一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

二元不等式所表示的区域

在高中数学试验教材《平面解析几何》①P108—110定理2:平面上两点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)分居直线l:Ax+By+C=0的两侧,则Ax_1+By_1+C与Ax_2+By_2+C异号。如果P_1、P_2在直线l:Ax+By+C=0的同侧,则Ax_1+By_1+C与Ax_2+By_2+C同号。从此导出二元一次不等式的解法。这一定理能否推广到般二元不等式?本文将给出二元不等式解法的理论依据与实际解法。为了表达的方便,先介绍n次代数曲线的基本知识。定义1 n次代数方程     

二元一次不等式组的封闭区域的应用

本文试图说明:二元一次不等式组的解在直角坐标系中所表示的封闭区域,对于不等式或极值的有关题解有特殊的作用。1 封闭区域存在的依据我们知道:在直角坐标系中,点P(x_1,y_1)在直线Ax By C=0上时,Ax_1 By_1 C=0;点P(x_1,y_1)不在该直线上时,有Ax_1 By_1 C>0或Ax_1 By_1 C<0,这样直线Ax By C=0把坐标平面划分为两部分区域,使Ax By C>0的点P(x_1,y_1)所在区域称为Ax By     

争鸣

问题问题134用线性规划知识,可得如图1,若M_1(x_1,y_1),M_2(X_2,y_2)在直线l:Ax By C=0的两侧,得(Ax_1 By_1 C)(Ax_2 By_2 C)<0.笔者通过类比,猜测以下结论也应成立,但不会证明,请读者判断真假:     

点和线位置关系的几个结论在解题中的应用

对于点和曲线的位置关系,我们有 命题1 设点M的坐标为(x_0,y_0),直线l的方程为 Ax+By+C=0(B>0),则点M在l的上方?Ax_0+By_0+C>0;点M在l上?Ax_0     

关于求点和直线间距离的公式中符号的确定

在现行中学数学教学大纲中,已经删去了直线方程的法线式。但是,却产生了一个问题:在应用点到直线的距离公式时,如何由点与直线的位置关系来确定公式中符号。不少教科书上尽管不用法线式而推证了点到直线的距离公式,然而对这个问题并未作回答。本文就这个问题给出一个判别法则。兹简述于后。 一、点P(x_1,y_1)在直线l:Ax+By+C=0(B>O~*)的上方(或下方)的充要条件是 Ax_1+By_1+C>0(或Ax_1+By_1+C<0)     

圆锥曲线的切线和切点弦方程的应用

<正>定理1过圆锥曲线C:Ax~2+By~2+Dx+Ey+F=0(A、B不同时为0)上一点P(x_0,y_0)的切线方程为:Ax_0x+By_0y+D(x_0+x/2)+E(y_0+y/2)+F=0.证明设切线方程为x=m(y-y_0)+x_0,代入曲线方程C中有:A[m(y-y_0)+x_0]~2+     

圆锥曲线的内、外点及切线型直线

一条圆锥曲线c的方程总可以表为 f(x,y)=Ax~2+2Bxy十Cy~2十2Dx十2Ey+F=0(1) 设P_0(x_0,y_0)为平面上一点,若F_1(x_0,y_0)Ax_0+By_0+D≠0或F_2(x_0,y_0) Bx_0十Cy_0+E≠0,则称P_0为c的正常点。否则称P_0为c的中心点。     

圆锥曲线划分平面的定理及其证明

关于直线划分平面有一个容易记忆,应用方便的重要结论。即,直线l:f(x,y)≡Ax+By+C=0(简记为f(x,y)=0)把平面上不在l上的点划分成两个区域,点P_1(x_1,y_1)和P_2(x_2,y_2)在同一个区域(或在不同区域)的充要条件是函数值f(x_1,y_1)和f(x_2,y_2)同号(或异号)(见文[2])。对于圆锥曲线Γ:F(x,y)≡Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0(简记为F(x,y)=0),如果我们约定,圆     

由一点向圆锥曲线引切线

众所周知,圆锥曲线f(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0上一点P(x_0,y_0)的切线是f＇=Ax_0x+By_0x+Bx_0+Cy_0+D(x_0+x)+E(y_0+y)+F=0,利用公式f＇=0,可以求得曲线上一点的切线方程。但点P(x_0,y_0)不在曲线f=0上时,过点P所作的切线是用判别式法,方法麻烦。本文欲介绍一个定理,可得求切线的一般简易方法。定理由一点P(x_0,y_0)向非退化圆锥曲线f(x,y)=0所引的切线是 f＇~2-f_0f＇=0 这里f_0=Ax_0~2+2Bx_0y_0+Cy_0~2+2Dx_0     

点到直线距离公式的一些应用

部编教材初中几何第七章第7节介绍了有关点到直线的距离公式:“平面内一点P(x_0,y_0)到直线Ax By C=0的距离d=|Ax_0 By_0 C|/(A~2 B~2)~(1/2).教材是从直线方程的一般式出发导出这个公式的,学生比较容易理解,教学时重点应放在公式的应用上.本文想就初中数学范围内,谈这个公式的一些应用.     

关于点到直线距离公式的几种推导方法

本文是综合唐柏令、杨贤其二同志来稿内容而成。文中前四个方法由唐柏令撰写,第五个方法由杨贤其同志撰写。本文主要介绍几种在不引进直线的法线式的情况下,证明由已知点P_0(x_0,y-0)到直线L:Ax+By+c=0的距离公式d=(|Ax_0+By_0+C|)/(A~2+B~3)~(1/2)     

点到直线距离公式中符号的确定

现行六年制重点中学数学课本《解析几何》中,关于点P(x_0,y_0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式的推导,改变了原试用本教材中根据点线距离的定义,思路自然,比旧教材中由直线的法线式推导点线距离公式更为优越。但是,教材对点线距离公式d=±(Ax_0+By_0+C)/(A~2+B~2)~(1/2)中“±”号的确定没给出一定的法则,因而使公式的应用受到一定的限制,使得在解决有关证明或轨迹问题时发生困难,大大削弱了公式的使用价值。例如,用解析法证明“等边三角形内任意一点到三边距离之和等于三角形的高”这一命题时,若不确定公式中的正负号而使用书上所给出的距离公式,就会遇到较大的困难。我们认为,在讲授这一公式时应补充符号法则,以     

2014年一道高考题探究

<正>题目已知双曲线C:(x²)/(a2)/(a²)-y2)-y²=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a2=1的右焦点F,点A、B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(Ⅰ)求双曲线C的方程;(Ⅱ)过C上一点P(x_0,y_0)(y_0≠0)的直线l:(x_0x)/a²-y_0y=1与直线AF相交于点M,与直     

由x_0x+y_0y=R~2所想到的

我们知道,经过圆的x~2+y~2=R~2上任意一点P(x_0,y_0)的切线方程为:x_0x+y_0y=R~2记住并直接利用这个公式,能加快解题速度,收到事半功倍的效果,它的证明较易,本文从略。下面举一例说明。例:求过点(3,4)且到原点距离为5的直线方程。解;依题意知:所求直线到原点距离为5,因此,此直线可看成是过圆x~2+y~2=25上一点P(3,4)的一条切线,故此直线方程为: 3x+4y=25 细心的同学会发问:如果这点P(x_0,y_0)不在圆上,那么方程:x_0x+y_0y=R~2的几何意义又是什么呢? 下面着重谈谈这个问题: 首先,我们设P(x_0,y_0)在定圆x~2+y~2     

巧用斜率公式二例

已知 A、B 两点的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2)(x_1≠x_2),则直线 AB 的斜率为 k=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)。这是大家十分熟悉的两点间的斜率公式,巧用这个公式解题.有时可以收到事半功倍之效。例1 当 k 为何值时,直线 y=kx+2k+1与直线2x+y-4=0的交点位于第一象限.分析:见到这道题,一般会想到用这样的方     

中点弦所在的直线方程

已知平面上一点M(x_0,y_0)以及二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)简记为G(x,y)=0。又方程Ax_o+B(y_0+x_0y)/2+Cy_0+D(x+x_0)/2+E(y+y_0)/2+F=0简记为 G＇_(x_0,y_0)(x,y)=0 (2)显然有① G＇_(x_0,y_0)(x,y)=G＇_(x,y)(x_0,y_0) ② G＇_(x_0,y_0)(x_0,y_0)=G(x_0,y_0)我们有如下众所周知的结论1)当M(x_0,y_0)在曲线(1)上时,方程(2)表     

一道定点问题的推广

<正>已知椭圆C的方程为x²/2+y2/2+y²=1,过椭圆C的右焦点F且与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点,B关于x轴的对称点为点D.求证:直线AD过定点.证明设过点F(1,0)的直线AB的方程为y=k(x-1),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则D(x_2,-y_2).     

斜率定值竞赛题的探究与引申

<正>题目(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,并且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)如图1,设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),若直线PQ平分     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。