Sopra la semicontinuità degli integrali curvilinei dei problemi variazionali in forma parametrica di ordinen

Sunto. Si considerano gli integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti dagli elementi differenziali dei primi n ordini (n>3). Usufruendo di una relazione fondamentale, che ha formato oggetto di una Nota preliminare dell'A., si dimostra una condizione necessaria per la semicontinuità di tali integrali, dalla quale seguono altre condizioni necessarie per la semicontinuità e per la continuità: tali teoremi estendono al caso n>2 risultati già stabiliti dall'A. per n=2. Inoltre, mediante la relazione fondamentale citata, si perviene ad alcune estensioni di condizioni sufficienti per la semicontinuità, stabilite da altri A.A. Entrata in Redazione il 7 aprile 1976. Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. del C.N.R.     

Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali di ordinen anche con riferimento a una nuova definizione di intorno

Sunto. Nel presente lavoro viene ripreso in esame il problema dell'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti da elementi differenziali fino all'ordine n (n>3) e invarianti rispetto al parametro. Tale problema viene trattato, oltre che con riferimento alla definizione di intorno (ϱ)ⁿ di una curva ordinaria C ₀ ⁽ⁿ⁾ , considerata in precedenti ricerche dall'A., anche in base a una nuova definizione di intorno {ϱ}ⁿ di una curva ordinaria C ₀ ⁽ⁿ⁾ introdotta recentemente dall'A. Si perviene dapprima a un teorema di esistenza valido con riguardo sia all'una che all'altra delle citate definizioni. In seguito, invece, il problema stesso viene trattato separatamente nei due casi in cui si fa riferimento o all'una o all'altra delle definizioni sopra indicate, e si perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto la cui validità è assicurata in classi di curve ordinarie C⁽ⁿ⁾ che sono complete rispettivamente di ordine n-(I) o di ordine n-(II). I risultati ottenuti, alcuni dei quali sono nuovi anche per n=3, vengono illustrati con vari opportuni esempi. Entrata in Redazione il 22 dicembre 1976. Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. (C.N.R.).     

Sopra l'esistenza dell'estremo per una classe di integrali curvilinei in forma parametrica

Sunto Mediante la semicontinuità l'A. perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali relativi a integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti dalle derivate di ordine non superiore al terzo. I risultati raggiunti provano l'efficacia dell'impostazione che l'A. ha dato a tali problemi in una Memoria recentemente pubblicata nei Rend. del Circolo Matematico di Palermo, e al tempo stesso pongono in luce sia differenze tra il problema del terzo ordine e quello del secondo ordine, sia, per questo ultimo problema, diversità tra gli integrali curvilinei dello spazio e quelli del piano, di cui l'A. si era occupato alcuni anni fa. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.     

Teoria analitica del campo elettromagnetico

Sunto Nell’Introduzione si illustra l’opportunità di fondare la teoria matematica del campo elettromagnetico sullo studio degli integrali dell’equazione rot K+mK=Φ, con m costante complessa non nulla. Una tale scelta si manifesta infatti particolarmente adatta ai problemi posti dalla tecnica delle onde elettromagnetiche. La Teoria dell’equazione omogenea rot K+mK=0 può essere sviluppata secondo due indirizzi, uno integrale e l’altro fondato sullo sviluppo del vettore K in serie di opportune funztoni. Ciò in analogia con quanto avviene nella Teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa. La presente memoria appartiene totalmente all’indirizzo integrale. Nella Parte Prima si deduce un’espressione integrale la quale fornisce il valore assunto dal vettore K in un punto di un dominio regolare a partire dalla conoscenza dei valori da esso assunti sul contorno. Si esaminano le proprietà della relazione integrale stabilita. Fra l’altro si deduce che quando un integrale dell’equazione rot K+mK=0 è continuo in un campo con le sue derivate parziali prime esso vi è analitico. Nella Parte Seconda si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista in un dominio V di contorno S un vettore K, continuo in V, soddisfacente in V — S all’equazione rot K+mK=0 (m non reale) e riducentesi sul contorno a un vettore G assegnato. La condizione ottenuta è una relazione integrale fra i valori assunti da G sul contorno S di V. La Parte Terza è dedicata alla traduzione in equazioni integrali dei problemi posti dall’elettromagnetismo. Le equazioni integrali si riferiscono ai valori assunti dai campi elettrico e magnetico sulle superfici di separazione dei diversi mezzi, ciascuno dei quali omogeneo e isotropo, nei quali il campo elettromagnetico si estende. I teoremi stabiliti nella prima e seconda parte della memoria consentono di affermare la necessità e la sufficienza delle equazioni integrali scritte. In tutta la memoria, accanto all’equazione rot K+mK=Φ, viene pure considerato il sistema di equazioni rot K=Φ, div K=f relativo ai campi statici.     

Sui fluidi capaci di elettro-magneto-strizione dai punti di vista classico e relativistico

Sunto Si pongono le basi di una generale teoria dell'elettro-magneto-strizione (con deformazioni finite e coppie di contatto). Inoltre, in particolare, si dimostrano varie proprietà dei fluidi, eventualmente viscosi, capaci di elettro-magneto-strizione e di coppie di contatto; di queste alcune sono estensioni relativistiche (non banali) di teoremi classici, altre vengono dimostrate prima in Fisica classica e poi estese alla Relatività ristretta o generale. Nel presente lavoro sono essenziali, tra l'altro, certi risultati, concernenti il tensore energetico E_αβ del campo elettromagnetico, esposti nella recente nota [9′] dello stesso autore.     

Sul teorema di unicità per le equazioni del campo elettromagnetico in un plasma

Sunto Si dimostrano alcuni teoremi di unicità per le equazioni non-lineari del campo elettromagnetico in un plasma in cui si tiene conto della pressione dei corpuscoli elettrici. I teoremi sono sempre dimostrati nel caso non stazionario, anzitutto supponendo che il plasma occupi tutto lo spazio, poi vengono estesi al caso di un dominio finito con opportune ipotesi alla frontiera. Infine si ottengono teoremi di unicità nel caso in cui, per effetto di campo magnetico, la pressione diventa anisotropa. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca del C. N R. Entrata in Redazione il 19 gennaio 1970.     

Sulla dinamica relativistica di un fluido ideale conduttore di calore

Sunto Si stabiliscono le equazioni fondamentali della dinamica relativistica di un fluido ideale conduttore di calore, muovendo dai principi della dinamica di un corpuscolo a massa di quiete variabile. Successivamente si deduce il tensore energetico del suddetto mezzo che, solo nella forma, appare identico a quello dei fluidi ideali isentropici. Entrata in Redazione il 28 novembre 1972. Lavoro eseguito nall'ambito dall'attività dei Contratti di ricerca matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Una generalizzazione di alcuni teoremi di Matrosov

Sunto Si generalizzano condizioni sufficienti per la stabilità uniformemente asintotica e per l'instabilità espresse da alcuni teoremi di Matrosov. I risultati ottenuti sono utilizzabili anche nel caso che i secondi membri delle equazioni del moto siano funzioni non limitate. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dei Gruppi di ricerca matematica del C.N.R. Entrato in Redazione il 24 gennaio 1970.     

Sopra una classe particolare di integrali doppi del Calcolo delle Variazioni

Sunto Si danno dei teoremi di esistenza dell'estremo assoluto per gli integrali doppi della forma . Lavoro eseguito nel Seminario Matematico della R. Scuola Normale Superiore di Pisa.     

Sulle equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo non variazionale,a coefficienti discontinui

Sunto Si dimostrano alcuni teoremi di regolarizzazione per le soluzioni dei problemi di Dirichlet e di Neuman relativi ad equazioni ellittiche del secondo ordine di tipo non variazionale, a coefficienti discontinui. Come applicazione si danno anche alcuni teoremi di esistenza per le soluzioni dei detti problemi al contorno relativi ad equazioni lineari e non lineari. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di ricerca matematica del C N.R., Alcuni dei risultati ottenuti in questa memoria sono stati comunicati in due conferenze tenute l'una a Roma il 2 Aprile 1963 presso l'Istituto Nazionale di Alta Matematica e l'altra a Milano il 23 Aprile 1963 presso il Seminario Matematico e Fisico; per la seconda vedi [14]     

Sopra una classe di funzionali che approssimano l'area di una superficie

Sunto Si introducono per via assiomatica, per le superficie continue z=f(x, y), dei funzionali che convergono in area. Si fa vedere poi che non soltanto le medie integrali del primo ordine già usate dal Radò e i polinomi di Stieltjes-Tonelli (e non più ? successioni ? di essi) rientrano in tale categoria di funzionali, ma anche, tra l'altro, le medie integrali d'ordine r, qualunque sia r≠0. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nel Seminario di Analisi Matematica della Università di Palermo. Ringrazio il Prof.E. Baiada per i consigli che mi ha dato.     

Su alcune soluzioni parametriche delle equazioni del moto intorno a un punto fisso di un solido pesante asimmetrico

Sunto. In questa nota si considerano le equazioni del moto intorno a un punto fisso di un corpo rigido pesante, nel caso in cui il baricentro appartenga a uno dei piani principali dell'ellissoide d'inerzia relativo al punto fisso (piano xy). Si ravvisa la possibilità di una particolare soluzione parametrica per mezzo di un parametro u tale che du=rdt, essendo r la componente della velocità angolare secondo l'asse z, e nell'ipotesi che il coseno direttore γ₃ secondo l'asse z della verticale discendente, sia della forma: γ₃=α₀(Ax₀p+By₀q)r, con α₀ costante, mentre gli altri simboli hanno il solito significato. Si dimostra che sono possibili soltanto due casi: Il 1^o é quello in cui il baricentro appartiene a uno degli assi x, y (y₀=o, oppure x₀=0), e questo corrisponde a un caso di integrabilità segnalato da Stekloff; il 2^o è quello in cui l'asse z è asse intermedio dell'ellissoide d'inerzia e la retta baricentrale coincide con l'intercezione del piano xy con uno dei due piani ciclici dell'ellissoide d'inerzia passanti per l'asse z. In questo secondo caso il moto si riduce a una rotazione uniforme del solido intorno a tale retta baricentrale disposta verticalmente, retta che appartiene al cono di Staude. Entrata in Redazione il 15 maggio 1975.     

Applications of polarity

Sunto Nella prima parte di questo lavoro si sviluppa la geometria differenziale del triedro mobile per il gruppo SL(n). La polarità nella sfera unità trasforma una matrice di Frenet C in — C^T per varie geometrie lineari e proiettive. Nella seconda parte si deriva una serie di disuguaglianze integrali basate sulla trasformazione per polarità. Nella terza parte si calcola la trasformazione della matrice Hessiana e della curvatura di Gauss in polarità e ne fa applicazione ai teoremi di rigidità di Liebmann-Hilbert e J?rgens-Calabi-Pogorelov.

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ToBeniamino Segre on his 70-th birthday

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Entrata in Redazione il 18 settembre 1974.

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Research partially supported by NSF Grant GP-27960. AMS (MOS) classification: 26 A 84, 28 A 86, 35 A 30, 35 K 99, 53 A 15, 53 A 20.     

Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani tripli

Sunto Si studiano e si caratterizzano, dal punto di vista aritmetico e funzionale, le curve di diramazione dei piani tripli. Nel presente lavoro la suddetta caratterizzazione è limitata al caso dei piani tripli ottenuti per proiezione di una superficie di ordinen (≥3), sprovvista di curva multipla, da un suo punto multiplo secondon−3. Si dimostra l'unicità birazionale del piano triplo avente una data curva di diramazione e si dà l'equazione effettiva di un suo modello proiettivo. Giunto alla Redazione nel gennaio 1946.     

Intorno alle classi funzionali di Gevrey

Sunto Si espongono teoremi, esempi ed osservazioni a proposito di certe-classi funzionali, analoghe a quelle di Gevrey, che si presentano nella teoria delle equazioni differenziali ipoellittiche, di alcune equazioni integrodifferenziali, e dei problemi di Cauchy.

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Summary This paper collect theorems, examples and observations concerning some classes of functions, at first considered by Gevrey, of interest in the theory of hypoelliptic differential equations, of some integrodifferential equations, and of Cauchy problems.

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Questo lavoro ha avuto origine da una tesi di laurea diretta dal prof.Carlo Pucci nell'anno accademico 1961–1962, e fa parte delle attività del gruppo di ricerca matematica n. 23 del C. N. R.     

Sui teoremi di reciprocità nei fenomeni dipendenti dal tempo

Sunto Si estendono, sotto opportune ipotesi, i teoremi di reciprocità diBetti eMaxwell alla dinamica dei corpi elastici e i teoremi diLorentz-Sommerfeld nell'elettromagnetismo a fenomeni non sinoidali. Vengono anche stabiliti teoremi di reciprocità per la trasmissione del calore non stazionaria. I resultati sono conseguiti mediante sistematica applicazione della trasformazione diLaplace.     

Teoremi di immersione su iperpiani coordinati per funzioni di un certo spazio funzionale

Riassunto In questa nota si considera uno spazio funzionale L _p ^P (E ^n,, introdotto daL. Cattabriga e che rientra nella classe considerata daL. R. Volevic—B. P. Panejah; si ottengono in particolare alcuni teoremi di immersione per le ?restrizioni? a iperpiani coordinati delle funzioni di tale spazio.

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Résumé En cette note l'on considére un espace fonctionnel, signé L _p ^P (E ^n,, qui a été introduit parM. L. Cattabriga et qui appartient à la classe considéré parM. M. L. R. Volevic—B. P. Panejah; en particulier l'on obtient quelques théorèmes d'immersion pour les ?restrictions? aux iperplans cohordonnés des foctions du dit espace.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematici del C.N.R.     

Problemi di valori al contorno per l'equazione differenzialey (n) =λf(x,y, y′, ... y (n−1) )

Sunto. L'Autore studia il problema ai limiti per l'equazioney ⁽ⁿ⁾ =λf(x, y, y′, ... y ⁽ⁿ⁻¹⁾ ) e da teoremi che assicurano l'esistenza e l'unicità di un valore del parametroλ e di una soluzione dell'equazione in corrispondenza al , soddisfacente a condizioni atte ad individuare un polinomio di gradon. Lavoro pervenuto in redaziane il 30 settembre 1947. Il presente lavoro costituisce la parte essenziale della mia tesi di licenza alla Scuola Normale Superiore di Pisa, discussa nel giugno 1947.     

Problemi ellittici con dati singolari

Sunto Si stabiliscono dei teoremi di esistenza e di unicità per i problemi al contorno relativi ad un'equazione ellittica in un insieme aperto e limitatoΘ di Rⁿ, nel caso che la frontiera∂ ^Θ abbia delle singolarità e nel caso che i coefficienti ed il termine noto dell'equazione siano singolari su∂Θ. Lavoro eseguito con contributo del C. N. R. Entrata in Redazione il 10 dicembre 1969.     

On lattice-like properties of orthoquaternary categories

Summary We point a class of categories for which necessary and sufficient conditions in order they have an orthodox quaternary symmetrization are expressible by means of lattice-like properties of subobjects, these one given by axiomsD1)-5). This implies that canonical isomorphisms between subquotients are composable and that Noether isomorphism theorems hold.

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Riassunto Si individua una classe di categoric per le quali l’esistenza e l’ortodossia della simmetrizazione quaternaria è exprimibile mediante proprietà di tipo reticolare di sottooggetti, enunciate nella forma di assiomiD1)-5). Ciò garantisce la componibilità degli isomorfismi canonici tra subquozienti e la validità dei teoremi di isomorfismo di Noether.

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Written while the authors were members of C.N.R. sec. G.N.S.A.G.A.