欧拉公式及其应用

对于简单多面体来说,若顶点数为V,面数为F,棱数为E,则V F-E=2.这就是著名的欧拉定理,其关系式叫做欧拉公式.其中的常数f(p)=V F-E=2叫做简单多面体的欧拉示性数.欧拉公式揭示了简单多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间特有的规律.欧拉公式只适用于简单多面体,是计算和推理简单多面体问题的理论依据.例1将正方体的各棱三等分,经过三分之一分点,从正方体的8个角截去8个相同的小四面体,试验证截后的凸多面体符合欧拉公式.图1分析先弄清楚截去8个角后得到什么样的几何体,然后分类计算面数、顶点数与棱数.证明截去8个角后,原正方体的每…     

欧拉公式的证明与应用

欧拉研究多面体时，得到了一个著名的欧拉公式：V＋F-E=2，其中V表示简单多面体的“顶点数”，F表示“面数”，E表示“棱数”，若将简单多面体去掉一个面，并将其余各面拉开压缩到该面所在平面，便得到平面内多边形的“点数、面数与线数”的三者关系：V＋F-E=1．这里的V表示“点数”，F表示“面数”，E表示“棱（线段）数”．     

来也分类去也分类--浅谈欧拉公式的来源和欧拉示性数

《全日制普通高级中学教科书数学》第二册(下 ) [1 ] 中安排了一个“研究性的学习课题” ,其题目为《多面体欧拉定理的发现》 .安排这部分内容的目的 ,不仅是要介绍关于简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间的特定关系———欧拉公式 (V+F-E =2 ) ,更重要的是使学生初步体验“观察 ,发现 ,归纳 ,猜想 ,证明”的研究过程 ,从而加强对学生的创新能力的培养 .教科书中这部分内容主要包含 :( 1 )　发现欧拉公式 (引导学生从观察正多面体做起 ,发现V、F、E间的关系 ,再扩展到观察棱柱、棱锥以及一般的简单多面体 ,通过归纳形成对简单多面体…     

凸多面体欧拉定理的证明

<正>拓扑学是数学的一个分支,在二十世纪才成为一门独立的学科.但个别的拓扑问题欧拉早在十八世纪就开始研究了,著名的凸多面体的欧拉定理是第一个重要的拓扑学成果.定理对于任何凸多面体,设V是多面体的顶点数,F是面数,E是棱数,则     

拓扑学对中学数学教育的指导意义

拓扑学是现代数学的一个重要分支,是数学的基础学科．拓扑学主要研究几何整体性质,比如,著名的“哥尼斯堡七桥问题”研究的就是整体性质,该问题的解决和曲线的整体结构有关,而与曲线的长度、形状无关．用数学语言来说,它注意的只是点、线之间的联结情况,而不涉及线段的长短、曲直以及所成图形的形状等等…．再比如,关于“多面体”的欧拉定理,研究的是凸多面体的面数、棱数和顶点数之间的关系,而与多面体的形状、大小没有关系,这体现的也是一种整体结构性质．拓扑学中有不少经典的问题和定理,它们体现出的基本数学思想方法对于中学数学教育有着很高的借鉴价值．     

利用欧拉定理探究C_(70),C_(84)分子结构问题

现行高中教科书第二册 (下B)利用欧拉定理已解决了正多面体的种类、C6 0 分子模型(多面体 )的构成问题 ,现在继续利用欧拉定理探究C6 0 的两种同素异形体C70 及C84 的分子结构问题 :已知C70 分子有与C6 0 分子类似的球状多面体结构 ,它有 70个顶点 ,每个顶点处有 3条棱 ,面的形状只有正五边形和正六边形 ,下面计算C70 中有多少个正五边形和正六边形 :设C70 分子正五边形和正六边形的个数分别为x个和y个 .C70 分子模型 (多面体 )的顶点数V =70 ,面数F =x + y ,棱数E =12 ( 3× 70 ) .根据欧拉定理 ,可得70 + (x + y) - 12 ( 3× 70 ) =…     

凸多面体中顶点数、棱数、面数之间的关系

你认识大数学家欧拉吗?凸多面体中顶点数、棱数、面数之间的关系是欧拉研究过的问题.让我们也来试着研究一番吧! 一、试一试,你一定行! 请同学们按照下表进行自主探究.     

凸多面体的欧拉公式的一个证明方法

大家知道,无“孔”多面体的顶点数V,面数F和棱数E之间存在着以下关系式V+F-E=2 下面给出一个证明方法。 设任一个凸多面体,其顶点数为V,面数为F,棱数为E。且它们之间满足V+F-E=x     

用欧拉定理证明正多面体只有五种

三维空间中的正多面体只有五种,它们是:正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。我们可以用欧拉定理给出一个简单的证明。先简单叙述一下欧拉定理:简单多面体的顶点数(v)、面数(f)、边数(e)之间有关系v     

欧拉凸多面形定理和欧拉示性数

Ⅰ.凸多面形的欧拉定理 1.定理的敍述和来源象中学立体几何教科书中所說的,由若干个平面多边形所围成的封閉的立体叫作多面体。这些多边形的每一个叫作多面体的面,这些多边形的边和頂点分別叫作多面体的棱和頂点。当多面体在它的每一个面的平面的同一側,它就叫作凸多面体。凸多面体的表面叫作凸多面形,它的面、棱和頂点也就是凸多面形的面、棱和頂点。例如图1中的(一)到(四)都是凸多面形,图1中的(五)不是凸多面形。     

欧拉公式及其应用

对于简单多面体来说．若顶点数为V，面数为F，棱数为E．则V＋F-E=2．     

从思想与文化的高度挖掘多面体欧拉公式的教育价值——谈高中数学课程标准中的多面体欧拉公式

2003年4月国家教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)中，有三处提到多面体欧拉公式．第一揣是选修系列2-1与2-2“推理与证明”专题中，把探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系(欧拉公式的发现)作为其教学参考案例；第二处是选修3-3“球面上的几何”中，要求“利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系”；     

关于简单多面体的一个命题

我们生活在一个立体的世界 ,任何构成这个世界的元素都是立体的 .因此 ,为了形象地认识这个世界 ,我们就不可避免地要研究这些立体的性质 .比如 :命题　如果从一个简单多面体上的任一顶点所引出的棱数相等 .设此多面体所有的面中 ,ｎ边形 (ｎ≥ 3 )个数为Ｓｎ;每个顶点引出的棱数α(α≥ 3 ) ,则有 :4α +∑ｎｋ=3 [(α -2 )ｋ -2α]·Ｓｋ=0 ( )下面我们来证明这个命题 .证明　设多面体顶点个数为ｖ ,棱数为ｅ,面数为ｆ,则由欧拉定理　ｖ -ｅ +ｆ=2①每个顶点引出α条棱 ,共引出ｖ·α条 ,但计算时每条棱均重复一次 ,故　棱数ｅ=α2 ·ｖ②…     

简单多面体与球

1本单元重、难点分析本单元的重点是:多面体和凸多面体的概念,棱柱、棱锥的概念和性质,直棱柱和正棱锥的直观图的画法,正多面体,欧拉公式,球的概念和性质,球的体积和表面积.棱柱中重点研究的是三棱柱和平行六面体,其中的长方体(正方体)是建立空间概念培养空间想象能力的理想模型.棱锥中重点研究的是正棱锥和三棱锥,它们是许多空间几何问题的载体.棱柱和棱锥的性质是进行计算和证明的理论依据,必须掌握.欧拉公式描述了简单多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系,是进行相关推理和计算的重要工具.球是一个特殊的几何体,它只有一个面(即球面),…     

欧拉公式的三种应用

在立体几何中,教材给出了欧拉公式,即在简单多面体中,顶点数V,面数F与棱数E满足关系式:V F-E=2. 这个公式可以应用于网络. 平面上由点组成的图形称为网络,在网络中线称为弧,弧的端点称为顶点,由弧所围成的平面部分称为区域.其中每条弧两端各有一个顶点,且不相同,中间没有别的顶点,区域不能     

欧拉是如何发现欧拉公式V-E F=2的?

由多边形为面围成的凸多面体,尽管它们的形状各种各样,其顶点数(V),棱数(E)和面数(F)也各不相同,但都有一个简单的性质:V -E F=2.这个性质早在距今三百多年前, 就被解析几何的创始人、法国数学家笛卡尔于1639年发现了,但没有广泛流传开来.直到又经过一百多年,1750年欧拉重新独立地发现了它以后,这个公式才广为世人所知,欧拉是如何发现这个公式的呢?美国数学教育家波利亚在《数学的发现》一书中,根据欧拉当时所写的论文,把这位数学大师当年通过类比和归纳发现这个公式的思考过程,原原本本地提供给了我们.我们从这个发现过程中比从公式本身     

立体几何新教材中一个值得商榷的问题

《全日制普通高级中学教科书·数学》第二册(下B),对传统的立体几何教材内容进行改革,增添了好几个方面的知识:凸多面体的概念、空间向量、凸多面体的欧拉定理等等.笔者在教学过程当中,发现新教材当中有一个地方具有商榷的余地,为了使新教材进一步完善,现将发现的问题提出来,谈谈看法,与各位同仁共同探讨.新教材P54练习第2题:任画一个四面体、六面体,分别数一数它们各有多少条棱,多少条对角线,多少个顶点.作为配套的教师教学参考书(下面简称《教参》)中,对于六面体的棱、对角线、顶点数目问题上,所给的答案是12条棱,4条对角线,8个顶点.对于…     

关于正多面体只有五种的证明

关于正多面体只有五种的证明明建国（湖北大冶县教师进修学校４３５１００）正多面体是立体几何中多面体概念的一个特殊概念，从正多面体的顶点数、面数和棱数的关系（顶点数Ｖ十面数Ｆ－棱数Ｅ＝２）而进一步发现了棱柱、棱锥、棱台也具有这种关系，把它推广到更一般的凸...     

为什么正多面体只有五种

我们知道,平面上的正多边形,可以有正三角形、正方形、正五边形、正六边形等等.对于任意一个正整数n,都有正n边形存在.平面上的多边形,类比到空间,就是多面体——由若干个平面多边形围成的封闭的空间图形.围成多面体的各个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点.把多面体的任一面伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样     

只有一种"足球"的证明

在高二学习多面体欧拉定理时,我遇到了这样一道题目:题:欲制作一个由正六边形和正五边形皮子组成的足球,现有5块六边形皮子,请问需要几块正五边形皮子解:设正五边形皮子的个数为,由多面体欧拉定理F V-E=2知:(5 x) 13(6×5 5x)-21(6×5 5x)=2,解得:x=12,即需要12块正五边形皮子.