关于Dirichlet定理的一个值得注意之点

本刊1999年第2期刊有《傅里叶与傅里叶分析》一文,其中谈到狄利克雷在历史上第一个给出了函数f(x)的傅里叶级数收敛于它自身的一个充分条件:Dirichlet收敛定理:设f(x)是以2π为周期的周期函数,如果它在一个周期内满足:1°f(x)连续或只有有限个第一类间断点;2°f(x)至多有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,并且12a0 ∑∞n=1(ancosnπlx bnsinnπlx)=f(x),当x为f(x)之连续点,f(x-0) f(x 0)2,当x为f(x)之间断点.　　这个定理的证明,除三角级数之专著(如Zygmand.TrigonometricSeries)一般不易见到,以致引用者往往对其条件不太考究.其实条…     

单边条件下Fourier和的逼近

<正> §1.前言 设C_(2π)是周期2π的连续函数的全体.对于函数f∈C_(2π),记其范数为‖f‖,连续模为ω(f,δ).又将函数f(x)的Fourier级数之前n+1项和记作     

用〔F,d_n〕平均逼近周期函数

设f(x)∈L_(2π)的Fourier级数为 f(x)～a_0/2+sum from n=1 to ∞ (a_ncosnx+b_nsinnx)sum from n=0 to ∞(A_n(f,x)) (1)以s_n(f,x)sum from i=0 to n(f,x)表示(1)第n部分和。称序列     

用希尔伯特空间理论讨论傅立叶级数

<正> 函数和它的傅立叶级数之间的关系,常见的有下列四种。命题1 (狄里赫勒定理)若f(x)∈C[-π,π),或在[-π,π]上只有有限个第一类间断点,并且可以把[-π,π]分为f(x)的有限个单调区间,则有f(x)=a_0/2+sum from i=1 to ∞(a_icosix+b_isinix)(1)其中x∈(-π,π)为f(x)的连续点,a_i,b_i为f(x)的傅立叶系数(以下同)。当x∈(-π,π)为f(x)的间断点时,则(1)式友端改为[f(x—0)+f(x+0)]/2。当x=±π时,则(1)式左端改为[f(-π+0)+f(π-0)]/2。命题2 若f(x)∈L_2[-π,π],则对任意确定的n,有||f(x)—a_0/2—sum from i=1 to n(a_1cosix+bsinix)||_2     

Fourier级数子列Riesz平均的饱和类

设f(x)∈C_(2π),S_n(f,x)表示f(x)的Fourier级数的部分和序列,对子于列M={m_j},称为f(x)关于M的λ阶Riesz平均,用L_n~λ(M)表示它的Lebesgue常数,本文证明了 (ⅰ)若λ>0,那么当且仅当f(x)是阶不高于m_0的三角多项式。 (ⅱ)若λ>0,L_n~λ(M)=0(1),那么当且仅当     

关于D.WATERMAN的一个问题

一个只有简单间断点的函数 f,若对〔—π,π〕到〔—π,π〕的任一同胚变换 g,fog 的Fourier 级数都处处收敛,则称 f∈GW.一个连续函数 f,若对任一同胚变换 g,fog 的Fourier 级数都一致收敛,则称 f∈∪GW.如果关于〔—π,π〕上的任一互不重叠的区间列{I_n},     

利用均方收敛的性质求Fourier系数

均方收敛的概念在Fourier级数理论及应用上都很重要.这个概念和一致收敛的概念很类似,为了简化讨论,下面都假设f(x),u_k(x)是某区间[a,b]上的连续函数(k=0, 1,2,…).     

Fourier系数的最小二乘逼近问题

<正> 现行的教科书中,不论工科的高等数学,理科的数学分析、实变函数,还是Fourier分析的专门教程,在讨论Fourier系数时,都是如此处理:假设[-π,π]上的周期函数f(x)能够展成三角级数的形式     

周期函数Fourier级数展开式的唯一性

以 2 l为周期的函数 f(x)也可看作周期为 2 kl(k=1 ,2 ,3 ,… ) .设 f(x)满足 Dirichlet充分条件 ,[2 ]证明了按 [1 ]方法展开的以 2 l为周期的 Fourier级数和以 4l为周期的 Fourier级数对应的不同表达形式是一致的 .本文则在 [2 ]的基础上 ,进一步证明了按 [1 ]方法展开的以 2 l为周期的 Fourier级数和以 2 kl(k=1 ,2 ,3 ,… )为周期的 Fourier级数对应的表达式的一致性 ,从而得出结论 :任一周期函数 f(x)按 [1 ]方法展开的Fourier级数是唯一的 .     

低于临界阶的Riesz球形平均的一类极大函数

设S_R^δ(f)(x)为f(x)的k维Fourier级数的δ阶Riesz球形平均,{R_j}₁^∞为Hadamard缺项序列。本文建立了关于极大算子的两个不等式:和此处0a/2。作为推论,得到:L²(Q_k)中函数的Fourier级数球形部份和的缺项序列a. e. 收敛。     

二重 Fourier 级数及其共轭级数的 M 型(H,q)求和

<正> §1.引言设 Q={(x,y)|-π相似文献   

用Fourier部分和子序列的线性平均逼近周期函数

1.主要结果为其Fourier级数。以Sn(f,x)表示它的第n部分和,以(f, x)表示α阶Cesaro平均,也即其中(α)_i=Γ(α+j+1)/Γ(α+1)Γ(j+1)。对于空间X=C_(2x)或是L_(2π)以E_v(f)_x表示在X中借助不超过v阶的三角多项式逼近f(x)的最佳逼近。根据С. Б. Стечкин和孙永生的结果知道,若α>0而x=C_(2x),则对于一切f(x)X成立着下述不等式     

关于Fourier级数的两点注记

1　引言现行“高等数学”教材中 ,主要是以下述类型为基础 ,介绍了 Fourier系数的计算公式。若 f( x)是以 2 l为周期的周期函数 ,满足 Dirichlet收敛定理条件 ,则 f( x)可以展开成 Fourier级数 :a02 + ∞n=1[ancosnπxl +bnsinnπxl ]其中　 an =1l∫l- lf ( x) cosnπxl dx,　 n =0 ,1 ,2 ,…bn =1l∫l- lf ( x) sinnπxl dx,　 n =0 ,1 ,2 ,3 ,…特殊情形是 2 l=2π。这种公式有如下不足。其一 ,在“高等数学”教材中 ,所列的例题与习题是利用 f( x)在区间 ( -l,l)中的表达式 ,如没给出这种区间的表达式 ,则通过换元先求出这种区间的表…     

富里埃级数和共轭级数的|N,P_n|_p求和

本文讨论了周期为2π的可积函数f(x)的Fourier级数及其共轭级数的|N,p_n|_p可和性,本文证得的定理改正了和定理的错误,并且推广了O.P.Varshney的结果。     

周期函数Fourier级数展开式的唯一性

以2τ为周期的函数f（x）也可看作周期为2kτ（k=1,2,3…）。设f(x)满足Dirichlet充分条件,[2]证明了按[1]方法展开的以2τ为周期的Fourier级数和以4τ为周期的Fourier级数对应的不同表达形式是一致的。本则在[2]的基础上,进一步证明了按[1]方法展开的以2τ为周期的Fourier级数和以2kτ（k=1,2,3,…）为周期的Fourier级数对应的表达式的一致性,从而得出结论：任一周期函数f(x）按[1]方法展开的Fourier级数是唯一的。     

关于Fourier级数的一点推广

以2f为周期的函数f(x)也可看作周期为4t．设f(x)满足Dirichlec充分条件,按[1]方法展开的以2t为周期的Fourier级数和以4t为周期的Fourier级数则对应于不同表达式．本证明了这两种表达形式是一致的．     

加权原子空间上Fourier级数的（C，α）算子

对[0,2π]年的区间I,对它的左右两个半区间L,R,定义一种加权原子形如b(t)=1/(p(t))[X1-XR(t)],其中ρ为满足某些性质的非负函数,加权原子b(t)的线性组合构成加权原子空间B（ρ）,本证明了如果f∈B(ρ),则f的Fourier级数的Cesaro平均几乎处处收敛。     

关于Fourier级数的收敛和求和

<正> 设■是函数f(x)∈L_(2π)的Fourier级数,σ_n~a(x,f)是σ(f)的n阶 Cesaro和,S_n(x,f)=σ_n~o(x,f).以ω(δ,f),ω~△(δ,f)分别表示f(x)的连续模和单边连续模. T.I.Akhobadze证明:若     

Favard J.的一个逼近问题的解

<正> 在1956年的全苏第三次数学大会上,法国数学家Favard J.作了关于逼近论发展的讲演,在讲演中提了一个问题征解: 设f(t)∈L_(2π),f(t)的Fourier级数是     

多重Fourier级数Riesz球平均的一个注记

在一维的Fourier级数理论中,设f∈L_((0,2x),如关系式: integral from 0 to h{f(θ+t)-f(θ-t)}dt=o(|n|/(㏒1/|n|,(h→0) 关于θ均匀地成立,则称f满足Salem条件。佐藤于日本的学士院纪事中指出:如果f满足Salem条件,则在f的每一Lebesgue点x_0,其Fourier级数[f;x_0]收敛。G.Freud改进了佐藤的结论,证明了如f满足Salem条件,且存在θ_0满足