点差法及其应用

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时,常设出弦端点坐标,并代入圆锥曲线方程得两式,将两式相减.这种解题方法,不妨叫设点求差法,简称点差法,其解题的主要步骤有:1.设弦的端点坐标;2.代入方程两式相减;3.建立端点与中点的坐标关系;4.求弦所在直线斜率.点差法解题过程规律化,运算简单化,适     

点差法及其应用

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时，常设出弦端点坐标，并代入圆锥曲线方程得两式，将两式相减．这种解题方法，不妨叫设点求差法，简称点差法，其解题的主要步骤有：     

点差法与向量联手简解中点弦问题

中点弦问题是直线与圆锥曲线的重要题型,也是高考的热点问题.在解答中点弦问题中的一个比较理想的方法是,点差法与直线斜率联合解题.它比用根与系数的关系和直线斜率联合解题,具有"设而不求"减少运算量的功效,但美中不足的是,有时需要对斜率的存在性进行分类讨论,甚至在运算变形过程中还要进行第二次分类,很容易造成逻辑上的混乱和表达上的困难,常给人"会而不对,对而不全,全而不美"的解题感受.向量是解决直线问题的一把利剑,若将点差法与向量联手,则可达到一种新的解题效果和解题体验.     

别样的“点差法”

对于非中点弦问题,用“点差法”解题会有出奇制胜的效果,体现整体意识,简单自然,直击问题核心,本文结合实例进行说明.     

用点差法解决直线被二次曲线所截弦问题的研究

圆锥曲线问题是历届高考的重头戏．其中，设点作差法(简称为“点差法”)在解决直线被二次曲线所截弦的问题中有着广泛运用．在初学点差法时，我由于没有吃透它的实质，做起题来思路很乱．经过反复思考，我终于对点差法有了比较清晰的认识，并与另一重要方法——利用韦达定理求解作了一番比较，得出一些规律，在此想与大家交流一下．     

由引例探究圆锥曲线的“中点弦”

直线与圆锥曲线相交所得“中点弦”问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题。解决此类问题,常规思路主要有两种：一是利用代数法结合根与系数的关系求解;二是利用点差法处理。本文以教材中一道双曲线“中点弦”问题为引例,展开探讨。     

由一道课本练习题谈“点差法”的合理使用

<正>解析几何中涉及"中点弦"相关问题时,因"点差法"计算简便且模式化强,成为最常用的解法,但关于"点差法"的使用条件,很少有文章谈及,本文以一道课本习题为例,分析"点差法"在圆锥曲线中的使用条件,供读者交流学习.题目已知双曲线x2-y²/2=1,过点P(1,1)能否做一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?     

追本溯源：2022年新高考Ⅱ卷第21题解法探究

通过对试题的研究,采用解析几何常规方法,从设直线和点入手,运用设而不求的思想解决问题;也可以从新教材中寻找本题的突破点,根据条件联想中点弦问题,利用点差法,并研究弦中点轨迹方程;还可以利用直线参数方程解决问题.通过思维导图的形式呈现解题思路,在解法中发现规律,拓展结论,从而实现从常规解法到妙解的突破.通过试题的深度研究,找到学生的困难所在,为后续的教学做好铺垫,经历解题的研究过程,引导学生学会如何去探索一个题,如何做到一题多解、举一反三.     

用好“点差法”

<正>"点差法"是学习解析几何时,解决直线与曲线位置关系中,有关弦中点的问题的常用的方法之一.它通过方程作差、中点公式、斜率公式等,把直线与曲线的交点问题,迅速转化为弦中点的横纵坐标和弦所在直线斜率的关系,使问题得到解决.下面以2013年北京高考试题19的第二问为例体会一下这个方法的简洁和快捷.     

“张冠李戴”又如何——点差法失效的成因与结果分析

1前言点差法在解析几何中的重要地位与"神奇"效果,是每一位高中数学教师所熟知的.所以在圆锥曲线的教学过程中,教师对点差法的高度重视是绝对有理由,也是符合教学实际的.但由于大部分教师(包括笔者)对点差法的理解又是"局限"的,或者说有盲点所以在实际教学过程中还是多少存在着一     

椭圆中的“垂径定理”

圆中的垂径定理是我们较为熟悉的,但其实在椭圆中也存在着与圆中垂径定理类似的结论.一、问题的起源设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1,求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程.解运用点差法,设弦与椭圆分别交于不同的两点(x1,y1),(x2,y2),由于点在直线上,有     

一道传统试题的研究性学习

我们大都见过这样一道习题:曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)＝1上的两点A(x1、y1),B(x2、y2),线段AB的中点为M,若AB、OM的斜率分别为kAB、kOM,则 kABkOM＝(b2)/(a2). 该题的精典解法是点差法(端点坐标相减法),本文略.现在该题的基础上作如下探究,切入点是将习题中一条弦变为(共端点的)两条弦.     

妙用点差法——解决有关斜率中点或直线对称问题

点差法在解决与弦的中点和斜率有关问题或圆锥曲线上的两点关于某条直线对称的问题上有独特的优势．它不但可以简化运算,达到“设而不求”的目的,还可以优化解题过程,达到事半功倍的效果．本文试图通过具体例子说明其独特魅力．     

你知道点差法产生增根问题的原因吗

同学们都熟悉,用点差法求二次曲线的中点弦问题,有时所求得的直线方程,却不是问题的解,是增根,你知道产生增根问题的原因吗？例1已知直线l与双曲线x22-y24=1交于A,B两点,P（1,1）是弦AB的中点,问直线l是否存在？如果存在,求出l的方程;如果不存在,说明理由.解当直线l的斜率不存在时,由双曲线的轴对称性知不满足要求.当直线l的斜率存在时,设A（x1,y1）,B（x2,     

从一道高考选择题说起

椭圆中与中点有关的问题一般可用“点差法”来解决,它可减少计算,达到简化运算的目的．本文旨在“点差法”的基础上,推导出此类问题更一般的结论和方法．     

Hermite插值多项式的差商表示及其应用

差商展开是个非常重要的解析工具.有迹象表明其内在的思想和技巧似乎被人们所忽视或淡忘.论文的目的是对H erm ite插值多项式的重节点差商表示予以系统的表述,并利用重节点差商的展开技巧证明一些在应用上相当重要的结果.     

例说代点法

代点法是解析几何中一种非常重要的解(证)题方法,利用它来解决圆锥曲线的弦的中点(当然未必都限定为弦的中点,而这里主要考虑弦的中点)的各种问题显得特别方便。因为它的思维模式的规律性强,便于遵循,易于掌握,所以堪称行之有效的方法。 代点法的实质是,把圆锥曲线弦的端点作为辅     

一题三变看“弦长”

<正>圆的弦长问题是圆的重点内容之一.求弦长一般有两种途径:(1)代数法:即由弦所在的直线与圆的方程联立,求出弦两端点的坐标,然后利用两点间的距离公式求弦长(有时由根与系数的关系,设而不求,利用弦长公式求弦长);(2)几何法:由于弦心距、弦长的一半和圆的半径可以构成一个直角三角形,因此可借助于勾股定理(即几何法)求得弦长.下面结合例题对比学习这两种解题方法.     

圆弧放样的“1/4”法

一、问题的分析 读了本刊1974年第1期“圆弧曲线的一种直接放样法——弦点法”一文,很受启发.该文提出的圆弧放样问题确实是土木建筑施工中经常遇到的.由于这样的圆弧半径很大,几何中用圆规画圆的方法已不适用,必须根据施工条件摸索其它办法.目前除了采用“座标法”外,还有“延弦法”、“偏角法”等方法.这些方法都需事先经过较麻烦的计算,工作量大,不便工人直接掌握.“弦点法”放样是几何作图方法,这种方法无须计算,也较容易掌握,确有不少优点.但此法要在施工中重复多次,亦显麻烦,同时几经作图,也会对结果的     

椭圆性质的内涵与拓展

<正>设F是椭圆x²/6+y2/6+y²/2=1的右焦点,T为直线x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为0的任意一点,过点F作TF的垂线交椭圆于点P,Q,若直线OT经过线段PQ的中点M,求实数t的值.一、问题解法的探讨解法1 (点差法),众所周知,点差法是解决解析几何中关于中点问题的常用方法,其过