区组设计的矩阵象的计算及其应用

平衡区组设计是对传统平衡不完全区组设计(BIBD)、部分平衡不完全区组设计(PBIBD)和拉丁矩阵(或拉丁方)设计等区组设计的一种推广,这种区组设计比传统区组设计的多种平衡条件更弱,满足新平衡条件的平衡区组设计更多,也更容易构造,并且新构造出的区组设计仍然保持着原有各种形式的区组设计的各种平衡性,因而保持着在统计分析中的优良性质,从而可以和原来各种形式平衡区组设计一样用于试验设计和统计分析.研究新的一般区组设计的性质的一个重要工具是它们的矩阵象性质.首先对一般区组设计的矩阵象的定义和计算进行研究,这些矩阵象的运算性质和正交表的矩阵象运算性质基本类似,可以和正交表的矩阵象一样进行应用.正交表矩阵象的主要应用有两方面:正交表构造和数据分析研究.先把平衡区组设计的矩阵象应用于简单构造平衡区组设计.     

平衡区组正交表的Kronecker积替换构造

平衡区组正交表是一种有别于传统正交表的新设计,这种设计保持了正交表对应区组设计的相遇平衡性、组间平衡性和正交平衡性,因此也具备了传统平衡不完全区组(BIB)设计、拉丁方设计、拉丁矩阵设计等数据分析的优良性质和相应的组合分析性质.性质保证了平衡区组正交表与正交表一样具有试验数据分析结论的再现性和试验中心的稳定性,是比广义正交表更加接近于正交表的一种试验设计表.通过对平衡区组正交表的构造方法进行研究,发现在已知平衡区组正交表的基础上,利用矩阵象理论,经过Kronecker积替换构造,可以构造许多新的平衡区组正交表.     

正交平衡区组设计统计分析模型的参数估计

正交平衡区组设计(或者广义正交表)的数据分析类似于正交拉丁方(或者正交表)的数据分析,但试验次数大幅减少.引入了相遇平衡区组设计矩阵象的概念,定义了一种基于正交相遇平衡区组设计(或者广义正交表)的统计分析模型,根据这个模型,推导得到了参数的最小二乘估计.     

平衡区组正交表的分层叠加技术

平衡区组正交表是一种类似于正交表的新设计,它相应的区组设计要求相遇平衡、组间平衡和正交性.它是正交表的推广,它可以像正交表一样进行试验设计和数据分析,但试验次数大幅减少.平衡区组正交表的构造技术,也和正交表类似.在正交表的构造技术中,基于矩阵象理论,相关文献,推导出了一个简单的分层叠加技术,对于两个只有一列水平数不一定相同的正交表,先将这两列的水平重新编号,叠加形成一个高水平列,其水平数是原来两个正交表对应列的水平数之和,其它列保持不变分层叠加在一起,就形成新的具有一列高水平的正交表.将证明这种正交表分层叠加技术也适用于平衡区组正交表的构造.最后通过算例验证了这种技术的有效性.     

链式区组设计与广义正交表

在区组设计理论中,当区组水平(处理)数很大时,经常采用一种链式区组设计.在基于链式区组设计收集数据时,相应的设计表已经不是平衡不完全区组设计(BIBD),因此基于BIBD的数据分析发展成的链式区组设计的数据分析方法将存在不足之处,突出的特点是试验的数据分析结论不再具有再现性.为了保证新的设计表仍然具有试验数据分析结论的再现性,至少需要相应的设计表是广义正交表,即至少需要保持新的设计表具有相遇平衡和正交平衡性质.也就是说:在某种条件下,基于链式区组设计收集数据,也能保证试验数据分析的结论具有再现性,仅需相应的新设计表是广义正交表即可.研究发现:在链式区组设计中,相应的设计表在某些条件下可以是广义正交表.从广义正交表的角度来看,证明了,将对称BIBD作为小组下标,由此构造的链式区组设计对应的设计表,仍然是广义正交表,从而说明了链式区组设计方法可以在试验设计理论中有条件的使用.这也启发可以把链式区组试验设计方法扩充成广义正交表的构造方法.     

正交平衡区组设计统计模型中的方差分析

正交平衡区组设计(或广义正交表)的数据分析类似于正交拉丁方(或正交表)的数据分析.利用类似于正交表数据分析中的投影矩阵的正交分解技术,研究正交平衡区组设计的统计分析模型,给出了方差分析中的二次型以及各因子的二次型的分布性质,从而给出正交平衡区组设计统计模型中的方差分析方法.     

正交平衡区组设计统计分析模型参数估计的矩阵表达

正交平衡区组设计(或者广义正交表)是一种类似于正交拉丁方(或者正交表)的新设计,但试验次数大幅减少.定义了一种基于正交相遇平衡区组设计(或者广义正交表)的统计分析模型,根据这个模型,给出了参数的最小二乘估计的矩阵形式.     

广义正交表交互作用自由度分布的判定

正交相遇平衡区组设计(或者广义正交表)是一种类似于正交拉丁方(或者正交表)的新设计,但试验次数大幅减少.与交互作用有关的混杂现象是正交设计也是正交相遇平衡区组设计的难点,利用矩阵象技术,给出了广义正交表交互作用自由度分布的判定方法,借助于SAS软件可以方便快速的进行判定.     

正交平衡区组设计矩阵象的概念及其基本定理

给出了正交平衡区组设计(或广义正交表)的矩阵象的概念及例子,证明了矩阵象的几个基本定理,得出了正交平衡区组设计的正交性等价于矩阵象的正交性的重要结论,从而为利用正交平衡区组设计进行数据分析提供了理论依据.     

正交平衡区组设计统计分析模型参数估计的分布特征研究

正交平衡区组设计(或者广义正交表)是一种类似于正交拉丁方(或者正交表)的新设计,但试验次数大幅减少.通过对正交平衡区组设计统计分析模型参数估计的分布特征进行了深入研究.研究发现,在试验数据正态性的情况下,各种参数估计也服从正态分布,并且各种参数的最小二乘估计都是无偏的,得到了各种参数估计的方差和独立性性质.     

组间平衡区组设计的性质及应用

区组设计的平衡性是对区组设计研究的重要概念,而组间平衡是其中基于重复次数概念的一种平衡性.探讨了组间平衡性的相关哲学概念和数学性质,并且从理论上证明了组间平衡区组设计的数学判定条件,并给出了计算机验证组间平衡性的方法.作为应用,在一般象数学的试验设计模型的基础上,证明了具有组间平衡性质的广义正交表,不但使得试验因子效应的估计无偏和方差最小,而且可以使得对试验中心值或者总体均值的估计无偏和方差最小,并且在区组试验数据较大时,其估计和区组大小的分解式基本无关,保证试验的数据分析结论具有再现性.     

完全组内平衡区组设计的性质及应用

本文研究了完全组内平衡性的相关哲学概念和数学性质.利用多边矩阵理论,证明了完全组内平衡区组设计的数学判定条件,给出了计算机验证完全组内平衡性的方法,推广了正交表的平衡性质.     

广义正交表正交性的等价条件

广义正交表是一种类似于正交表的新设计.正交平衡性是广义正交表必须满足的基本要求之一,它是正交表正交性的推广,它能够使得试验因子在方差分析中保持柯赫伦定理成立,因而可以像正交表一样进行试验设计和方差分析,从而不但保证其数据分析模型符合"不自生"逻辑,而且也可以保证试验因子的各种关系比较的数据分析结论具有客观一致性和可重复再现性,但试验次数大幅减少.利用矩阵象技术,提出并证明了广义正交表的组合正交性不但等价于其矩阵象的正交性,而且也等价于其广义关联矩阵的正交性.借助于SAS软件可以方便快速的验证某些区组设计相应的行列设计是否为广义正交表.     

具有整体平衡性质的广义正交表的替换构造及其应用

广义正交表是一种能够保证试验因子的数据分析结论具有再现性的最基本的设计表.试验设计的整体平衡性是关于系统中心、区组因子(可观测的干扰因子)、试验因子(可控因子)、试验误差(未知不可控因子)整体全面思维角度的一种平衡.具有整体平衡性质的广义正交表是在整体全面思维的角度能够保证总体均值、区组因子、试验因子、试验误差标准差的估计具有再现性的设计表.设计表的构造是试验设计的重要问题之一.类比正交表的替换构造方法,提出了一种具有整体平衡性质的广义正交表的一种替换构造方法,并通过算例说明此种构造方法的实用性.     

平衡区组正交表的分列和并列技术

平衡区组正交表的构造类似于正交表的构造.例如:正交表构造理论中有一个常用的分列和并列技术,这种技术能否推广到平衡区组正交表的构造理论之中呢?本文探讨了用某些已知低水平的设计表替换平衡区组正交表的高水平列(分列技术),或者已知的平衡区组正交表的多个低水平列,合并成一个高水平列(并列技术).研究发现:用正交表作为桥梁,可以进行平衡区组正交表的分列和并列构造.不但从理论上证明了结论,而且用算例分析验证了此构造方法的有效性.     

广义正交表方差分析的矩阵计算形式

广义正交表是一种类似于正交表的新设计.它是正交表的推广,可以像正交表一样进行试验设计和数据分析,但试验次数大幅减少.方差分析是统计推断的内容之一,本文从自由模型出发考虑方差分析,采用矩阵象技术,给出了广义正交表方差分析的矩阵计算形式,借助SAS软件可以方便快速的实现.     

平衡区组正交表与正交表的比较及应用

对平衡区组正交表和正交表进行的数据分析作了比较,表现出平衡区组正交表的优良性.给出了平衡区组正交表的应用实例,且对试验结果进行了分析.同时得出,分别用平衡区组正交表GL6(3221)和正交表L9(34)处理同一个问题时,所得试验结果一致.     

混合区组试验的设计与分析

本文设计了一种混合区组试验，这种试验是在试验环境的一个方向上采用随机区组设计，在另一个方向上采用平衡不完全区组设计，从而可以控制两个方向上的环境差异，适用于不能安排拉丁方设计和３义向随机区组设计的试验，其精确度相当于拉丁方试验的精确度。本文通过实例分析说明了混合区组试验设计具有较高的实用价值。     

不完全区组设计与析因分析的新方法

本文利用正交试验,将析因设计、区组设计及统计分析统一于一张正交表上。该方法有良好的试验效果,并节省试验次数。     

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对试验次数较小的情形, 我们可以运用穷举法来寻找其可能存在的正交平衡区组设计. 这样做一方面可以尽可能多地找到正交平衡区组设计, 另一方面也可以为今后我们构造试验次数较大的正交平衡区组设计奠定基础. 本文最后给出了试验次数n=9以内的部分正交平衡区组设计.