一道高中数学联赛试题的一般性结论

2008年全国高中数学联赛第一试第15题[1]是: 　　题目如图1,P是抛物线y2=2x上的动点,点B、C在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC,求△PBC面积的最小值. 　　本文首先给出一个更为一般的结论,并对试题作出推广.……     

利用三角形重心性质巧解一道高考数学难题

<正>2019年浙江高考题如图1,已知点F(1,0)为抛物线y~2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S_1,S_2.(1)求p的值及抛物线的标准方程;(2)求S_1/S_2的最小值及此时点G的坐标.     

三角形的一条性质及其应用

在三角形中,有如下一条常用的性质:P是△ABC内任意一点,射线AP、BP、CP分别交边BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AGPG=ADPD.证明如图1所示.由面积关系可得AGPG=S△AEFS△PEF=S△AEFS△APF·S△APFS△PEF=EBPB·ACEC=S△EBCS△PBC·S△ABCS△EBC=S△ABCS△PBC=ADPD.故性质得证.注(1)此证明是由结论而联想到面积关系,使证明简单,自然而一气呵成.(2)此结论还有以下等价形式(略去证明):     

一道中考题解法的应用

如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=513.图1图2探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=,AC=,△ABC面积S△ABC=.拓展如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与A重合时,我们认为S△ABD=0)(1)用含x、m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;(2)求m+n与x的函数关系式,并求m+n的最大值和最小值;(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.     

三角形的一条性质及其应用

在三角形中,有如下一条常用的性质:图1如图1,P为△ABC内任一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AP·DG AG·DP=AP·DG AD·PG=2.证明如图1所示,由面积关系可得AG PG=S△AEF S△PEF=S△AEF S△PAF·S△PAF S△PEF=EB PB·AC EC=S△EBC S△PBC·S△ABC S△EBC=S△ABC S△PBC=AD PD.于是AG·PD=AD·PG=(AP+PD)(AP-AG)=AP2+AP·PD-AP·AG-AG·PD=AP(AP+PD-AG)-AG·PD=AP·DG-AG·PD,即AP·DG=2·AG·PD.所以AP·DG AG·PD=2.同理AP·DG AD·PG=2.故AP·DG AG·PD=AP·DG AD·PG=2.注(1)此处的证明是联想到“A、G、P、D P交点为     

也谈椭圆外切n边形面积的最小值

文 [1]通过引理 1、引理 2虽然给出了椭圆外切n边形面积的最小值 ,但没有给出取到最小值时 ,外切n边形的几何性质及作图方法 .本文通过对圆外切n边形面积最小值的探讨 ,回答了上述问题 .引理　外切于圆的所有n边形中 ,正n边形的面积最小 ,且最小值为rntan πn(n≥ 3) .图 1　圆外切n边形证　如图 1,设n边形P1P2 …Pn 为半径为r的外切n边形 ,A1,A2 ,… ,An 为切点 ,则由圆的切线性质可知 ,n边形P1P2 …Pn 的面积为S =2S△A1OP1+ 2S△A2 OP2+… + 2S△AnOPn=r·tan∠A1OP1+r·tan∠A2 OP2 +… +r·tan∠AnOPn.因为n≥ 3,所以∠Ai…     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

问题与解答

一、本期问题 1.解方程sin~1087x-COs~1086x=1。河北定兴中学任世彬提供 2.p是Rt△ABC内一点,设∠PAC=∠PBA=PCB=θ,试证:ctgθ≥2。 3.等腰梯形两底之比为1:3,当以一腰为直径的圆与另一腰相切时,该梯形的内角大小如何? 安徽怀宁江镇中学黄全福提供 4.求x+2y在圆x~2十y~2≤1内的最大值和最小值,以及达到最大值和最小值时的点的坐标(x,y)。     

解析几何总复习

一、两条曲线间的位置关系(一) 直线与二次曲线的位置关系例1 已知实数A、B、C满足A~2+V~2=2C~2≠0,求证直线Ax+By+C=0与圆x~2+y~2=1交于不同的两点P,Q,并求弦P的的长。分析:证明的一般思路是:列方程组,消元,证明△>0,这是对于证明一般二次曲线与直线相交的通用方法.对于圆,还有其特殊的几何方法:证明圆心到直线的距离小于圆半径。     

面积法证题举例

<正>用面积证题的方法叫面积法.用面积法证题思路新疑、证法灵活,是证题中的巧中之巧,掌握了这个技巧,对提高解题能力大有好处,现举例说明.例1 P为△ABC内任意一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F.求证:PD/AD+PE/BE+PF/CF=1.证明作AH、PG垂直BC于H、G点,则由面积公式,得S△PBC=1/2BC·PG,S△ABC=1/2BC·AH     

一道源于教材、高于教材的好试题

浙江省 2 0 0 3年高中证书会考试题 3 3 ,是一道源于教材高于教材的好试题。题目 :已知椭圆C1 :x212 y26=1,圆C2 :x2 y2 =4,过椭圆C1 上的点P作圆C2 的两条切线 ,切点为A、B .( 1)如图 1,当点P的坐标为 ( -2 ,2 )时 ,求直线AB的方程 ;( 2 )当点P(x0 ,y0 )在椭圆上运动但不与椭圆的顶点重合时 ,如图 2 ,设直线AB与坐标轴围成的三角形面积为S ,问S是否存在最小值 ?如果存在 ,请求出这个最小值 ,并求出此时点P的坐标 ;如果不存在 ,请说明理由 .分析 :( 1)直线AB方程为 :y =x 2 ;( 2 )设A(x1 ,y1 ) ,由题意 ,及切线PA、PB的性质 ,连…     

源于基础 开拓思维——一道习题的解法与联想

“解析几何是用代数方法来研究几种问题的一门数学学科.”用代数方法解决几何问题确实方便.但是注意到几何本身的性质,加强数与形的结合,将更有利于解析几何的教与学.高中(解析几何课本)甲种本第126页第24题为:过圆外一点P(a,b),引圆x~2+y~2=R~2的两条切线,求经过两切点的直线方程. 解法(1):设过P点圆的切线方程:     

三角形的一个性质

1性质的叙述性质已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1∶λ2∶λ3.(即S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3)2性质的证明图1证明如图1,设PF=λ2PB,PD=λ3PC,由平行四边形法则可得PF PD=λ2PB λ3PC=P     

向量命题的两种推广

文[1]用两种方法证明了向量命题：命题若P是△ABC内部一点,且λ1PA→＋λ2PB→＋λ3PC→=0→（λ1,λ2,λ3〉0）,记S△PBC=SA,S△PAC=SB,S△PAB=SC,则SA∶SB∶SC=λ1∶λ2∶λ3.     

转换视角 渐入佳境

一次老师布置了如下一道习题:已知圆C:x2+y2=16,过点P(2,0)作直线l与圆C相交于A、B两点,O是坐标原点.求△AOB的面积S△AOB的最大值.审题后,开始我觉得问题不难,于是考虑了以下两种不同的解法:     

利用类比探求椭圆的一个最值问题

问题设椭圆方程为ax22 yb22=1(a>b>0),AB是过椭圆内的定点P(m,n)的弦,求△OAB的面积的最大值.图1我们先来考虑圆的一个类似问题:设A′B′是过圆x′2 y′2=a2内的定点P′(m′,n′)的弦,求△OA′B′的面积的最大值.如图1,设A′(acosα,asinα),B′(acosβ,asinβ),则S△OA′B′=1     

转换视角 渐入佳境

一次老师布置了如下一道习题： 已知圆C：x^2＋y^2=16,过点P（2,0）作直线l与圆C相交于A、B两点,O是坐标原点．求△AOB的面积S△AOB的最大值．     

直线方程x=my+a的重要功能

解析几何中关于直线过x轴上定点(a,0)的问题,一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为y=k(x-a).这种设法会使运算较为繁琐,有时还会陷入僵局.例1　已知过定点P(2,0)的直线l交抛物线y2=4x于A、B两点,求△AOB(O为坐标原点)面积的最小值.图1解　设直线y=k(x-2)与抛物线方程y2=4x联立,　　y=k(x-2)y2=4x(1)(2)消去y得k2x2-4(k2 1)x 4k2=0.(3)因为　S△AOB=12|OC|.|AB|,而　|AB|=|x1-x2|k2 1=42k2 1k2k2 1,　　|OC|=|2k|k2 1,(这里运算量很大,中间过程已省略)所以　S△AOB=12.42k2 1k2k2 1.|2k|k2 1=42k2 1|k|=42 1k2→42.我们发现达不…     

对两道“希望杯”题的思考

1.二十二届希望杯高一第1试第十七题:已知点M(-2,-1)和N(1,-5),又点P在圆C:x2+y2-4x-2y+1=0上运动,求△MNP面积的最大值.解如果从三角形面积的本质来分析,那么问题就变得简单,因为线段MN的长不变,只求以MN为底边的△MNP最大高,即为圆C上到MN的最大距离,所以只要过圆C作和     

基于参数方程的解析几何问题研究

<正>问题呈现已知圆x~2+y~2=4,过点P(0,万)的直线l交该圆于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB面积的最大值是().(A)3~(1/2)(B)2 (C)23~(1/2)(D)4解法1由已知得,直线AB的斜率必定存在,且假设其斜率为k,则直线AB的方程是y-3~(1/2)=k(x-0),