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“不是正数则必定是负数。”“绝对值总归是正的。”“x~2总大于零。”“求函数定义域时要根号内为正数。”“方程ax~2+bx+c=0有实根,则判别式△≥0。”“要使一元二次不等式ax~2+bx+c>0对于任何实数x恒成立,则判别式△<0。“a的零次幂为1”“R=R~+∪R~-”其中R表示实数集合,而R~+与R~-分别表示正数集合与负数集合。 相似文献
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利用微积分解决有关组合数的和的问题,往往能使解题过程大为简化.现列举数例介绍如下:一、利用微分法求组合数的和例2.求证:C二+ZC二+3C君+…+。C盆 =”.2一1证,i’(1+x)“=C盒+C孟劣+C二xZ+C沈x“+…+C器义” 故两边对x求一导,得 。(1+劣)一‘=C二+ZC盖二+3C寻x“+…+nC;x”一‘. 令,=1,则得 C二+ZC盖+3C盒+…+。C器=。·2”一’. 例2.求证:C只一ZC毛+3C二一4C盒+…+(一1)”(n+l)C盆二O(凡>2).证’:二(1一x).=C马x一C盖戈“+C二到一C二x峪+…+(一1).C竺x“+1.故两边对二求导,得(l一劣)”一nx(1一劣)“一‘二C日一ZC二盒x+3C… 相似文献
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反例在数学中有其独特的功能,对一个以全称量词引入的命题进行否定,一般可以举出符合条件,但结论不成立的例子,这样的例子就是反例.例如费马(1601-1665)根据n=1,2,3,4的情况,提出“形如22n+1(n∈N的数是素数”的猜想,结果被欧拉(1701-1783)否定了,理由是当n=5时,232+1=641×6700417,该数不是 相似文献
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定理1.若一数之末位数砺之n+]倍所粗成之数,与其余数砺所粗成之数之和,Rll孩数为10n+9之倍数.即:例3 .9 6 2 8.01:61为ion+。的倍数,1 4 5 74 24一318一小引.一2若a二iob+e,‘=b+(。+i)‘·, 己:10”+9,员Ua:10二+9. 涎明:ioJ一a=10[b+(。+i)el wea一1 01导+(·+‘,·」一(‘”一+”,二...己:10二+9,(10。+,)。:1 on+9,一n口一丹bs一一8︸臼勺R﹂ a:10。+9. 定理2.若一数之末位数礴之n倍所姐成之数与其余数砺所祖成之数之差,为1。二+1的倍数,Rlj敲数为10n十1的倍数.即若a=10石+e,d二吞一。。,RlJ敲明:61例4.1 12 8 5 7 03:79肠。一。8一… 相似文献
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刘秋生同志在女[1]中提出了一个較达朗貝尔法更有用的判别法,从而使得原来不能用达胡貝尔法判定斂散性的級数,如p級数也能用“比值法”判定。定理內容是这样的: 若单調递減的正項級数 sum from n=1 to ∞a_n=a_1+a_2+…+a_n+… (A)有 相似文献
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由高斯定理知道,首项系数为1的整系数参项式 了(二)一,”+a zx”一1+aZx”一2+…+a,一lx+a,的有理根为整数,且为a,的因数. 当我们应用“粽合除法”检脸r~,是否j(二)的整根时,归根到底避免不了爵算j(,)的值是否为零.因此,在本盾上仍是“代入法”.有时为了检歇a,的哪些拘数是j(二)的根,哪些不是f(劝的根,往往花费不少的时阴.譬如,耍检脸(一18)是否f(二乡=x夕一6x6+35x5+68二3一 一8x2一53丫一18的整根时,用“粽合除法”一18}1一6 350一18斗32一840668一8一53一18151308一272斗夕68斗90乙了5勺68一24467一84061513夕6一2夕24776最后知j(一15)… 相似文献
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把自然数列依次分成三个一组、五个一组、七个一组,…,再将每组中的数分成两部分,使前一部分的个数比后一部分的个数多1,就会发现如下一个有趣的现象: 1十2=3,4+5+6=7+8, 9+10+11+12=13+14+15…, 现在的问题是,能否找出类似的分组方式,但其初始数字不是1,而是其它某个自然数?每一组中前后两部分项数之差除1以外,还有没有其它?能否根据我们已知的任意一组 相似文献
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3+3+3=2;6+3=2,这是笑話嗎?不,这是完全真实的一个真理。确实有这样一些算术:6+3=2;3×4=5;3÷4=6,这些奇怪的等式,是在所谓“残数算术”中出現的。应用这个算术我們能够很快地根据已知数算出过200年后或是300年前的某一天是星期几。在这个算术中的残数可以看成是一个特别的数列。在普通算术中,自然数1,2,3,……有无限多个,它們是用来数有順序的东西的。例如,数书的頁数;铁路的公里牌;紀元年次(1960,1961,……);排队的报数等等。但是要数站成一个圓圈的七个人却不是用的 相似文献
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一切偶数都能被2整除,凡末位是“5”或“零”的数都能被5整除,这就无須再討論了。下面討論自然数对于其它貭数的可除性。对于其它的质数p其个位数必为:1,3,7,9这四种类型。这时可以找到自然数1,使lp+1为10的倍数。事实上,对于以上四种类型,分别取l为9,3,7,1即可。定理1.自然数N能被貭数p(p≠2,5)整除的充要条件是截去N的末位数后,在十位数上加上末位数的a倍,所得的数能被p整除。其中a滿足条件lp+1=10a。更一般地說,有自然数N=10x+y能被貭数p整除的充要条件是 N′=x+ay能被p整除。 証.Ⅰ.必要性。設N能被质数p整除,則N=pq。再将N写成 N=10x+y的形状。现在証明 相似文献
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用随机方法证明一类组合恒等式 总被引:1,自引:1,他引:0
在组合恒等式∑sk1=0Ck1n1Cs- k1n2 =Csn1+ n2 s=0 ,1 ,2 ,… ,n1+n2 ( 1 )的各种证法中 ,最简捷的要数概率方法的证明。恒等式 ( 1 )的一种概率方法证明是 :考虑如下的随机试验 ;设有一批产品 ,其中 n1件是次品 ,n2 件是正品 ,现从中随机地取 s件 ,则这 s件中的次品数“ξ=k”的概率是 P(ξ=k) =Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2由于在 S件产品中次品数可能是 0 ,1 ,2 ,… ,s。共 s+1种 ,它们彼此互不相容 ,且这 ( s+1 )个事件之并为必然事件 ,故有∑sk1=0p(ξ =k) =∑sk1=0Ckn1Cs- kn2Csn1+ n2=1 即 ( 1 )得证 由等式 ( 1 )… 相似文献
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从古至今,“数”的概念是逐漸扩充,逐漸认識的。例如,最早的人們由于生产力的低下而只有“一”、“二”及“多”三个概念。后来便由生产力进一步发展的需要而产生了“一”、“二”、“三”、“四”、……等正整数概念,并且有了文字符号的表达,其中比較流行的是經欧化了的阿拉伯字母所記載的写法“1”,“2”,“3”,“4”……等等。之后,由于負整数的引进而将0,±1,±2,±3,±4,……等所成的系統称为整数系統,每一个“数”叫‘整数”(負的、正的或零)。再进一步便由除法运算(除数不为零)产生了分数m/n(n(?)0),便有了所謂“有理数”的概念。进一步研究方程的根,例如象x~2-2=0的解,記成x=2~(1/2),便是一个非有理数的“数”,称为“无理数”。人們还从方程x~2+1=0的求解过程中引进了“虛数”i=-1~(1/2)(i~2=-1),并以实数a与b出发所作的一个新数a+bi称为“复数”。复数包括了实数(无理的及有理的),而实数包含了有理数,它又包含了整数(正的、負的及零)。这一个过程便是“数”的概念的扩张过程的具体情形。 相似文献
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有些可积类型的常微分方程求解问题 ,在具体求解过程中需要一些技巧。下面是我做题的一点体会——“1”的妙用。( 1 )“1”的加减法例 1 求解 dydx=x+y解 该题不能用分离变量来做 ,我们在等式两边都加上“1”,得d( x +y)dx =x +y +1下面就很自然了 : ln|x+y+1 |=x+c1 x+y+1 =cex y=cex-x-1( 2 )“1”的除法利用函数与其反函数的导数之间的关系dydx=1dxdy 例 2 试求解dydx=1xcosy +sin2 y 解 化为一阶线性方程dxdy=xcosy +sin2 yx =e∫cosydy( ∫sin2 ye∫- cosydydy +c… 相似文献
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在公元2006年到来之际,谨拟有关“2006” 五题,喜庆新年,以飨读者. 题1 .口2006. a,!2二,。。+1一兰(,任N+),试求二1 口” 解由题意有内 l2 一一,a3一一一乙x, X a2 l 2一内 反4= l 一一,“.‘,a2006- j X 倪z .aZoo6一Zx· X 题2 +a3+a;+ {a。}是公差为l …+a:。。 =3962 的等差数列,al+自 ,试证:a:十a、+吼 +…十a 100 证明 =2006. 由题意有a。一a,+l,a、~a3+i …,al。。=aog+1, :’(al十1)+aZ十(a3+1)十a、十 …+(a99十1)+a,。。 =3962+50=4012. a:+a、+a6+…+al。。一2006. 题3已知a,b,。是不为。的实数,且a+ b… 相似文献
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《数学通报》1983,(2)
一”悠(,十劲”存在性证明\/“’a““’“”‘’毛山十向十’”咔一‘+七 那十l〔广州师院张映东,安徽铜凌四中张晓铭分别供稿)利用不等式(a‘李0)并令‘二。、,b=,:二a:““一‘十、,可得翻+1丫,丁‘竺土竺色“口“~邢十1(1) 2”_2”一2_”一IJ由(1一A)有In”=In一万一多2不反了二2石耳一i吸件(1一E)从而用。二l以及b“1十上代入(1),就知为自然数。.丫(‘+劲”(1+告)”簇(,毛丝生卫邪十l 1=1+不百-r.一)”“”=1时等号成立)艺In*)2艺些二卫左+1h=1k=1”十这说明/。一(1+勃”是单调上升且递增的, r二,:、、即’n(川)多2}山_、‘一石飞/!… 相似文献
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1 引论我们先引述古希腊最著名的评论家Proclus(普洛克努斯 )的一句名言 :哪里有数 ,哪里就有美 .———Proclus然而在那无穷多个数中比下述三个基本常数2、π&e更有名的数恐怕是寥寥无几了 .最近《数学传播》季刊发表了本文作者之一的一篇论文“高斯函数和它的一个现实原型” ,公布了 2的一个“优美比”① :22 =1 - 13+ 15 - 17+ 19- 11 1 +…1 + 13- 15 - 17+ 19+ 11 1 -…或2 =1 + 13- 15 - 17+ 19+ 11 1 -…1 - 13+ 15 + 17- 19- 11 1 +….从而由圆周率π的Gregory—Leibniz(格雷戈里—莱布尼茨 )展式 ,以及对数函数的幂级数展式 ,把… 相似文献
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拆项是一种常见的代数恒等变形 ,恰当地拆项有着“拆一拆 ,算得快”的妙用 .一、用于计算例 1 计算 :2 0 0 2 2 - 2 0 0 3× 2 0 0 1.分析 :把“2 0 0 3”拆成“2 0 0 2 + 1” ;把“2 0 0 1”拆成“2 0 0 2 - 1” .解 :原式 =2 0 0 2 2 - ( 2 0 0 2 + 1) ( 2 0 0 2 - 1)=2 0 0 2 2 - 2 0 0 2 2 + 1=1.例 2 计算 :11× 2 + 12× 3 + 13× 4 +… 12 0 0 2× 2 0 0 3 .分析 :将“ 1n(n + 1) ”拆成“1n- 1n + 1” .解 :原式 =1- 12 + 12 + 13 + 13 - 14 + 14 +…12 0 0 2 - 12 0 0 3=1- 12 0 0 3=2 0 0 22 0 0 3 .例 3 计算 :( 2x - 2… 相似文献