通过节点插入算法进行真实接触区域的识别.此外,由于几何建模和数值分析使用相同的基函数,节约了划分网格的时间.以赫兹接触问题和悬臂梁摩擦接触问题为例,通过与解析解及数值计算软件ANSYS计算结果进行对比,验证了该方法求解二维摩擦接触问题的有效性及高精度等特点.      

热载荷作用下功能梯度材料梁的热粘弹性弯曲

由记忆型非均匀热粘弹性材料的积分型本构关系出发,在时空可分离松弛函数假设和平截面几何假设下,通过引进"结构热函数",建立了FGM梁热粘弹性弯曲问题的数学模型及其简化Gurtin型变分原理.在热弹性参数沿厚度方向呈幂律形式变化和热粘弹性松弛函数空域部分沿厚度方向呈指数形式变化的情况下,借助Ritz解和解析解,研究了热载荷作用下材料组分对热弹性/热粘弹性挠度响应和应力分布的影响,发现了热应力反向分布现象.     

关于几何规划迭代法的讨论

本文利用正定几何规划原问题与对偶问题的关系以及迭代结果,提出了具体估计理论解存在范围的方法;针对缩并函数性态不良时,变量在迭代过程中易来回振荡,不易收敛,甚至不收敛的问题,提出了在迭代中对对偶变量增加一修正步,以减小变量振荡的方法;并由此使从可行域外,用一系列正定几何规划逐次逼近原问题最优解的方法获得成功,从而扩大了Avriel-Williams方法的应用范围,改善了缩并函数性态不良时的收敛性.     

变分学直接法的若干进展(Ⅰ)

本世纪数学物理领域中具有重大意义的事件之一是所谓直接方法的引入和发展.Rayleigh和Ritz首先把这些方法应用于或许有极值但至少有驻值的变分问题,Galerkin又把它们推广应用到甚至没有驻值而仅含有虚功原理意义上的变分问题。本文将阐明,在直接法的发展过程中,怎样解决坐标函数的适当选择问题,以及怎样解决变分泛函无极值无驻值情况下直接方法的收敛性证明问题.由于直接法的应用在很大程度上依赖于最好至少存在具有驻值性质的基本泛函,所以本文将阐明这些泛函是怎样通过从通常的能量空间转换到包含伴随问题或算子变分而不是函数变分的更抽象的空间来获得。本文还考虑了直接法在初值问题中的应用,考虑了为避免麻烦的边界条件而对Galcrkin方程加以修正的问题.总之,本文指出最近的研究如何使直接法变得远比本世纪初刚刚被引入数学物理领域时普遍得多和应用广泛得多.      

基于分区径向基函数配点法的大变形分析

无网格法因为不需要划分网格, 可以避免网格畸变问题,使得其广泛应用于大变形和一些复杂问题. 径向基函数配点法是一种典型的强形式无网格法,这种方法具有完全不需要任何网格、求解过程简单、精度高、收敛性好以及易于扩展到高维空间等优点,但是由于其采用全域的形函数, 在求解高梯度问题时 存在精度较低和无法很好地反应局部特性的缺点. 针对这个问题,本文引入分区径向基函数配点法来求解局部存在高梯度的大变形问题. 基于完全拉格朗日格式,采用牛顿迭代法建立了分区径向基函数配点法在大变形分析中的增量求解模式.这种方法将求解域根据其几何特点划分成若干个子域, 在子域内构建径向基函数插值, 在界面上施加所有的界面连续条件,构建分块稀疏矩阵统一求解. 该方法仍然保持超收敛性, 且将原来的满阵转化成了稀疏矩阵, 降低了存储空间,提高了计算效率. 相比较于传统的径向基函数配点法和有限元法, 这种方法能够更好地反应局部特性和求解高梯度问题.数值分析表明该方法能够有效求解局部存在高梯度的大变形问题.      

接触分析的光滑模型及迭代算法

利用变分不等式和基于信息熵的凝聚函数把有摩擦接触问题模型化为一个标准的凸二次规划问题,极大地简化了这一复杂的问题,同时引入摩擦方向约束并构造了以无摩擦解为初值的迭代算法,在较摩擦系数时计算也能保证收敛,算例表明算法高效可靠。     

基于分区径向基函数配点法的大变形分析

无网格法因为不需要划分网格,可以避免网格畸变问题,使得其广泛应用于大变形和一些复杂问题.径向基函数配点法是一种典型的强形式无网格法,这种方法具有完全不需要任何网格、求解过程简单、精度高、收敛性好以及易于扩展到高维空间等优点,但是由于其采用全域的形函数,在求解高梯度问题时存在精度较低和无法很好地反应局部特性的缺点.针对这个问题,本文引入分区径向基函数配点法来求解局部存在高梯度的大变形问题.基于完全拉格朗日格式,采用牛顿迭代法建立了分区径向基函数配点法在大变形分析中的增量求解模式.这种方法将求解域根据其几何特点划分成若干个子域,在子域内构建径向基函数插值,在界面上施加所有的界面连续条件,构建分块稀疏矩阵统一求解.该方法仍然保持超收敛性,且将原来的满阵转化成了稀疏矩阵,降低了存储空间,提高了计算效率.相比较于传统的径向基函数配点法和有限元法,这种方法能够更好地反应局部特性和求解高梯度问题.数值分析表明该方法能够有效求解局部存在高梯度的大变形问题.     

基于最佳质量网格的薄板问题的非协调流形方法

对于大部分非协调板单元,使用规则网格能得到很好的效果。但是,当网格不规则时,非协调元的数值特性将变得很差,甚至收敛性得不到保证。为解决网格依赖性问题,许多专家学者提出了改造单元,如拟协调元法和广义协调元法,这些方法能解决收敛性问题,但是数值实践证明没有一种单元能在所有情况下都具有良好的数值特性。考虑到流形方法采用两套完全独立的覆盖系统,可以用规则的数学网格来作为数学覆盖进行插值,取得最佳的插值效果,单元收敛性便能得到保证。再结合适用于流形方法的变分提法,建立起流形方法处理非规则物理边界非协调板单元的一般格式。以ACM薄板单元为例,与ANSYS、拟协调元法和广义协调元法进行了对比,证明本文方法在处理具有曲线边界的薄板弯曲问题时具有收敛快和精度高等优势。