欧拉公式e~(iθ)=cosθ+isinθ的一个应用

以往在代数学教科书里虚数是作为代数方程的虚根来教的,由于接触不到它的真正面目,所以学生往往体会不到复数的实用价值,但是一旦接触到复数的极坐标形式或欧拉公式的简洁而出色的应用后,就有可能对复数的概念进一步的了解。在这篇短文中作者准备叙述复数在几何学中的一个应用,内容仅限于在坐标变换和一般二次曲线论的应用方面。 (一) 坐标变换     

On Euler's Formula exp (iθ) = cosθ + i sinθ

In approximating a function with a pole‐like singularity at a non‐rational point a* by a rational polynomial, the approximating package will be robust (i.e. undetectably erroneous to a user) if the rational polynomial includes a factor which cancels out the pole to the full accuracy of the machine in use. Naturally in order to be portable, the approximation a to a* must be to the full machine accuracy of the receiving machine.     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

1+sin 2θ-cos 2θ/1+sin 2θ+cos 2θ=tgθ的几种证法

本文就高中《代数》(甲种本)第一册第1昵页第3题的第8小题围绕半角的三角公式给出几种证法,以便激发同学们的学习兴趣,并藉以说明如何灵活地运用公式,以期有助于复习巩固所学知识,培养思维能力.利用tg夕=:i,7介口1+:。虑日和才召忿夕=1一co‘旦日1+cosZ台得到1+51;,2召一c(。52“1+52),Zd+eo52已::。竺0/(1+:。:20)+(]一走。:全[))/(1十eo:9口题目:证明1弓一、;,22口一‘052日矛名口1+s:nZ口八工+。o:2夕)1+‘z于22白+‘。62创tg夕+19艺夕洲 一充分5lJ用题目本身的条件 1若注意到条件:::口十。。:O斗。容易得到下面的两种方法 证法一由于:…     

消去 f(sinθ,cosθ)中参数θ方法小议

例1 若acosθ+bsinθ=c(1) dcosθ+esinθ=f(2)求证(ce-bf)~2+(af-ed)~2=(ae-bd)~2(3) 其中ae-bd≠0。对于此题,欲证(3)成立,只要从(1)、(2)中消去参数θ即可。具体作法是 (1)×d-(2)×a得 sinθ=af-ed/ae-bd, (1)×e-(2)×b得 cosθ=af-ed/ae-bd代入恒等式Sin~2θ+COS~2θ=1,即得(3)。这种方法是众所周知的,而有时要想从关于f(sinθ,cosθ)的条件等式中,直接解出sinθ,Cosθ,然后利用sin~2θ+cos~2θ=1去消参就相当困难,甚至是不可能的,因此必须另辟途     

点(cosθ,sinθ)在单位圆上的应用

由x~2 y~2=1→(x,y)=(cosθ,sinθ),反之把与cosθ、sinθ有关的问题处理在动点(cosθ,sinθ)的轨迹方程上,不但使问题明了,而且有解法新颖、别具一格之感,本文以下面例子说明之。     

函数f(θ)=sinθ/θ的单调性的一组结论

函数f(θ)=sinθ/θ(0<θ≤π/2)是减函数,有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.为方便表述,称"f(θ)是减函数"为结论(*).     

cos2θ公式的变形及活用

著名数学教育家波利亚说:“一个专心地认真备课的教师能拿出一个数学公式帮助学生发掘它的解题功能.“我基于这一想法,充分发掘cos20“公式变形的解题功能.……     

cos2θ公式的变形及活用

著名数学教育家波利亚说:“一个专心地认真备课的教师能拿出一个数学公式帮助学生发掘它的解题功能.“我基于这一想法,充分发掘cos20“公式变形的解题功能.……     

sin nx+cos mx周期的求法

1956年第12期《数学通报》上曾发表过阿意今斯他和別罗郭夫斯卡娅写的“求三角函数的周期”一文(由张鉴卿譯自苏联“中学数学”),該文提出了求f_1(x)=cos(3/2)x-sin(x/3),f_2(x)=cos 2x-tgx的周期的問題。本文打算就这些問題加以推广,进而求sin nx+cos mx的周期(其中m,n为实数)。分析:若該函数存在周期b(b>0),則根据周期函数的周期的定义,f(x+b)=sin n(x+b)+cos m(x+b) =sin(nx+nb)+cos(mx+mb) =sin nx+cos mx=f(x). 現在的任务是判断b是否存在;如果存在,如何把它求出来。根据三角函数的性貭知道,对sin nx来說,要使sin(nx+nb)=sin nx对一切x的值都成立,則     

也谈函数f(x)=3/cos x+2/sin x最小值的初等求法

文[3]利用构造平面几何的方法给出了函数f(x)=3cosx 2sinx(0相似文献   

关于函数f(θ)=sinθ/θ(0《θ≤π/2)的单调性的一组优美结论

函数f(θ)=sinθ/θ(0<θ≤π/2)是减函数,有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.……     

用(sinα±cosα)~2=1±2sinαcosα解题

由平方关系sin2α+cos2α=1不难得到(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.它揭示了sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα三者之间的密切关系,知其一必能求出另二.在一些解方程、求最值问题中,恰当运用此关系有助于简化运算、发现解题途径.例1已知sinα+cosα=1/5(0<α<π),求tanα的值.分析本题可先求出sinα-cosα的值,再和sinα+cosα=15联立方程组求出sinα,cosα     

加强关系式sin A+cos A=1应用的训练

众所周知,关系式sin~2A+cos~2A=1是三角学中最基本的关系式之一。统编教材对其应用作了一定的安排,无疑对提高学生的三角式变形能力是有益的,但限于篇幅,无论深度或广度都很不够。据多年实践,我认为对关系式之应用,有必要进一步加强,在教学过程中不失时机地适当予以补充,从顺用、逆用、顺逆交替用等方面加强训练,充分发挥关系式之妙用,以利于培养学生恒等变形及综合运用知识的能力。一、顺用公式以达熟能生巧     

公式·■=||cosθ的两个应用

ａ—→·ｅ—→ =|ａ—→|ｃｏｓθ是平面向量数量积公式的一个特例 ,其几何意义为向量ａ—→ 在单位向量ｅ—→方向上的投影 .下面谈谈它的两个应用 .一、射影定理、正弦定理、余弦定理的统一推导图 1如图 1所示 ,ＡＢ——→=ＡＣ——→ +ＣＢ——→ ,记ｘ轴、ｙ轴方向上单位向量分别为ｉ—→ ,ｊ—→ .我们将等式分别向ｘ轴、ｙ轴方向投影得 :　　ＡＢ——→·ｉ—→=ＡＣ——→·ｉ—→ +ＣＢ——→·ｉ—→ ①　　ＡＢ——→·ｊ—→=ＡＣ——→·ｊ—→ +ＣＢ——→·ｊ—→ ②整理 ,由①得　ｃ =ａｃｏｓＢ +ｂｃｏｓＡ③由②得　ａｓ…     

数学公式中的精品——话说公式e~(iπ)+1=0

在数学天地里,有数不尽的公式,其中不少是非常重要的甚至是美妙绝伦的,它们构成了数学世界一幅幅绚丽多姿的风景,令众多数学爱好者心醉神迷．比如著名数学家陈省身教授在一篇文章中谈道：“当代有名的数论大家Ａ．塞尔伯格（Ｓｅｌｂｅｒｇ）［注１］曾经说,他喜欢数学的一个动因［注２］,是以下的公式：π４＝１－１３＋１５－１７＋…．这个公式实在美极了;单数１,３,５,７,…这样的组合可以给出π．对于数学家来说,此公式正如一幅美丽图画或风景．”［１］这个π也是本文主要生成子．为此首先从欧拉公式谈起,被誉为“数学界…     

微分方程组(dX)/(dt)=AX+e~(αt)(cosβt·P_m~((1))(t)+sinβt·P_m~((2))(t))具有重特征根α+iβ时的特解结构定理及应用

对于一阶常系数非齐线性微分方程组dX/dt=AX+eαt(cosβt.P(1)m(t)+sinβt.P(2)m(t)),P(1)m(t),P(2)m(t)为次数不超过m关于实变量t的n维向量实值多项式,当n级实方阵A具有s≥1重特征根α+iβ时,给出了其特解珟X(t)的结构定理和计算方法,使求特解珟X(t)的积分运算转化为简单的代数运算.解决了利用计算机求特解珟X(t)的计算问题.     

巧用公式tanθ=tanα/sinβ速解高考题

求二面角的大小是立几中的重点和难点 ,但有时苦于难作二面角的平面角 ,或平面角虽作出 ,但计算繁琐 .可以发现 ,利用下面的公式 ,常能摆脱上述的困境 .定理　如图 1 ,四面体 P - ABC中 ,PC⊥面 ABC,∠ PAC =α,∠ BAC =β,二面角P - AB - C的大小为θ,则tanθ =tanαsinβ.证明　作 PM⊥ AB于 M,连 CM,则∠ PMC =θ.∵　 tanα =PCAC,　 sinβ =MCAC,tanθ =PCMC,∴　 tanθ =tanαsinβ.应用上述公式求二面角的大小 ,不必作平面角 ,并且计算量少 ,从而使问题简捷解决 .下面以高考题为例说明公式的应用 .图 1　　　　　　…     

关于差分方程yt+1+ayt=b1cosωt+b2sinωt

差分方程yt+1+ayt=b1cosωt+b2sinωt(t=0,1,2…)特解的推导过程及其表达式可以简化.     

新常数μ,θ和新公式π=(1/2)e~θ的含义与应用

作者在文献[1]和[2]中提出了新常数μ,θ和新公式π=1/2 e~θ.在此说明它的深层含义:新常数μ是隐藏在欧拉常数γ后面的常数;新常数θ是μ和γ的完美组合.新公式给出了π和e之间的实数关系,它不同于欧拉公式e~(πi)=-1的虚数关系.新公式的典型应用是π和e之间的转换,以及μ和γ之间的转换.本文利用μ的计算公式,进行计算机求解,通过新公式,能很快求出欧拉常数γ.本文对概率统计中很多常用公式,用e~(θ/2)号代替(2π)~(1/2),极大简化了这些公式.